大一第一学期高数期末考试题及答案.docx

1、大一第一学期高数期末考试题及答案 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有 4 小题 ,每小题 4分, 共 16分) 1.) f ( x ) 设0处 在 x(有cos x ( x sin x ), 则 f ( x) .不可导 （D）CABf (0) 02 f (0) 1 f (0)）（） 33 3时（ (1，则当x设1)xx） ( x)2.x1 (x)( x)与(x)与 ( x)B是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （A） ）（ 是等价无穷小； (x) ( x)( x) 是比(x) 高阶的无穷小； （C） 是比高阶的）（D .无穷小 xdt)f(tx)3.) F ( x( 1,1) f

2、 ( x) 在区间上 其中若，二阶可导且( 2t 0f ( x ) 0 .），则（ F ( x)x 必在（A）函数取得极大值；处0 F ( x)x 必在）函数 （B取得极小值；0处 yF ( x)(0, F (0) 在 x为曲线处没有极值，但点（C）函数 0 F ( x) 的拐点； y(0, F (0)F (x) （D）函数 在 x 也不是曲线处没有极值，点 F ( x) 0的拐点。 1 是连续函数，且设 f ( x )f ( x ) x2 f ( x ) (f ( t )dt , 则 4. 0 22xx 2 x 2 .（A） B） （C） x 1（D）22 分） 16 小题，每小题 4 分，

3、共4 二、填空题（本大题有 2 sin x lim ( 13 x ) 5. . x 0 cosxcosx d x则 f ( x) 已知 是 f ( x) 的一个原函数 , xx6. . 2221 )coscos(coslimn2 n 7.nnnn. 122 arcsin x x 1 dx 21x 18. . 2 分）分，共 40 8 5 小题，每小题三、解答题（本大题有 yx yy (0)y ( x ) y(x) 1 e 设函数.9.以及确定，求由方程sin( xy) 7 1x dx. 求7 10. ) x(1 x x，xe x0 1 设 f ( x )求f ( x )dx 211. 0，x

4、2 xx 1 3 1f ( x) f ( xt ) dtAg( x )lim f (x) ，A为常数. 求x 0 12. 连续，设函数 x ，且 0 g(x) g( x) x0 处的连续性 .在并讨论 1 y(1) xyx ln x 求微分方程13.9 2 y满足的解. 10 分）解答题（本大题 四、 0) (01,) 14.，且曲线上任一点，过点已知上半平面内一曲线y y( x) ( x y, y)M ( xx x处切线斜率数值上等于此曲线与所围成轴、直线轴、 x 0 0 0 .倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程面积的 2 分）五、解答题（本大题 10 ln x yln x y 及 x 的切线

5、，该切线与曲线轴围15. 过坐标原点作曲线 成平面图形 D. (1) 求 D 的面积 A；(2) 求 D 绕直线 x = e 旋转一周所得旋转体的体积 V. 2 小题，每小题 4 分，共 8 分）六、证明题（本大题有 f ( x )0,1 q 的明对 任意 调 递减 ，证 上 连 续且单 16. 在 数设函 0,1 ， q1 f ( x) d x q f ( x)dx . 00 f ( x ) d x0f ( x ) cos x dx 00,f ( x) 17. 在设函数，上连续，且. 0 0 0,0.)f ( f ( ) 证明：在内至少存在两个不同的点（提，使21 2 1 x F ( x)f

6、 ( x )dx 示：设） 0 解答 一、单项选择题 (本大题有 4小题, 每小题 4 分,共 16分) C、C41、 D2、A 3、 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）二、填空题（本大题有 1 cosx )(c 625.3.6. 2x.7.2. 8.e 5 小题，每小题 8 分，共 40 分）三、解答题（本大题有 9. 解：方程两边求导 x y ( 1 y ) ec oxys( xy) ( y) xey cos(xy) yy ( x ) xex cos(xy) y0 y (0)，0, y1x 6710. 解： ux7 x dxdu (1u)1121 原式)dudu( 7u(1u)7uu

7、1 1 2ln | u1|)c(ln | u | 7 2177 | C ln |1 x ln | x | 77 0 1 1 x2 dx dx2x xxe f ( x)dx 解：11. 03 3 2x 10 dx1)e )xd( x1 03 00 xx2cosxe e d (令 x1 sin ) 3 2 32e1 4 f (0) 解：由12. 0 g(0)0。，知 xf ( u )du 1 xt u 0f ( xt )dtg( x ) x( x0 ) 0 xxf ( x)f (u)du 0( xg ( x)0) 2x xf (u)du 0 f ( x)limlim Ag (0) 2x22 x 0

8、 x 0 x x xf ( x)f ( u)du AA 0 limlim g ( x)g ( x) A 2 0 x处连续。 x2 ， 在 2 x 0x 0 2 yln xdy dx解：13. x 22 dx dx x(e ln xdxC )y e x 2Cx x11x ln x 39 111 y0y( 1 )C,x ln xx ，399 分）10 解答题（本大题 四、 xyyd xy2 ， 解：由已知且14. 0 y求导得将此方程关于 x 2yy r2解出特征根： r r2.1,特征方程：0r2 1 2 2 xx其通解为Ce C ey 21 21 C Cy(0)1, 21 代入初始条件，得33

9、(0)y xee 1y22 x 33故所求曲线方程为： 分）10 五、解答题（本大题 1 ln xy( x x ) 0 0), ln x( x ，切线方程：15. 解：（1）根据题意，先设切点为x 00 01 xye ，从而切线方程为：e由于切线过原点，解出x 0 1y(e ey)dy1e1A 2则平面图形面积 0V 11 2 ，则一周所得圆锥体体积记为 ）三角形绕直线（ 1e3 Vx = e2y ln x 一周所得旋转体体积为所围成的图形绕直线 x = e 曲线 与 x 轴及直线 x = e V2 1 y2 dyV( e e ) 2 0 2(5eVV 12e 3)V 216旋转一周所得旋转体

10、的体积D 绕直线 x = e 分） 12 4 2 小题，每小题分，共六、证明题（本大题有 q1q1q f ( x) d xq f ( x)dxf ( x) d xq(f ( x) d xf (x)dx) 16. 证明： 00 q 0 0 1q (1 q) f ( x) d x q f ( x)dx q0 )f ( 0,q f ( ) q,1 2121q (1 q) f ( ) q (1 q) f ( )021 故有： q1 f ( x) d x q f ( x )dx 证毕。 00 17. xF ( x)f ( t)dt , 0x0, 。其满足在 (0, )上连续，在证：构造辅助函数： 0F

11、上可导。f ( x) F (0) F (，且( x) 0 |F ( x) cosxsin x0cosxdF ( x)f ( x) cosxdxF ( x)dx 0 ，由题设，有 000 F ( x) sin xdx0 ) F(0 即，使，由积分中值定理，存在有) sin( 0, 0 )F (0 , F (0)上分别应用罗 综上可知. 0,) 在区间 ,F ( )0,F ( )(0, 尔定理，知存在 0f ()即 ，)(, ) (0, )F(F(0)0 .及和，使 )f ( 1 221 2 1 “人生天地之间，若白驹过隙，忽然而已。庄子云： ”是呀，春秋置换，日月交替，这从指尖悄然划过的时光，没

12、有一点声响，没有一刻停留，仿佛眨眼的功夫，半生已过。 人活在世上，就像暂时寄宿于尘世，当生命的列车驶到终点，情愿也罢，不情愿也罢，微笑也罢，苦笑也罢，都不得不向生命挥手作别。 我们无法挽住时光的脚步，无法改变人生的宿命。但我们可以拿起生活的画笔，把自己的人生涂抹成色彩靓丽的颜色。 生命如此短暂，岂容随意挥霍！只有在该辛勤耕耘的时候播洒汗水，一程风雨后，人生的筐篓里才能装满硕果。 就算是烟花划过天空，也要留下短暂的绚烂。只有让这仅有一次的生命丰盈充实，才不枉来尘世走一遭。雁过留声，人过留名，这一趟人生旅程，总该留下点儿什么！ 生活是柴米油盐的平淡，也是行色匆匆的奔波。一粥一饭来之不易，一丝一缕物

13、力维艰。 前行的路上，有风也有雨。有时候，风雨扑面而来，打在脸上，很疼，可是，我们不能向生活低头认输，咬牙抹去脸上的雨水，还有泪水，甩开脚步，接着向前。 我们需要呈现最好的自己给世界，需要许诺最好的生活给家人。所以，生活再累，不能后退。即使生活赐予我们一杯不加糖的苦咖啡，皱一皱眉头，也要饮下。 人生是一场跋涉，也是一场选择。我们能抵达哪里，能看到什么样的风景，能成为什么样的人，都在于我们的选择。 如果我们选择面朝大海，朝着阳光的方向挥手微笑，我们的世界必会收获一片春暖花开。如果我们选择小桥流水，在不动声色的日子里种篱修菊，我们的世界必会收获一隅静谧恬淡。 选择临风起舞，我们就是岁月的勇者；选择临阵脱逃，我们就是生活的懦夫。 没有淌不过去的河，就看我们如何摆渡。没有爬不过去的山，就看我们何时启程。 “每一个不曾起舞的日子，都是对生命的辜负。 德国哲学家尼采说：”让我们打开朝着晨光的那扇窗，迎阳光进来，在每一个日出东海的日子，无论是鲜衣怒马少年时，还是宠辱不惊中年 时，都活出自己的明媚和精彩。 时间会带来惊喜，只要我们不忘记为什么出发，不忘记以梦为马，岁月一定会对我们和颜悦色，前方也一定会有意想不到的惊喜。 人生忽如寄，生活多苦辛。 短暂的生命旅程， 别辜负时光，别辜负自己。 愿我们每一个人自律、阳光、勤奋， 活成自己喜欢的模样， 活成一束光，