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1、输油管的优化设计方案输油管的优化设计方案【摘要】为了帮助油田设计院找到费用最省的输油管线建设方案，我们建立了两个多元连续函数的数学模型，称之为模型（1）与模型（2）模型（1）是一个二元连续函数模型，简单直接地解决了油田设计院希望的费用最省的问题1。我们用两组测试数据对模型（1）进行了检测，发现结合MATLAB软件使用起来，简单高效。结合对测试数据及其直观图像的联合分析，找到了求解建设管线花费最小的建设方案点的途径：（1）、y0时，需要建设共用管线，y值就共用管线的长度，模型之解直接就是最优解；（2）、y0或y=0时，说明不需要建设共用管线，模型之解只是个纯数学意义的最小点，而不是可行方案，但借

2、助这个纯数学意义的最小点作跳板，可间接寻找出最佳可行方案点。这是模型（1）为解决本实际问题作出的最有价值的贡献，但模型（1）偏于简单，忽略了一些影响建设成本的外在因素，例如城区与郊区建设成本单价有差别等等，离设计院的实际要求还有一定的距离，故在模型（1）的基础上开发出了模型（2）模型（2）把城区与郊区铺设成本不同考虑了进来，设计院面临的实际问题2与3得以较好地解决。利用模型（2），结合MATLAB软件，较轻松地解决了该设计院急需解决的俩问题：（1）、如考虑城区与郊区的因素，管线铺设单价都是7.2万元/千米时，最少建设成本为283.2013万元，车站建站点距A厂与铁路线的垂线垂足（即原点）5.4

3、475千米的地点（沿B 厂方向）；（2）、如考虑郊区与城区因素的同时还考虑不同路段的管道单价，则最少建设成本为252.4737万元，车站建站点距A厂与铁路线的垂线垂足（即原点）6.7321千米沿B厂方向处。总之，我们所建模型具有通用性，建模的思路也具有通用性，为相关单位解决此类问题提供了一个很好的样板。【关键词】： 多元连续函数的极值 公允估算值 偏导数一、问题重述1.1、基本情况某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上修建一个车站，用来运输成品油。如何建造才能做到管线建设费用最低，设计方希望建立管线建设费用最省的数学模型，由于该问题具有普遍性，设计方也希望建模思路具有普适性。为此

4、，我们做了如下三项工作：1）建立一个普适模型，把是否使用共用管线，共用管线与非共用管线的费用行等因素也考虑进来；2）再逐步深入，把管线是否经过城区，城区与郊区的铺设费用差别因素等等也考虑进来；3）再把不同的炼油厂的规模与输油管线的粗细（这涉及到建设成本）因素考虑进来；4）以此类推，每增加一个变化因素，就是多一个自变量，从中探索出建模思路，为设计者解决此类问题提供数学模型支持。1.2、相关信息（设计院面对的一个具体情形）A、B分别表示两炼油厂的具体位置（单位：千米），A在郊区B在城区。具体如下图（虚线为城郊分界线）：若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补

5、偿等附加费用，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）对所用费用进行了估算。估算结果如下表所示：工程咨询公司公司一公司二公司三 附加费用（万元/千米）212420要求为设计院找出管线布置最佳方案，并计算相应建设费用。若管道线的铺设费用分别为输送厂成品油5.6万元/千米，输送B厂成品油6.0万元/千米，共用管道费用为7.2万元/千米。要求为设计院找出管线布置最佳方案，并计算相应建设费用。1.3、需要解决的问题问题1：针对俩炼油厂在铁路线同侧的情形，设计一个模型用于寻找最佳方案，使得费用最省，并算出最省费用。模型力求通用。问题2：若遇上更为复杂的情形，例如考虑城区

6、与郊区的建造成本区别，又如何进一步改进模型，以达解决问题的目的。同时让模型也具通用性。问题3：若进一步考虑区分出不同管线的铺设单价，模型又如何改进？并付诸应用，解决设计院面对的具体问题。二、问题分析(1)、由于俩炼油厂的位于铁路同侧。如图所示：建立直角坐标系xOy并设俩炼油厂的位置分别为A、B。x轴表示铁路线。分以下四种情况。A B在同一直线上并与x轴垂直（这时一定有共用管道）。如图2-1示：、A在x轴上B不再x轴上（不需共用管道）。如图22示：以上俩特殊情形，告诉我们，可行方案中，有使用共用管线的，也有不使用共用管线的情形、A在y轴上，B不在坐标轴上（普遍情况l=0时演变成图2-1；a=0时

7、演变为图2-2）。如图23（不妨设ab）（2）、更复杂一些，若其中一厂地处城区（例如B厂），如图24所示，则存在城区与郊区的建设成本区别，则应将这个变数考虑进来。设城郊分界线与管线的交点坐标为D（c,z），z就成了第三自变量。BD段是城区管线，建设上当然要增加坼迁和工程补偿等附加费用。（3）若各段管道的单价有差别，加上城区管线建设所增附加费用，仍可根据（2）中的方案求解。三、模型假设1、假设炼油厂都在铁路线的同一侧；2、假设郊区的附加费用（例如青苗赔偿等）不计；3、假设不考虑建设管线的地理因素；4、假设不考虑施工期市场价格的波动；5、假设公用管道建设的单价不超过独用管道单价之和。四、符号说明a

8、：表示A厂的纵坐标（几何意义是A厂到铁路线的距离）；b：表示B厂的纵坐标（几何意义是B厂到铁路线的距离）；c: 城郊分界线与铁路线的交点的横坐标；: A厂与B厂到铁路线的垂线的垂足之间的距离；x：表示共用管线与独用管线的交点P点的横坐标；y：表示共用管线与独用管线的交点P点的纵坐标；m：表示A点到P点的管道的建设单价（单位：万元/千米）；n：表示B点到P点的管道的建设单价（单位：万元/千米）；p：表示共用管线PC的建设单价（单位：万元/千米）；z：表示管线BDP的城郊结合点P的纵坐标；q：表示铺设城区管线所增加的拆迁与工程补偿附加费用的公允估算值；五、模型的建立与求解模型11.1、建立坐标系x

9、Oy（如图2-3所示）其中P（x,y）是共用管线与非共用管线的交汇点；C（x,0）是车站建站点。则该问题的模型为一个二元连续函数F（x,y），我们给这个模型命名为模型（1）： 定义域：（这个二元函数的定义域，图形为矩形）注释： F（x,y）的定义域本来是个直角梯形，这里我们适当扩大成了一个矩形（参看图2-3），不影响最小值的寻求。因为将点P(x,y)选在AB连线的上方，注定多花钱。1.2、模型（1）的求解思路该模型的图像直观判断是一片光滑曲面（无奇点），且最小值依据常识判断必定存在。故：其解P(x,y)，当y0时，是可能的最小方案点（若解唯一，就是最优方案）（y0时请看下面的注释），而点C(x

10、,0)就是火车站建站地点。至此解模思路指明，该模型具有普适性，给定常数参数a，b, ,m,n,p后，用MATLAB软件可实现求解。1.3、模型（1）的检验与应用、若a=5千米,b=8千米, =15千米，m=5.6万元/千米,n=6.0万元/千米,p=7.2万元/千米用MATLAB求解得：x=6.2794(千米),y=0.4669（千米）（参看附件1）与直观图形相合（参看附件2）当然最小造价为：F（6.2794,0.4669）115.8742万元（参看附件1）火车站建站地点为：C（6.2796,0）、若a=5千米,b=8千米, l=20千米，m=5.6万元/千米,n=6.0万元/千米,p=7.2

11、万元/千米用MATLAB软件求得：x=9.0032千米，y=-1.4994千米（参看附件3）y0，这表面上看是一个不可行方案，只是一个纯数学上的最小点，但参照其直观图形（参看附件4）发现：费用最省的可行方案点正好是直线x=9.0032与直线y=0的交点（看图说话，发现P（9.0032,0）对应的函数值是最小的），故：x=9.0032千米， y=0千米是最佳方案(最小点在定义域的边界上取得)。所以造价为：F(9.0032,0)=139.2645万元（参看附件3）火车站建站地点为：C(9.0032,0)注释：1)通过这两组数据对模型（1）的应用与检验，我们发现，解决类似具体问题时，有的需要铺设共用

12、管线，而有的不需要。而且我们明显察觉到：a,b,l，m,n,p这几个参数联合决定是否需要共用管线，由于时间关系，不在此深入讨论a,b,l，m,n,p满足什么条件时，需要建共用管线的问题。 2)求解模型得到的解P（x,y）中，如果y0就表明该实际问题不需要共用管线，而且最小方案点是P(x,0)；反之，y0则表示该实际问题需要共用管线，共用管线的长度就是y，这是我们直观分析后得出的结论，有待理论上的严格证明，本次建模时间紧，加之我们水平有限，故未偿试对其进行证明。 至此，问题1得到解决。模型22.1、模型（2）的建立如图（2-4）建立坐标系其中，虚线是管线的城郊分界线。D是管线PDB的城郊分界点，

13、D(c,z),z是第三自变量。建立模型（2）如下：这是一个三元函数连续函数，此模型同样具有普适性。其中：x 0,c,y 0,b,z 0,b;注释：对函数的定义域，我们也做了合理的扩大，不影响最小值的寻求的理由，与模型（1）类似。2.2、模型（2）的求解思路，（与模型（1）相似）其解P(x,y，z)，在y0时是可能的最小方案点（这时若解唯一，就是最优方案），而点C(x,0)就是建火车站地点；y0时也可以间接寻找出最小方案（请看下面的注释）至此解模思路指明，该模型也具有普适性，给定常数参数a，b, ,c, m,n,p,q后，用MATLAB软件可实现求解。注释：1)同样我们发现，解决类似具体问题时，

14、有的需要铺设共用管线，而有的不需要。而且我们明显察觉到：a,b,，c, m,n,p,q这几个参数联合决定是否需要共用管线，由于时间关系，不在此深入讨论a,b, ,c, m,n,p,q满足什么条件时，需要建共用管线的问题。 2)求解模型得到的解P（x,y，z）中，如果y0就表明该实际问题不需要共用管线，而且最小方案点是P(x,0,z)；反之，y0则表示该实际问题需要共用管线，最小方案点就直接是P(x,y,z),共用管线的长度就是y，这个结论，也有待理论上的严格证明，本次建模时间紧，加之我们水平有限，故未偿试对其进行证明。2.3、模型（2）的检验与应用、若a=5千米，b=8千米，c=15千米， =

15、20千米，m=n=p=7.2万元，q=21.6万元用MATLAB软件求得：x=5.4475千米,y=1.8549千米,z7.3701千米（参看附件5）至此，问题2得以解决，最少造价为：F(5.4475,1.8549,7.3701)=283.2013（万元）（参看附件5）车站选建地点为：C(5.4475,0)、若a=5千米，b=8千米，c=15千米， =20千米，m=5.6万元，n=6.0万元，p=7.2万元，q=21.6万元（参看附件6）。用MATLAB软件求得：x=6.7321千米,y=0.1401千米,z=7.2822千米（参看附件5）这个函数是四维空间上的超几何体，已不可画图。至此，问题

16、3已经解，其最少造价为：F(6.7321,0.1401,7.2822)=252.4737（万元）（参看附件5）火车站建站地点为：C(6.7321,0)六 模型的评价与推广6.1、模型的评价：模型（1）找到了求解建设管线花费最小的建设方案点的途径，这是模型（1）为解决本实际问题作出的最有价值的贡献，但模型（1）偏于简单，忽略了一些影响建设成本的外在因素，例如城区与郊区建设成本单价有差别等等，离设计院的实际要求还有一定的距离。故在模型（1）的基础上开发出了模型（2），它把城区与郊区铺设成本不同考虑了进来，设计院面临的实际问题2与3得以较好地解决。总之，我们所建模型具有通用性，建模的思路也具有通用性

17、，为相关单位解决此类问题提供了一个很好的样板。6.2、模型的优点：1、我们所建模型，描述问题简捷清楚，在模型定义域的确定与最优解的找寻上，数学知识调动较为得体，有自己的独到之处；2、解模上，完全使用软件，在理论分析的支持下，直观高效地求解出了所研究问题的最优方案，有很高的技术含量；3、建模与解模的过程中，都有很高直观性，利于应用者使用；4、该模型通用性很强，利于推广到其它的科学技术生产领域；5、全面解决了油田设计院面临的具体问题；6、如想多考虑一个外在因素，无非是多引进一个变量，还是一个多元连续函数 ，求解思路类似。 6.3、模型的缺点：1、在求解最小方案点的过程中，面对y0的情形，只是给出了

18、寻找最优可行方案的方法，没给出严格的理论证明，这方面有待完善。6.4、模型的改进：这里只谈谈模型改进的一些想法：（1）城区铺设管线由于建筑物的阻碍，不见得是直线铺出，折线铺高的可能性更大一些，所以要深入调查研究，依据第一手资料来针对性地改进模型；（2）地理因素在改进的模型中，应考虑进来，地形复杂的区域上，更应该重视；（3）也应该考虑炼油厂分布在铁路线两侧的情形，建立出解决此类问题的普适模型来。6.5、模型的推广：我们的建模思路与所建模型，由于具有普适性，可以较为广泛地应用于输气、供水、筑路（交通也无非是个车流量问题）、工厂自动传送设施等等大大小小的国计民生领域。参考文献1周本虎，MATLAB与数学实验，北京：中国林业出版社，20072林益，工程数学，北京：高等教育出版社，20033吴建国，建模案例精编，北京：中国水利水电出版社，2005附件3附件4附件5附件2附件1附件6城区管线铺设中增加的拆迁和工程补偿附加费的公允估算值，记为q，参照三家工程咨询公司的资质，建议决策者用如下公式计算q0.4公司一估算单价+0.3公司二估算单价+0.3公司三估算单价这样计算的公正性，不用细述。显然，第二个问题中：q0.421+0.324+0.32021.6（万元/千米）