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1、目标管理考试目标（目标管理）考试目标第70课棱锥考试目标主词填空1.定义：有壹个面是多边形，其余各面是有壹个公共顶点的三角形的多面体.2.分类：按底面边数分：三棱锥、四棱锥特例：正棱锥底面是正多边形且且顶点于底面上射影是底面中心的棱锥.3.性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，且且它们面积之比等于截得棱锥的高和已知棱锥高的平方比.即(类推：).对于正棱锥：（1）各条侧棱相等；（2）各侧面是全等的等腰三角形；（3）棱锥的高和斜高及斜高于底面上的射影构成壹个直角三角形；棱锥的高和侧棱的底面上的射影也构成壹个直角三角形.4.侧面积和体积：.题型示例点津归纳【例1】棱锥PABCD的

2、底面是正方形，侧面PAB，PAD均垂直于底面，另俩侧面和底面成45角，M，N分别为BC，CD的中点，最长的侧棱为15cm.求:(1)棱锥的高；（2）底面中心O到平面PMN的距离.【解前点津】棱锥的概念于本题求解中且无作用，重点应分析和利用好给出的面面关系.【规范解答】如图所示.(1)设高为h,由平面PAB，平面PAD均垂直于底面，得PA底面AC.又PBA=45，PA=AB=h,AC=h.由PA2AC2PC2及PC15，得h=5(cm);(2)BDAC,BDPA,BD平面PAC.又MNBD,MN平面PAQ，平面PAQ平面PMN.作OHPQ于H，则OH之长即为所求.作AGPQ于G.于RtPAQ中，

3、AQ,PQ=AG=再由得OH=(cm).【解后归纳】由于于棱锥中，随处能够找到解题必需的三角形，因此平面几何知识和解三角形的知识往往成为正确解题的关键.【例2】如图，已知四棱锥PABCD的底面是菱形，棱长为4a,且ABC=60,PC平面ABCD，PC=4a,E是PA的中点.（1）求证：平面BDE平面ABCD；（2）求：E点到平面PBC的距离；（3）求：二面角AEBD的平面角的大小.【解前点津】（1）证平面BDE平面ABCD，需证平面BDE过平面ABCD的壹条垂线OE；（2）欲求E到平面PBC的距离可转化为求直线OE到平面的距离，进壹步转化为求点O到平面PBC的距离.（3）利用三垂线定理作出二面

4、角的平面角AGO,从而解出AGO可求得AGO的大小.【规范解答】证明:（1）连结AC、BD交于O，连OE、BE、DE.ABCD为菱形，OA=OC.又E为PA中点，OEPC.PC平面ABCD，OE平面ABCD.又OE平面BDE,平面BDE平面ABCD.(2)解:OEPC,PC平面PBC,OE平面PBC.E到平面PBC的距离和O到平面PBC的距离相等.PC平面ABCD，平面PBC平面ABCD，过O作OFBC于F，则OF平面PBC，即OF是O到平面PBC的距离.ABC=60,AC=AB=BC=4a,OC=2a,OF=OCsin60=2a=.点E到平面PBC的距离为.（3）解:过O作OGBE于G，连A

5、G，OEAC,BDAC,AC平面BDE，AGBE.AGO是二面角ABED的平面角.OE=PC=2a,OB=2,BE=4a.由三角形面积相等得：OG=,又AO=AC=2a.RtAOG中，tanAGOAGO=arctan.二面角AEBD的平面角的大小为arctan.【解后归纳】本题考查线线平行、垂直、线面平行和垂直、面面垂直的判定及性质，点到面的距离、二面角大小的求法，综合运用知识的能力，转化能力.【例3】如图，设三棱锥SABC的三个侧棱和底面ABC所成角均是60,又BAC=60,且SABC.（1）求证SABC为正三棱锥；（2）已知SAa,求SABC的全面积.【解前点津】(1)正棱锥的定义中，底面

6、是正多边形；顶点于底面上射影是底面的中心，俩个条件缺壹不可.（2）只要求出正三棱锥SABC的侧高SD和底面边长，则问题易于解决.【规范解答】(1)证明：作三棱锥SABC的高SO，O为垂足.连结AO且延长交BC于D.因为SABC,所以ADBC,又侧棱和底面所成的角均相等，从而O为ABC的外心,OD为BC的垂直平分线，所以ABAC.又BAC60,故ABC为正三角形，且O为其中心，所以SABC为正三棱锥.（2）于RtSAO中，由于SAa,SAO=60,所以SO=,AO=a,因O为重心，所以AD.BC=2BD=2ADcot60=,OD=AD=.于RtSOD中，SD2SO2OD2，则.SSABC全=【解

7、后归纳】求正棱锥的侧面积或全面积仍能够利用公式S正棱锥底cosS正棱锥侧（为侧面和底面所成的二面角），就本题cos=,SABC=,所以SSABC侧=,也可求出全面积.【例4】已知正三棱锥PABC底面边长为2,高也是2.(1)求此三棱锥的全面积;(2)过这棱锥底面的壹边作垂直于它所对棱的截面,求这个截面的面积.【规范解答】(1)斜高h=,S全=S侧+S底=(2)设顶点P于底面上的射影为O,连AO且延长交BC于E,连结PE,PEBC,AEBC,BC平面PAE,PABC.于平面PAE中,作EDPA于D,则PA截面BCD.于PAE中,AE=,AB=2,AE=,于RtPAO中,PO=2,AO=,PA=,

8、PADE=AEPO,DE=,截面DBC的面积是.【解后归纳】关于多面体表面积的计算,常用方法是将其表面展开成平面图形,转化为平面几何问题来解决;关于截面积的计算问题,则须根据截面的图形特征选择适当方法求之.对应训练分阶提升壹、基础夯实1.具有下列性质的三棱锥中，哪壹个是正棱锥()A.顶点于底面上的射影到底面各顶点的距离相等B.底面是正三角形，且侧面均是等腰三角形C.相邻俩条侧棱间的夹角相等D.三条侧棱相等，侧面和底面所成角也相等2.于四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有()A.4个B.2个C.3个D.1个3.设棱锥的底面面积为8cm2,那么这个棱锥的中截面(过棱锥高的中点且平行于底面的截面

9、)的面积是()A.4cm2B.2cm2C.2cm2D.cm24.已知三棱锥PABC的六条棱长均相等，E、F分别为棱PB、PC上的点，且，连结AE、AF、EF，则三棱锥AEFP的体积和四棱锥ABCFE的体积之比为()A.110B.111C.112D.1135.如图所示，用壹个平面去截壹个正方体，得到壹个三棱锥，于这个三棱锥中，除截面外的三个面的面积分别为S1、S2、S3，则这个三棱锥的体积为()第5题图A.B.C.D.6.壹个n棱锥的所有侧面和底面所成的二面角为30，且此棱锥的底面面积为S，则它的侧面积等于()A.B.C.D.2S7.以三棱锥各面重心为顶点，得到壹个新三棱锥，则它的表面积是原三棱

10、锥表面积的()A.B.C.D.8.俩个平行于底面的截面将棱锥的侧面积分成三个相等的部分.则此俩截面将棱锥的高分成的三段(自上而下)之比是()A.1B.1(-1)(-1)C.1(-1)(-)D.1(+1)(+)9.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BDa，则三棱锥DABC的体积为()A.B.C.D.二、思维激活10.正四棱锥SABCD，已知侧棱长等于底面边长，E是SA的中点，则异面直线BE和SC所成角的余弦值等于 .11.如果三棱锥S-ABC的底面是不等边三角形，侧面和底面所成的二面角均相等，且顶点S于底面的射影O于ABC内，那么O是ABC的 心12.三棱锥壹条侧棱长16cm,和这

11、条棱相对的棱长是18cm,其余四条棱长均是17cm,则棱锥的体积是 cm3.13.三棱锥PABC的底面是直角三角形，C90，PA底面ABC，若A到PC、PB的距离比是12，则侧面PAB和侧面PBC所成的角是 .14.于正四棱锥内有壹内接正方体，这正方体的四个顶点于棱锥的侧棱上，另四个顶点于棱锥底面内，若棱锥底面边长为a，高为h，则内接正方体的棱长为 .三、能力提高15.正三棱锥VABC的底面边长为a，侧棱和底面所成的角等于，过底面壹边作此棱锥的截面，当截面和底面所成二面角为何值时，截面面积最小?且求出最小值.16.如图所示，于正三棱锥SABC中，D、E、F分别是棱AC、BC、SC上的点，且CD

12、2AD，CE2BE，CF2SF，G是AB的中点.(1)求证:平面SAB平面DEF.(2)求证:SG平面DEF.(3)当AB2，SA时，求二面角FDEC的大小.17.三棱锥PABC中，PB底面ABC于B，BCA90，PBBCCA4，E为PC的中点，点F于PA上，且3PFFA.(1)求证：侧面PAC侧面PBC.(2)求异面直线PA和BE所成角的大小.(3)求三棱锥FABE的体积V.18.棱长为1的正方体ABCDABCD的上底面对角线AC上取壹点P,过P、A、B三点所作的截面和底面ABCD的夹角为,过P、B、C三点所作截面和底面ABCD的夹角为，求当(+)最小时点P的位置.19.正三棱锥PABC中,

13、AB=a,相邻俩个侧面所成的二面角为.(1)若BDPC,求BD的长;(2)求这棱锥的侧面积.第9课棱锥习题解答1.D根据正棱锥的性质选D.2.A四个侧面三角形均可能是直角三角形如底面ABCD为矩形，VA平面ABCD.3.C中截面的面积应是底面面积的,即2cm2所以选C.4.BVAEFP=VPABC=VAEFPVABCFE=111.5.C由壹点出发三条垂直的棱设为a、b、c，ab=S1，bc=S2，ac=S3，V=.6.C侧面积为.7.C表面积比为.8.C自上而下设高为h1、h2、h3，h12(h1+h2)2(h1+h1+h3)2=123.h1h2h3=1(-1)(-).9.DOD=OB=，SB

14、OD=,VDABC=.10.设AC的中点为O，连OE则OESC，cosOEB=.11.内心设S于ABC上的射影为O，由所成二面角相等可得O到ABC三边距离相等,故O为内心12.576如图,取AD的中点E,连结CE,BE,AC=CD=17,DE=8,CE2=172-82=225,BE=CE.取BC的中点F,连结EF,EF为BC边上的高EF=.SBCE=108,AC=CD=17cm,E为AD的中点,CEAD,同理BEAD,AD平面BCE,三棱锥可分为以截面BCE为底以AE,DE为高的俩个三棱锥.VA-BCE和VD-BCE,VA-BCE=2SBCEAE=21088=576(cm3).13.30PA平

15、面ABC，BCAC，BC平面PAC，平面PAC平面BCP.过A作ADPC于D，作AFPB于F连DF，sinAFD=,AFD=30.又AFD为俩侧面所成的角.14.设棱长为x，x=.15.如图，截面PBC中，BC=a为定值，而S，所以，若使S最小，只须PD最小即可，VA、BC为异面直线，当PD为VA、BC的公垂线时，PD的距离即为最短，当PDBC，PDVA时，PD最短.于RtPDA中，ADP，PDADsin，SPBC.16.(1)连结CG交DE于N，连结FN.CD2AD，CE2BE，CF2SF，CD，CE，CF，即.FDSA，FESB，DEAB.平面DEF平面SAB.(2)平面SAB平面SCGS

16、G，平面DEF平面SCGFN，SGFN.又FN平面DEF，SG平面DEF.(3)G是AB的中点，SASB，ACBC.CGAB，SGAB，CGDE，FNDE.FNC是二面角FDEC的平面角.SCSA，AB2，CG3，SG.cosSGC,SGC45，又FNCSGC45，二面角FDEC的大小为45.17.(1)PB平面ABC于B，AC平面ABC，PBAC，又ACBC，AC平面PBC，侧面PAC平面PBC.(2)PBBC，E为PC的中点，BEPC，又平面PAC平面PBC，BE平面PAC，BEPA，即异面直线PA和BE所成的角为90.(3)BE平面PAC，VB-AEF=SAEFBE，又ACPC，SACP

17、ACPC，于RtPAC中，由AC4，PC4，得SAPC8，又E为PC的中点，SAEPSAPC，又AF3PF，SAEFSAPE，SAEFSACP3，VF-ABE4.18.分析：关键是先要想法构造壹个含+的目标函数y=f(+).求出目标函数tan(+)后，再用壹元二次方程的判别式求出当+最小时点P的位置.第18题图解解：如图所示，连结AC，于平面ACAC内作PEAC于E，于底面AC内作EFAB于F.ENBC于N，连结PF、PN，故PFE，PNE，设EFx，则AFEF，ENFB.x+EN1，于是tan，tan，tan(+).设tan(+)y，则有yx2-yx+y+1=0.xR，则方程有实数根，故判别

18、式为y2-4y(y+1)0，解得-y0,又0+，而-tan(+)0，且于(0,)上正切函数是增函数.当tan(+)取最小值-时，+取最小值，即(+)min-arctan，把y=-代入式中，得x，即AFEF，EN1-x1-，说明E为AC中点，从而P为AC中点.故当+最小时点P是AC中点.19.(1)连AD,于BCD和ACD中,BC=AC,BCD=ACD,CD=CD,BCDACD,ADPC,AD=BD.BDA为侧面PBC和PAC所成二面角的平面角,BDA=(0)于ABD中,由余弦定理得AB2=BD2+AD2-2BDADcos,BD2=.于是BD=.(2)取BC的中点M,连PM,则PMBC,PM为正三棱锥的斜高.PC2=PM2+CM2=PM2+又PCBD=PMBC,PC2=从中消去PC2得PM2=即PM=,S侧=.