平面向量向量的数量积.docx

1、平面向量向量的数量积设向量（1）若与垂直，求的值；（2）求的最大值;（3）若，求证：.答案：由与垂直，即，；，最大值为32，所以的最大值为。由得，即，所以.来源：09年高考江苏卷题型：解答题，难度：容易设向量（1）若与垂直，求的值；（2）求的最大值; （3）若，求证：.答案：来源：09年高考北京卷题型：解答题，难度：中档已知向量与互相垂直，其中.（1）求和的值；（2）若，求的值. 答案：（1）与互相垂直，则，即，代入得，又，.（2），则，.来源：09年高考广东卷题型：解答题，难度：容易如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是直角梯形，DABABC90o，PA底面ABCD，PAABAD2，BC1，

2、E为PD的中点.(1) 求证:CE平面PAB；(2) 求PA与平面ACE所成角的大小；(3) 求二面角EACD的大小.答案：(1) 证明：取PA的中点F，连结FE、FB，则FE/BC，且FEADBC，BCEF是平行四边形，CE/BF，而BF平面PAB，CE/平面PAB.(2) 解：取 AD的中点G，连结EG，则EG/AP，问题转为求EG与平面ACE所成角的大小.又设点G到平面ACE的距离为GH，H为垂足，连结EH，则GEH为直线EG与平面ACE所成的角.现用等体积法来求GH.VEAGCSAGCEG又AE，ACCE，易求得SAEC，VGAEC GHVEAGC，GH在RtEHG中，sinGEH，即

3、PA与平面ACE所成的角为arcsin. (3) 设二面角EACD的大小为.由面积射影定理得cos，arccos，即二面角EACD的大小为arccos.向量解法：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角系.则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，1，0)，E(0，1，1)，(2，1，0)，(0，1，1)，(0，0，2) 设平面ACE的一个法向量为= (x，y，z) ， ，令x1，则y2，z2，得(1，2，2) (2) 设点P在平面ACE上的射影为Q，由共面向量定理，设mn(1mn)，得m(0，0，2)n(2，1，2)(

4、1mn)(0，1，1)(2n，1m，mn1) ， 解得m，n (，)，|. 设PA与平面ACE所成角为，则sin，arcsin 别解：易得向量在n上的射影长为d=设PA与平面ACE所成角为，则sin，arcsin (3) 显然，为平面ABCD的法向量，cos.二面角EACD的大小为arccos 来源：1题型：解答题，难度：较难在ABC中，又D在线段BC上，且满足（1）用和表示向量；（2）若和夹角为60，试用|，|及来表示答案：（1）由及可知（1+（2）由两边取模可知，又与夹角为60来源：1题型：解答题，难度：中档已知向量向量与向量夹角为，且.（1）求向量；（2）若向量与向量=（1，0）的夹角为

5、，其中A，C 为ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，试求求|+|的取值范围.答案：解：（1）设，有1分由夹角为，有.3分由解得即或4分 （2）由垂直知5分由2B=A+C 知6分来源：题型：解答题，难度：中档平面直角坐标系有点（1）求向量的夹角的余弦用x表示的函数f(x);（2）求的最值.答案：解：（1） （2）来源：题型：解答题，难度：中档在,内角A、B、C的对边分别为a,b,c.已知a,b,c成等比数列，且cosB=.求cotA+cotB的值。设，求a + c 的值。答案：（I）由cosB=得，于是=(II)由得由余弦定理得，a+c=3来源：05高考题型：解答题，难度：较难已知a，b都

6、是非零向量，且a+3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角.答案：解：a+3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，(a+3b)(7a5b)=0，(a4b)(7a2b)=0.4分 即两式相减：ab=|b|2，代入得|a|2=|b|2.8分cos=.=60，即a与b的夹角为6012分来源：题型：解答题，难度：中档.已知二次项系为m(m0)的二次函数 f(x)对任意xR,都有f(1-x)=f(1+x)成立，设向量a=(sinx,2),b=(2sinx,),c=(cos2x,1),d=(1,2). (1)分别求ab和cd的取值范围； (2)当x0，时，求不等式f(ab)f(cd)的解

7、集.答案：解：(1)ab=2sin2x+11 cd=cos2x+11 6分(2)f(x)= f(1+x) f(x)图象关于x=1对称 1分当m0时，f(x)在(1，+)内单调递增，由f(ab)f(cd)abcd,即2sin2x+12cos2x+1又x0， x() 3分当mf(cd)abcd,即2sin2x+12cos2x+1又x0,x0, 3分故当m0时不等式的解集为()；当m0时不等式的解集为0, 1分来源：07年浙江省月考四题型：解答题，难度：中档设两向量满足，的夹角为60，若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围。答案：解：，设当时，与的夹角为来源：题型：解答题，难度：中档已知向量（

8、1）当时，求的值；（2）（文科）求f(x)=的值域；（3）（理科）求f(x)=在上的值域.答案：（1）， （6分）（2）（文科），f（x）的值域为 （文12分）（3）（理科），（理12分）来源：08年高考武汉市联考一题型：解答题，难度：中档已知 、是夹角为600的两个单位向量，令向量=2+， =3+2. （1）求向量的模； （2）求向量与的夹角.答案：解：（1）6分.（2）、同法得，=，cos=,=1200 12分.来源：题型：解答题，难度：中档在直角坐标平面上的一列点，简记为. 若由构成的数列满足，其中为方向与轴正方向相同的单位向量，则称为点列.(1)判断，是否为点列，并说明理由；(2)若为

9、点列，且点在点的右上方. 任取其中连续三点，判断的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；(3)若为点列，正整数满足，求证： .答案：（1） ，显然有，是点列. 3分（2）在中，. 5分 点在点的右上方，为点列，则. 为钝角，为钝角三角形. 8分（3）证明，. . 同理. 12分由于为点列，于是， 由、可推得， 15分，即 . 16分来源：08年春季高考上海卷题型：解答题，难度：较难已知（I）求的值；（II）求证：与互相垂直；（III）设且，求的值。答案：（I）解：（II）证明：， 8分（III）解：，又来源：05北京朝阳题型：解答题，难度：中档如图，AOE和BOE都是边长为1

10、的等边三角形，延长OB到C使|BC|t(t0)，连AC交BE于D点.(1)用t表示向量和的坐标；(2) (理)求向量和的夹角的大小。(文)当时，求向量和的夹角的大小。答案：(t+1)， (t+1)，2分t，t，又(，)，(t， (t+2)；(，)，4分(，)6分（理）(，)，8分又|10分cos，向量与的夹角为60。12分（文）由已知t，(，)，(，)8分又|，|10分cos，向量与的夹角为60。来源：1题型：解答题，难度：中档向量与满足，且夹角为60，（。求函数的解析式。当且时，求向量与向量的夹角。答案：f(x)=2x2+15x+7 =-arccos来源：题型：解答题，难度：中档已知向量，.

11、（）当时，求|的值；（）求函数（）的值域.答案：（）； （）.来源：题型：解答题，难度：中档如图，在直四棱柱中，底面是梯形，且，是棱的中点.（1）求证:；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的大小.答案：证明:连接，是正方形，又，平面，又，平面，（2）解:在平面中，过点作，垂足为，连接，又过点作，垂足为，则为点到平面的距离，在中，有，在中，点到平面的距离为.解法2:用等体积法，设点到平面的距离为， 在中，为直角三角形，由得， ，点到平面的距离为.（3）解:取线段的中点，连接，则，再取线段的中点，连接，是二面角的平面角，在中， ，取线段的中点，连接，则，在中，由余弦定理知，二面角的大小为.空间

12、向量解法:（1）证明:用基向量法. 设，即， （2）解:构建空间直角坐标系，运用向量的坐标运算.以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角系.则，设平面的一个法向量为， ，令，则，得.，求点到平面的距离（3）解:设平面的一个法向量为. ， ，令，则，得.又设平面的一个法向量为， ，令，则，得.，二面角的大小为.或者，的中点的坐标为，二面角的大小为.命题意图与思路点拨:认识多面体中的线面关系，求二面角，求点到平面的距离:认识多面体中的线面关系，求点到平面的距离.二面角来源：1题型：解答题，难度：较难已知向量（）向量是否共线?请说明理由.（）求函数的最大值.答案：解：（）共线.（1分） ，共线.（5分）（）（7分）（8分）又（10分）来源：题型：解答题，难度：较难求与向量和的夹角相等，且模为的向量的坐标。答案：解：（2分）又（4分）与和夹角相等且（6分）故与共线，且（8分）的坐标是和（12分