输油管的优化设计方案.docx
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输油管的优化设计方案
输油管的优化设计方案
【摘要】
为了帮助油田设计院找到费用最省的输油管线建设方案，我们建立了两个多元连续函数的数学模型，称之为模型
（1）与模型
（2）
模型
（1）是一个二元连续函数模型，简单直接地解决了油田设计院希望的费用最省的问题1。
我们用两组测试数据对模型
（1）进行了检测，发现结合MATLAB软件使用起来，简单高效。
结合对测试数据及其直观图像的联合分析，找到了求解建设管线花费最小的建设方案点的途径：
（1）、y>0时，需要建设共用管线，y值就共用管线的长度，模型之解直接就是最优解；
（2）、y<0或y=0时，说明不需要建设共用管线，模型之解只是个纯数学意义的最小点，而不是可行方案，但借助这个纯数学意义的最小点作跳板，可间接寻找出最佳可行方案点。
这是模型
（1）为解决本实际问题作出的最有价值的贡献，但模型
（1）偏于简单，忽略了一些影响建设成本的外在因素，例如城区与郊区建设成本单价有差别等等，离设计院的实际要求还有一定的距离，故在模型
（1）的基础上开发出了模型
（2）
模型
（2）把城区与郊区铺设成本不同考虑了进来，设计院面临的实际问题2与3得以较好地解决。
利用模型
（2），结合MATLAB软件，较轻松地解决了该设计院急需解决的俩问题：
（1）、如考虑城区与郊区的因素，管线铺设单价都是7.2万元/千米时，最少建设成本为283.2013万元，车站建站点距A厂与铁路线的垂线垂足（即原点）5.4475千米的地点（沿B厂方向）；
（2）、如考虑郊区与城区因素的同时还考虑不同路段的管道单价，则最少建设成本为252.4737万元，车站建站点距A厂与铁路线的垂线垂足（即原点）6.7321千米沿B厂方向处。
总之，我们所建模型具有通用性，建模的思路也具有通用性，为相关单位解决此类问题提供了一个很好的样板。
【关键词】：
多元连续函数的极值公允估算值偏导数
一、问题重述
1.1、基本情况
某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上修建一个车站，用来运输成品油。
如何建造才能做到管线建设费用最低，设计方希望建立管线建设费用最省的数学模型，由于该问题具有普遍性，设计方也希望建模思路具有普适性。
为此，我们做了如下三项工作：
1）建立一个普适模型，把是否使用共用管线，共用管线与非共用管线的费用行等因素也考虑进来；
2）再逐步深入，把管线是否经过城区，城区与郊区的铺设费用差别因素等等也考虑进来；
3）再把不同的炼油厂的规模与输油管线的粗细（这涉及到建设成本）因素考虑进来；
4）以此类推，每增加一个变化因素，就是多一个自变量，从中探索出建模思路，为设计者解决此类问题提供数学模型支持。
1.2、相关信息
①（设计院面对的一个具体情形）A、B分别表示两炼油厂的具体位置（单位：
千米），A在郊区B在城区。
具体如下图（虚线为城郊分界线）：
若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。
铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用，聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）对所用费用进行了估算。
估算结果如下表所示：
工程咨询公司
公司一
公司二
公司三
附加费用（万元/千米）
21
24
20
要求为设计院找出管线布置最佳方案，并计算相应建设费用。
②若管道线的铺设费用分别为输送Ａ厂成品油5.6万元/千米，输送B厂成品油6.0万元/千米，共用管道费用为7.2万元/千米。
要求为设计院找出管线布置最佳方案，并计算相应建设费用。
1.3、需要解决的问题
问题1：
针对俩炼油厂在铁路线同侧的情形，设计一个模型用于寻找最佳方案，使得费用最省，并算出最省费用。
模型力求通用。
问题2：
若遇上更为复杂的情形，例如考虑城区与郊区的建造成本区别，又如何进一步改进模型，以达解决问题的目的。
同时让模型也具通用性。
问题3：
若进一步考虑区分出不同管线的铺设单价，模型又如何改进？
并付诸应用，解决设计院面对的具体问题。
二、问题分析
（1）、由于俩炼油厂的位于铁路同侧。
如图所示：
建立直角坐标系xOy并设俩炼油厂的位置分别为A、B。
x轴表示铁路线。
分以下四种情况。
①AB在同一直线上并与x轴垂直（这时一定有共用管道）。
如图2--1示：
②、A在x轴上B不再x轴上（不需共用管道）。
如图2—2示：
以上俩特殊情形，告诉我们，可行方案中，有使用共用管线的，也有不使用
共用管线的情形
③、A在y轴上，B不在坐标轴上（普遍情况l=0时演变成图2-1；a=0时演变为图2-2）。
如图2—3（不妨设a
b）
（2）、更复杂一些，若其中一厂地处城区（例如B厂），如图2—4所示，则存在城区与郊区的建设成本区别，则应将这个变数考虑进来。
设城郊分界线与管线的交点坐标为D（c,z），z就成了第三自变量。
BD段是城区管线，建设上当然要增加坼迁和工程补偿等附加费用。
（3）若各段管道的单价有差别，加上城区管线建设所增附加费用，仍可根据
（2）中的方案求解。
三、模型假设
1、假设炼油厂都在铁路线的同一侧；
2、假设郊区的附加费用（例如青苗赔偿等）不计；
3、假设不考虑建设管线的地理因素；
4、假设不考虑施工期市场价格的波动；
5、假设公用管道建设的单价不超过独用管道单价之和。
四、符号说明
a：
表示A厂的纵坐标（几何意义是A厂到铁路线的距离）；
b：
表示B厂的纵坐标（几何意义是B厂到铁路线的距离）；
c:
城郊分界线与铁路线的交点的横坐标；
:
A厂与B厂到铁路线的垂线的垂足之间的距离；
x：
表示共用管线与独用管线的交点P点的横坐标；
y：
表示共用管线与独用管线的交点P点的纵坐标；
m：
表示A点到P点的管道的建设单价（单位：
万元/千米）；
n：
表示B点到P点的管道的建设单价（单位：
万元/千米）；
p：
表示共用管线PC的建设单价（单位：
万元/千米）；
z：
表示管线BDP的城郊结合点P的纵坐标；
q：
表示铺设城区管线所增加的拆迁与工程补偿附加费用的公允估算值；
五、模型的建立与求解
模型1
1.1、建立坐标系xOy（如图2-3所示）
其中P（x,y）是共用管线与非共用管线的交汇点；C（x,0）是车站建站点。
则该问题的模型为一个二元连续函数F（x,y），我们给这个模型命名为模型
（1）：
定义域：
（这个二元函数的定义域，图形为矩形）
注释：
F（x,y）的定义域本来是个直角梯形，这里我们适当扩大成了一个矩形（参看图2-3），不影响最小值的寻求。
因为将点P（x,y）选在AB连线的上方，注定多花钱。
1.2、模型
（1）的求解思路
该模型的图像直观判断是一片光滑曲面（无奇点），且最小值依据常识判断必定存在。
故：
其解P（x,y），当y＞0时，是可能的最小方案点（若解唯一，就是最优方案）（y≤0时请看下面的注释），而点C（x,0）就是火车站建站地点。
至此解模思路指明，该模型具有普适性，给定常数参数a，b,
m,n,p后，用MATLAB软件可实现求解。
1.3、模型
（1）的检验与应用
①、若a=5千米,b=8千米,
=15千米，
m=5.6万元/千米,n=6.0万元/千米,p=7.2万元/千米
用MATLAB求解得：
x=6.2794（千米）,y=0.4669（千米）（参看附件1）
与直观图形相合（参看附件2）
当然最小造价为：
F（6.2794,0.4669）＝115.8742万元（参看附件1）
火车站建站地点为：
C（6.2796,0）
②、若a=5千米,b=8千米,
l=20千米，
m=5.6万元/千米,n=6.0万元/千米,p=7.2万元/千米
用MATLAB软件求得：
x=9.0032千米，y=-1.4994千米（参看附件3）
y＜0，这表面上看是一个不可行方案，只是一个纯数学上的最小点，但参照其直观图形（参看附件4）发现：
费用最省的可行方案点正好是直线x=9.0032与直线y=0的交点（看图说话，发现P（9.0032,0）对应的函数值是最小的），故：
x=9.0032千米，y=0千米是最佳方案（最小点在定义域的边界上取得）。
所以造价为：
F（9.0032,0）=139.2645万元（参看附件3）
火车站建站地点为：
C（9.0032,0）
注释：
1）通过这两组数据对模型
（1）的应用与检验，我们发现，解决类似具体问题时，有的需要铺设共用管线，而有的不需要。
而且我们明显察觉到：
a,b,l，m,n,p这几个参数联合决定是否需要共用管线，由于时间关系，不在此深入讨论a,b,l，m,n,p满足什么条件时，需要建共用管线的问题。
2）求解模型得到的解P（x,y）中，如果y≤0就表明该实际问题不需要共用管线，而且最小方案点是P（x,0）；反之，y＞0则表示该实际问题需要共用管线，共用管线的长度就是y，这是我们直观分析后得出的结论，有待理论上的严格证明，本次建模时间紧，加之我们水平有限，故未偿试对其进行证明。
至此，问题1得到解决。
模型2
2.1、模型
（2）的建立
如图（2-4）建立坐标系
其中，虚线是管线的城郊分界线。
D是管线PDB的城郊分界点，D（c,z）,z是第三自变量。
建立模型
（2）如下：
这是一个三元函数连续函数，此模型同样具有普适性。
其中：
x
[0,c],y
[0,b],z
[0,b];
注释：
对函数的定义域，我们也做了合理的扩大，不影响最小值的寻求的理由，与模型
（1）类似。
2.2、模型
（2）的求解思路，（与模型
（1）相似）
其解P（x,y，z），在y＞0时是可能的最小方案点（这时若解唯一，就是最优方案），而点C（x,0）就是建火车站地点；y≤0时也可以间接寻找出最小方案（请看下面的注释）
至此解模思路指明，该模型也具有普适性，给定常数参数a，b,
c,m,n,p,q后，用MATLAB软件可实现求解。
注释：
1）同样我们发现，解决类似具体问题时，有的需要铺设共用管线，而有的不需要。
而且我们明显察觉到：
a,b,
，c,m,n,p,q这几个参数联合决定是否需要共用管线，由于时间关系，不在此深入讨论a,b,
c,m,n,p,q满足什么条件时，需要建共用管线的问题。
2）求解模型得到的解P（x,y，z）中，如果y≤0就表明该实际问题不需要共用管线，而且最小方案点是P（x,0,z）；反之，y＞0则表示该实际问题需要共用管线，最小方案点就直接是P（x,y,z）,共用管线的长度就是y，这个结论，也有待理论上的严格证明，本次建模时间紧，加之我们水平有限，故未偿试对其进行证明。
2.3、模型
（2）的检验与应用
①、若a=5千米，b=8千米，c=15千米，
=20千米，
m=n=p=7.2万元，q=21.6万元
用MATLAB软件求得：
x=5.4475千米,y=1.8549千米,z＝7.3701千米（参看附件5）
至此，问题2得以解决，最少造价为：
F（5.4475,1.8549,7.3701）=283.2013（万元）（参看附件5）
车站选建地点为：
C（5.4475,0）
②、若a=5千米，b=8千米，c=15千米，
=20千米，
m=5.6万元，n=6.0万元，p=7.2万元，q=21.6万元（参看附件6）。
用MATLAB软件求得：
x=6.7321千米,y=0.1401千米,z=7.2822千米（参看附件5）
这个函数是四维空间上的超几何体，已不可画图。
至此，问题3已经解，其最少造价为：
F（6.7321,0.1401,7.2822）=252.4737（万元）（参看附件5）
火车站建站地点为：
C（6.7321,0）
六模型的评价与推广
6.1、模型的评价：
模型
（1）找到了求解建设管线花费最小的建设方案点的途径，这是模型
（1）为解决本实际问题作出的最有价值的贡献，但模型
（1）偏于简单，忽略了一些影响建设成本的外在因素，例如城区与郊区建设成本单价有差别等等，离设计院的实际要求还有一定的距离。
故在模型
（1）的基础上开发出了模型
（2），它把城区与郊区铺设成本不同考虑了进来，设计院面临的实际问题2与3得以较好地解决。
总之，我们所建模型具有通用性，建模的思路也具有通用性，为相关单位解决此类问题提供了一个很好的样板。
6.2、模型的优点：
1、我们所建模型，描述问题简捷清楚，在模型定义域的确定与最优解的找寻上，数学知识调动较为得体，有自己的独到之处；
2、解模上，完全使用软件，在理论分析的支持下，直观高效地求解出了所研究问题的最优方案，有很高的技术含量；
3、建模与解模的过程中，都有很高直观性，利于应用者使用；
4、该模型通用性很强，利于推广到其它的科学技术生产领域；
5、全面解决了油田设计院面临的具体问题；
6、如想多考虑一个外在因素，无非是多引进一个变量，还是一个多元连续函数，求解思路类似。
6.3、模型的缺点：
1、在求解最小方案点的过程中，面对y≤0的情形，只是给出了寻找最优可行方案的方法，没给出严格的理论证明，这方面有待完善。
6.4、模型的改进：
这里只谈谈模型改进的一些想法：
（1）城区铺设管线由于建筑物的阻碍，不见得是直线铺出，折线铺高的可能性更大一些，所以要深入调查研究，依据第一手资料来针对性地改进模型；
（2）地理因素在改进的模型中，应考虑进来，地形复杂的区域上，更应该重视；
（3）也应该考虑炼油厂分布在铁路线两侧的情形，建立出解决此类问题的普适模型来。
6.5、模型的推广：
我们的建模思路与所建模型，由于具有普适性，可以较为广泛地应用于输气、供水、筑路（交通也无非是个车流量问题）、工厂自动传送设施等等大大小小的国计民生领域。
参考文献
[1] 周本虎，MATLAB与数学实验，北京：
中国林业出版社，2007
[2] 林益，工程数学，北京：
高等教育出版社，2003
[3] 吴建国，建模案例精编，北京：
中国水利水电出版社，2005
附件3
附件4
附件5
附件2
附件1
附件6
城区管线铺设中增加的拆迁和工程补偿附加费的公允估算值，记为q，参照三家工程
咨询公司的资质，建议决策者用如下公式计算
q＝0.4×公司一估算单价+0.3×公司二估算单价+0.3×公司三估算单价
这样计算的公正性，不用细述。
显然，第二个问题中：
q＝0.4×21+0.3×24+0.3×20＝21.6（万元/千米）
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