平面向量向量的数量积.docx

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平面向量向量的数量积

设向量

（1）若与垂直，求的值；

（2）求的最大值;

（3）若，求证：

∥.

答案：

由与垂直，，

即，；

，最大值为32，所以的最大值为。

由得，即，

所以∥.

来源：

09年高考江苏卷

题型：

解答题，难度：

容易

设向量

（1）若与垂直，求的值；

（2）求的最大值;

（3）若，求证：

∥.

答案：

来源：

09年高考北京卷

题型：

解答题，难度：

中档

已知向量与互相垂直，其中.

（1）求和的值；

（2）若，求的值.

答案：

（1）∵与互相垂直，则，即，代入得，又，∴.

（2）∵，，∴，则，∴.

来源：

09年高考广东卷

题型：

解答题，难度：

容易

如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90o，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，E为PD的中点.

（1）求证:

CE∥平面PAB；

（2）求PA与平面ACE所成角的大小；

（3）求二面角E－AC－D的大小.

答案：

（1）证明：

取PA的中点F，连结FE、FB，则

FE//BC，且FE＝AD＝BC，∴BCEF是平行四边形，

∴CE//BF，而BF平面PAB，∴CE//平面PAB.

（2）解：

取AD的中点G，连结EG，则EG//AP，问题转为求EG与平面ACE所成角的大小.又设点G到平面ACE的距离为GH，H为垂足，连结EH，则∠GEH为直线EG与平面ACE所成的角.现用等体积法来求GH.

∵VE－AGC＝S△AGC·EG＝

又AE＝，AC＝CE＝，易求得S△AEC＝，

∴VG－AEC＝GH＝VE－AGC＝，∴GH＝

在Rt△EHG中，sin∠GEH＝＝，即PA与平面ACE所成的角为arcsin.

（3）设二面角E－AC－D的大小为.

由面积射影定理得cos＝＝，∴＝arccos，即二面角E－AC－D的大小为arccos.

向量解法：

以A为原点，AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角系.则

A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），D（0，2，0），C（2，1，0），E（0，1，1），

＝（2，1，0），＝（0，1，1），＝（0，0，2）．

设平面ACE的一个法向量为=（x，y，z）．

∵⊥，⊥，∴，

令x＝1，则y＝－2，z＝2，得＝（1，－2，2）．

（2）设点P在平面ACE上的射影为Q，由共面向量定理，

设＝m＋n＋（1－m－n），得

＝m（0，0，－2）＋n（2，1，－2）＋（1－m－n）（0，1，－1）

＝（2n，1－m，－m－n－1）．

∵⊥，⊥，∴解得m＝，n＝－．

∴＝（－，，－），∴||＝.

设PA与平面ACE所成角为，则sin＝＝，∴＝arcsin．

别解：

易得向量在n上的射影长为d＝=

设PA与平面ACE所成角为，则sin＝＝，∴＝arcsin．

（3）显然，为平面ABCD的法向量，cos<,>＝＝.

∴二面角E－AC－D的大小为arccos．

来源：

1

题型：

解答题，难度：

较难

在△ABC中，，又D在线段BC上，且满足

（1）用和表示向量；

（2）若和夹角为60°，试用||，||及来表示

答案：

（1）由及可知

（1+

（2）由两边取模可知

，又与夹角为60°

来源：

1

题型：

解答题，难度：

中档

已知向量向量与向量夹角为，且.

（1）求向量；

（2）若向量与向量=（1，0）的夹角为，其中A，C为△ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，试求求|+|的取值范围.

答案：

解：

（1）设，有①………………1分

由夹角为，有.

∴②………………3分

由①②解得∴即或…………4分

（2）由垂直知…………5分

由2B=A+C知……6分

来源：

题型：

解答题，难度：

中档

平面直角坐标系有点

（1）求向量的夹角θ的余弦用x表示的函数f（x）;

（2）求θ的最值.

答案：

解：

（1）

（2）

来源：

题型：

解答题，难度：

中档

在,内角A、B、C的对边分别为a,b,c.已知a,b,c成等比数列，且cosB=.

①求cotA+cotB的值。

②设，求a+c的值。

答案：

（I）由cosB=得，于是

=

（II）由得

由余弦定理得，a+c=3

来源：

05高考Ⅲ

题型：

解答题，难度：

较难

已知a，b都是非零向量，且a+3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.

答案：

解：

∵a+3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，

∴（a+3b）·（7a－5b）=0，（a－4b）·（7a－2b）=0.4分

①②

即

两式相减：

a·b=|b|2，代入①得|a|2=|b|2.8分

∴cosα==.∴α=60°，即a与b的夹角为60°12分

来源：

题型：

解答题，难度：

中档

.已知二次项系为m（m≠0）的二次函数f（x）对任意x∈R,都有f（1-x）=f（1+x）成立，设向量a=（sinx,2）,b=（2sinx,）,c=（cos2x,1）,d=（1,2）.

（1）分别求a·b和c·d的取值范围；

（2）当x∈[0，π]时，求不等式f（a·b）>f（c·d）的解集.

答案：

解：

（1）a·b=2sin2x+1≥1c·d=cos2x+1≥1……6分

（2）∵f（x）=f（1+x）∴f（x）图象关于x=1对称……1分

当m>0时，f（x）在（1，+∞）内单调递增，

由f（a·b）>f（c·d）a·b>c·d,即2sin2x+1>2cos2x+1

又∵x∈[0，π]∴x∈（）……3分

当m<0时，f（x）在（1，+∞）内单调递减，

由f（a·b）>f（c·d）a·b>c·d,即2sin2x+1>2cos2x+1

又∵x∈[0,π]∴x∈[0,]……3分

故当m>0时不等式的解集为（）；

当m<0时不等式的解集为[0,]……1分

来源：

07年浙江省月考四

题型：

解答题，难度：

中档

设两向量满足，的夹角为60°，若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围。

答案：

解：

，，

∴

∴∴，

设

∴∴当时，与的夹角为π

∴

来源：

题型：

解答题，难度：

中档

已知向量

（1）当时，求的值；

（2）（文科）求f（x）=的值域；

（3）（理科）求f（x）=在上的值域.

答案：

（1），∴，∴

（6分）

（2）（文科）

，∴f（x）的值域为（文12分）

（3）（理科）

∵，∴，∴

∴（理12分）

来源：

08年高考武汉市联考一

题型：

解答题，难度：

中档

已知、是夹角为600的两个单位向量，令向量=2+，=－3+2.

（1）求向量的模；

（2）求向量与的夹角.

答案：

解：

（1）…6分.

（2）、同法得，=－，cos<,>=－,<,>=1200……12分.

来源：

题型：

解答题，难度：

中档

在直角坐标平面上的一列点，简记为.若由构成的数列满足，其中为方向与轴正方向相同的单位向量，则称为点列.

（1）判断，是否为点列，并说明理由；

（2）若为点列，且点在点的右上方.任取其中连续三点，判断△的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；

（3）若为点列，正整数满足，求证：

.

答案：

（1），，显然有，

是点列.……3分

（2）在△中，，

.……5分

点在点的右上方，，

为点列，，

，则.

为钝角，△为钝角三角形.……8分

（3）[证明]，

.①

.②

同理.③……12分

由于为点列，于是，④

由①、②、③、④可推得，……15分

，

即.……16分

来源：

08年春季高考上海卷

题型：

解答题，难度：

较难

已知

（I）求的值；

（II）求证：

与互相垂直；

（III）设且，求的值。

答案：

（I）解：

（II）证明：

，

8分

（III）解：

，

，

又

来源：

05北京朝阳

题型：

解答题，难度：

中档

如图，△AOE和△BOE都是边长为1的等边三角形，延长OB到C使|BC|＝t（t>0），连AC交BE于D点.

（1）用t表示向量和的坐标；

（2）（理）求向量和的夹角的大小。

（文）当＝时，求向量和的夹角的大小。

答案：

⑴＝（（t+1），－（t+1）），………………………………………………2分

∵＝t，∴＝t，＝，又＝（，），

＝－＝（t，－（t+2））；∴＝（，－），………………4分

∴＝（，－）………………………………………………6分

⑵（理）∵＝（，－），

∴·＝·＋·＝………………………………8分

又∵||·||＝·＝…………………………10分

∴cos<,>＝＝，∴向量与的夹角为60°。

……12分

（文）由已知t＝，∴＝（，－），＝（－，－）

∴·＝－＋＝……………………………………………………………8分

又∵||＝，||＝＝………………………………………………10分

∴cos<,>＝＝，∴向量与的夹角为60°。

来源：

1

题型：

解答题，难度：

中档

向量与满足，且夹角为60°，，（。

⑴求函数的解析式。

⑵当且时，求向量与向量的夹角。

答案：

①f（x）=2x2+15x+7②θ=-arccos

来源：

题型：

解答题，难度：

中档

已知向量，.

（Ⅰ）当⊥时，求|＋|的值；

（Ⅱ）求函数＝·（－）的值域.

答案：

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

来源：

题型：

解答题，难度：

中档

如图，在直四棱柱中，底面是梯形，且，，，是棱的中点.

（1）求证:

；

（2）求点到平面的距离；

（3）求二面角的大小.

答案：

证明:

连接，是正方形，∴，又，

∴平面，∴，又，∴平面，∴

（2）解:

在平面中，过点作，垂足为，连接，又过点作，垂足为，则为点到平面的距离，在中，有，∴，

在中，，点到平面的距离为.

解法2:

用等体积法，设点到平面的距离为，

在中，为直角三角形，由得，∴，∴点到平面的距离为.

（3）解:

取线段的中点，连接，则，，∴，再取线段的中点，连接，∴，∴，∴是二面角的平面角，在中，，，取线段的中点，连接，则，在中，，∴，由余弦定理知，

∴二面角的大小为.

空间向量解法:

（1）证明:

用基向量法.设，，，，，，，，

∴，∴，∴，，∴，∴，即，∴

（2）解:

构建空间直角坐标系，运用向量的坐标运算.

以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角系.则，，，，，，，，设平面的一个法向量为，∵，∴

，

∴，令，则，，得.

，求点到平面的距离

（3）解:

设平面的一个法向量为.

∵，∴，，令，则，，得.又设平面的一个法向量为∵，

∴∴，令，则，，得.

，∴二面角的大小为.

或者，的中点的坐标为，，，，∴，

∴二面角的大小为.

命题意图与思路点拨:

认识多面体中的线面关系，求二面角，求点到平面的距离:

认识多面体中的线面关系，求点到平面的距离.二面角

来源：

1

题型：

解答题，难度：

较难

已知向量

（Ⅰ）向量是否共线?

请说明理由.

（Ⅱ）求函数的最大值.

答案：

解：

（Ⅰ）共线.……（1分）

，

∴共线.………………（5分）

（Ⅱ）（7分）

………………（8分）

又……（10分）

来源：

题型：

解答题，难度：

较难

求与向量和的夹角相等，且模为的向量的坐标。

答案：

解：

………（2分）

又………………（4分）与和夹角相等

且………………（6分）

故与共线，且………………（8分）

的坐标是和…………（12分