初中梯形知识+习题+难题.docx

1、初中梯形知识+习题+难题梯形 一、四边形的分类： 我们已经研究了四边形及特殊的四边形的有关问题，我们还应了解它们之间的互相联系，因此我们要了解四边形的分类。 二、梯形是一种特殊的四边形，我们重点研究特殊的梯形：等腰梯形和直角梯形；重点研究等腰梯形的性质和判定。 1.梯形定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 2.直角梯形定义：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。 3.等腰梯形定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 4.等腰梯形的性质： （1）由定义知两腰相等，两底平行； （2）等腰梯形在同一底上的两个角相等； （3）等腰梯形的两条对角线相等； （4）等腰梯形是轴对称图形。 5.等腰梯形

2、的判定： （1）用定义判定； （2）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形； （3）两条对角线相等的梯形是等腰梯形。 三、解决有关梯形问题经常需要添加辅助线，下面我们研究几种常见的辅助线： 1.延长两腰交于一点 作用：使梯形问题转化为三角形问题。 若是等腰梯形则得到等腰三角形。 2.平移一腰 作用：使梯形问题转化为平行四边形及三角形问题。 3.作高 作用：使梯形问题转化为直角三角形及矩形问题。 4.平移一条对角线作用：（1）得到平行四边形ACED，使CE=AD， BE等于上、下底的和 （2）S梯形ABCD=SDBE 5.当有一腰中点时，连结一个顶点与一腰中点并延长交一个底的延长线。 作用：可得A

3、DEFCE，所以使S梯形ABCD=SABF。 6.添加梯形中位线 作用：能应用梯形中位线的有关性质。 四、例题： 研究梯形问题常常要用到平行四边形及三角形的有关知识，我们要善于把学过的知识融汇贯通。 例1.如图在RtABC中，BAC=900，BD=BA，M为BC中点，MN/AD交AB于N。求证：DN=BC。 分析：此题是证线段的“倍半”问题，我们知道“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，已知CAB=900，若连结AM，则AM=BC，只要证明AM=DN即可。于是考虑证明四边形ANMD是等腰梯形即可。 证明：连结AM， CAB=900，M为BC中点， AM=BC， MN/AD且DM与AN不平行

4、， 四边形ANMD是梯形， 又 BD=BA， BAD=BDA， 梯形ANMD是等腰梯形。 DN=AM（等腰梯形对角线相等） DN=BC。 说明：“等腰梯形对角线相等”这一性质，又给出一个证明线段等的方法。 例2.已知如图，梯形ABCD中，AD/BC，ACBD，BD=5cm，高DE=4cm。求：S梯形ABCD。 分析：已知梯形的高，要求梯形面积，只需求出上、下底的和。平移一条对角线，即作DF/AC交BC延长线于F，这样AD=CF，只要求出BF的长即可。 解：过D作DF/AC交BC延长线于F， AD/BC， AD=CF， BF=BC+CF=BC+AD， ACBD， BDDF， DBF是Rt， 在R

5、tBDE中，BE2+DE2=BD2，（勾股定理） BE2=BD2-DE2，又 BD=5，DE=4， BE=3， 在RtDEF中，DE2+EF2=DF2 (1) 在RtDBF中，BD2+DF2=BF2 BF2-BD2=DF2 (2) 由(1), (2)两式可得 DE2+EF2=BF2-BD2， 设EF=x，则BF=3+x， 42+x2=(3+x)2-52 化简得 3x=16 x=，即EF=， BF=BE+EF=3+=, S梯形ABCD=(BC+AD)DE=BFDE =4=(cm2) 所求梯形面积是cm2。 说明：在解题过程中我们为求EF的长，使用了一个重要的数学思想方法方程思想。即利用方程求线段

6、的长。 用方程思想解决几何中的计算问题，是用代数的方法解决几何问题的重要思路，也是数形结合数学思想应用的一个方面。使用方程思想的关键是适当设元，然后利用等量关系列出方程。实际问题中存在着大量的等量关系，如在此题中，RtDEF和RtDBF，共用一条边DF，因此借助勾股定理分别把DF2用其他线段的平方表示出来，这样就找到了等量关系即BF2-BD2=DE2+EF2，再合理设出未知量，就得到了方程。请同学们在今后的学习中注意使用方程思想。 例3.已知：梯形ABCD中，DC/AB，AC=CB，ACB=900，BD=AB，AC、BD相交于E。求证：ADE是等腰三角形。 分析：由已知得到ACB是等腰直角三角

7、形，若作CHAB于H，可得CH=AB，即CH=BD，作DFAB于F，可得DF=CH=BD，可得出1=300，从而通过计算角度的方法可使问题得到解决。 证明：过D作DFAB于F，过C作CHAB于H， AC=BC，ACB=900， CAB=450，AH=HB， CH=AB， 又 DC/AB， DF=CH=AB， BD=AB， DF=BD，又 DFB=900， 1=300， BDA中，BD=AB， BDA=(1800-1)=750， AED是ABE的外角， AED=1+2=300+450=750， BDA=AED， AD=AE， ADE是等腰三角形。 说明：此题通过计算角度的方法得到角等，从而得到等

8、腰三角形。通过计算的方法证明几何题也是数形结合思想的应用。此题的证明过程中还充分体现了由已知条件出发，顺藤摸瓜，步步深入，寻求答案的发散思维过程。希望每位同学都能在学习过程中独立思考，不断总结经验，把所学知识融汇贯通，不断提高分析问题，解决问题的能力。 五、练习： 1.等腰梯形两底长为4cm和10cm，一底角为450，求：它的面积。 2.梯形ABCD中，AB/CD，CD=4，BC=4，AD=8，C=1350，求梯形面积。 3.已知：如图，梯形ABCD中，AD/BC，B+C=900，M、N分别是AD，BC的中点。求证：MN=(BC-AD) 4.如图，已知梯形ABCD，AD/BC，ABAC，AB=

9、AC，BD=BC，求DBC的度数。 梯形辅助线专题训练题1、如图，已知在梯形ABCD中，ABDC，D=60，C=45，AB=2，AD=4，求梯形ABCD的面积2、在梯形ABCD中，AD/BC，AB=DC=AD=2， BC=4，求B的度数及AC的长。3、如图所示，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，B60，AD2，BC8，求等腰梯形的周长。4、 如图所示，ABCD，AEDC，AE12，BD20，AC15，求梯形ABCD的面积。5、 如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知ADBC，对角线AC与BD互相垂直，且AD30，BC70，求BD的长. 6、 如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60，它的两底分别为1

10、5cm和49cm，求它的腰长. 7、 如图所示，已知等腰梯形ABCD中，ADBC，ACBD，ADBC10，DEBC于E，求DE的长. 8、已知：如图，梯形ABCD中，ADBC，AB=DC，BAD、CDA的平分线AE、DF分别交直线BC于点E、F求证： CE=BF9、如图，在梯形中，求的长10、如图6，在梯形中，DE=EC，AB=4,AD=2，求的长11、已知：如图，梯形ABCD中，DCAB，AD=BC，对角线AC、BD交于点O，COD=60，若CD=3，AB=8，求梯形ABCD的高 12、已知如图，直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+P

11、D取最小值时，APD中边AP上的高为 . 13、如图，在四边形中，AC平分BAD，求AC的长1.（2011台湾）如图为菱形ABCD与正方形EFGH的重迭情形，其中E在CD上，AD与GH相交于I点，且ADHE若A=60，且AB=7，DE=4，HE=5，则梯形HEDI的面积为多少？2.（2010内江）如图，梯形ABCD中，ADBC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AFAB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，则CE的长为多少？3.（2003泰安）如图，在梯形ABCD中，ADBC，AD=2，BC=8，AC=6，BD=8，则此梯形的面积是多少？4.（2010河南）在梯形ABCD中，ADB

12、C，E是BC的中点，AD5，BC12，CD42，C45，点P是BC边上一动点，设PB长为x，（1）当x的值为多少时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形？（2）当x的值为多少时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形？（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？请说明理由。5已知，如图，在直角梯形COAB中，CBOA，以O为原点建立平面直角坐标系，A、B、C的坐标分别为A（10，0）、B（4，8）、C（0，8），D为OA的中点，动点P自A点出发沿ABCO的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒（1）求过点O、B、A三点的抛物线的解析式；（2）求AB的长；若动点P在从A到B的移动过程中，设APD的面积为S，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；（3）动点P从A出发，几秒钟后线段PD将梯形COAB的面积分成1：3两部分？求出此时P点的坐标