初中梯形知识+习题+难题.docx
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初中梯形知识+习题+难题
梯 形
一、四边形的分类：
我们已经研究了四边形及特殊的四边形的有关问题，我们还应了解它们之间的互相联系，因此我们要了解四边形的分类。
二、梯形是一种特殊的四边形，我们重点研究特殊的梯形：
等腰梯形和直角梯形；重点研究等腰梯形的性质和判定。
1.梯形定义：
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
2.直角梯形定义：
一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。
3.等腰梯形定义：
两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
4.等腰梯形的性质：
（1）由定义知两腰相等，两底平行；
（2）等腰梯形在同一底上的两个角相等；
（3）等腰梯形的两条对角线相等；
（4）等腰梯形是轴对称图形。
5.等腰梯形的判定：
（1）用定义判定；
（2）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；
（3）两条对角线相等的梯形是等腰梯形。
三、解决有关梯形问题经常需要添加辅助线，下面我们研究几种常见的辅助线：
1.延长两腰交于一点
作用：
使梯形问题转化为三角形问题。
若是等腰梯形则得到等腰三角形。
2.平移一腰
作用：
使梯形问题转化为平行四边形及三角形问题。
3.作高
作用：
使梯形问题转化为直角三角形及矩形问题。
4.平移一条对角线
作用：
（1）得到平行四边形ACED，使CE=AD，
BE等于上、下底的和
（2）S梯形ABCD=S△DBE
5.当有一腰中点时，连结一个顶点与一腰中点并延长交一个底的延长线。
作用：
可得△ADE≌△FCE，所以使S梯形ABCD=S△ABF。
6.添加梯形中位线
作用：
能应用梯形中位线的有关性质。
四、例题：
研究梯形问题常常要用到平行四边形及三角形的有关知识，我们要善于把学过的知识融汇贯通。
例1.如图在Rt△ABC中，∠BAC=900，BD=BA，M为BC中点，MN//AD交AB于N。
求证：
DN=BC。
分析：
此题是证线段的“倍半”问题，我们知道“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，
已知∠CAB=900，若连结AM，则AM=BC，只要证明AM=DN即可。
于是考虑证明四边形ANMD是等腰梯形即可。
证明：
连结AM，
∵∠CAB=900，M为BC中点，
∴AM=BC，
∵MN//AD且DM与AN不平行，
∴四边形ANMD是梯形，
又∵BD=BA，∴∠BAD=∠BDA，
∴梯形ANMD是等腰梯形。
∴DN=AM（等腰梯形对角线相等）
∴DN=BC。
说明：
“等腰梯形对角线相等”这一性质，又给出一个证明线段等的方法。
例2.已知如图，梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，BD=5cm，高DE=4cm。
求：
S梯形ABCD。
分析：
已知梯形的高，要求梯形面积，只需求出上、下底的和。
平移一条对角线，即作DF//AC交BC延长线于F，这样AD=CF，只要求出BF的长即可。
解：
过D作DF//AC交BC延长线于F，
∵AD//BC，∴AD=CF，
∴BF=BC+CF=BC+AD，
∵AC⊥BD，∴BD⊥DF，∴△DBF是Rt△，
在Rt△BDE中，BE2+DE2=BD2，（勾股定理）
∴BE2=BD2-DE2，又∵BD=5，DE=4，
∴BE==3，
在Rt△DEF中，DE2+EF2=DF2
（1）
在Rt△DBF中，BD2+DF2=BF2
∴BF2-BD2=DF2
（2）
由
（1）,
（2）两式可得 DE2+EF2=BF2-BD2，
设EF=x，则BF=3+x，
∴42+x2=（3+x）2-52
化简得3x=16
∴x=，即EF=，
∴BF=BE+EF=3+=,
∴S梯形ABCD=（BC+AD）×DE=BF·DE
=××4=（cm2）
∴所求梯形面积是cm2。
说明：
在解题过程中我们为求EF的长，使用了一个重要的数学思想方法——方程思想。
即利用方程求线段的长。
用方程思想解决几何中的计算问题，是用代数的方法解决几何问题的重要思路，也是数形结合数学思想应用的一个方面。
使用方程思想的关键是适当设元，然后利用等量关系列出方程。
实际问题中存在着大量的等量关系，如在此题中，Rt△DEF和Rt△DBF，共用一条边DF，因此借助勾股定理分别把DF2用其他线段的平方表示出来，这样就找到了等量关系即BF2-BD2=DE2+EF2，再合理设出未知量，就得到了方程。
请同学们在今后的学习中注意使用方程思想。
例3.已知：
梯形ABCD中，DC//AB，AC=CB，∠ACB=900，BD=AB，AC、BD相交于E。
求证：
△ADE是等腰三角形。
分析：
由已知得到△ACB是等腰直角三角形，若作CH⊥AB于H，可得CH=AB，即CH=BD，作DF⊥AB于F，可得DF=CH=BD，可得出∠1=300，从而通过计算角度的方法可使问题得到解决。
证明：
过D作DF⊥AB于F，过C作CH⊥AB于H，
∵AC=BC，∠ACB=900，
∴∠CAB=450，AH=HB，
∴CH=AB，
又∵DC//AB，∴DF=CH=AB，
∵BD=AB，∴DF=BD，又∵∠DFB=900，
∴∠1=300，
△BDA中，BD=AB，∴∠BDA=（1800-∠1）=750，
∵∠AED是△ABE的外角，
∴∠AED=∠1+∠2=300+450=750，
∴∠BDA=∠AED，∴AD=AE，
∴△ADE是等腰三角形。
说明：
此题通过计算角度的方法得到角等，从而得到等腰三角形。
通过计算的方法证明几何题也是数形结合思想的应用。
此题的证明过程中还充分体现了由已知条件出发，顺藤摸瓜，步步深入，寻求答案的发散思维过程。
希望每位同学都能在学习过程中独立思考，不断总结经验，把所学知识融汇贯通，不断提高分析问题，解决问题的能力。
五、练习：
1.等腰梯形两底长为4cm和10cm，一底角为450，求：
它的面积。
2.梯形ABCD中，AB//CD，CD=4，BC=4，AD=8，∠C=1350，求梯形面积。
3.已知：
如图，梯形ABCD中，AD//BC，∠B+∠C=900，M、N分别是AD，BC的中点。
求证：
MN=（BC-AD）
4.如图，已知梯形ABCD，AD//BC，AB⊥AC，AB=AC，BD=BC，求∠DBC的度数。
梯形辅助线专题训练题
1、如图，已知在梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=60°，∠C=45°，AB=2，AD=4，求梯形ABCD的面积．
2、在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC=AD=2，BC=4，求∠B的度数及AC的长。
3、如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，求等腰梯形的周长。
4、如图所示，AB∥CD，AE⊥DC，AE＝12，BD＝20，AC＝15，求梯形ABCD的面积。
5、如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，对角线AC与BD互相垂直，且AD＝30，BC＝70，求BD的长.
6、如图所示，已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm和49cm，求它的腰长.
7、如图所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E，求DE的长.
8、已知：
如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠BAD、∠CDA的平分线AE、DF分别交直线BC于点E、F．
求证：
CE=BF．
9、如图，在梯形中，，．求的长．
10、如图6，在梯形中，，，，DE=EC，AB=4,AD=2，求的长．
11、已知：
如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，对角线AC、BD交于点O，∠COD=60°，若CD=3，AB=8，求梯形ABCD的高．
12、已知如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为.
13、如图，在四边形中，AC平分∠BAD，，，．
求AC的长．
1.（2011•台湾）如图为菱形ABCD与正方形EFGH的重迭情形，其中E在CD上，AD与GH相交于I点，且AD∥HE．若∠A=60°，且AB=7，DE=4，HE=5，则梯形HEDI的面积为多少？
2. （2010•内江）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，则CE的长为多少？
3. （2003•泰安）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=8，AC=6，BD=8，则此梯形的面积是多少？
4. （2010•河南）在梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，AD＝5，BC＝12，CD＝4
2，∠C
＝45°，点P是BC边上一动点，设PB长为x，
（1）当x的值为多少时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形？
（2）当x的值为多少时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形？
（3）点P在BC边上运动的过程中，以P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？
请说明理由。
5．已知，如图，在直角梯形COAB中，CB∥OA，以O为原点建立平面直角坐标系，A、B、C的坐标分别为A（10，0）、B（4，8）、C（0，8），D为OA的中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的路线移动，速度为每秒1个单位，移动时间记为t秒．
（1）求过点O、B、A三点的抛物线的解析式；
（2）求AB的长；若动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
（3）动点P从A出发，几秒钟后线段PD将梯形COAB的面积分成1：
3两部分？
求出此时P点的坐标．
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