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目标管理考试目标

（目标管理）考试目标

第70课棱锥

●考试目标主词填空

1.定义：

有壹个面是多边形，其余各面是有壹个公共顶点的三角形的多面体.

2.分类：

按底面边数分：

三棱锥、四棱锥……

特例：

正棱锥——底面是正多边形且且顶点于底面上射影是底面中心的棱锥.

3.性质：

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，且且它们面积之比等于截得棱锥的高和已知棱锥高的平方比.即（类推：

）.

对于正棱锥：

（1）各条侧棱相等；

（2）各侧面是全等的等腰三角形；（3）棱锥的高和斜高及斜高于底面上的射影构成壹个直角三角形；棱锥的高和侧棱的底面上的射影也构成壹个直角三角形.

4.侧面积和体积：

.

.

●题型示例点津归纳

【例1】棱锥P—ABCD的底面是正方形，侧面PAB，PAD均垂直于底面，另俩侧面和底面成45°角，M，N分别为BC，CD的中点，最长的侧棱为15cm.求:

（1）棱锥的高；

（2）底面中心O到平面PMN的距离.

【解前点津】棱锥的概念于本题求解中且无作用，重点应分析和利用好给出的面面关系.

【规范解答】如图所示.

（1）设高为h,由平面PAB，平面PAD均垂直于底面，得PA⊥底面AC.

又∠PBA=45°，∴PA=AB=h,AC=h.

由PA2＋AC2＝PC2及PC＝15，

得h=5（cm）;

（2）∵BD⊥AC,BD⊥PA,

∴BD⊥平面PAC.

又MN∥BD,∴MN⊥平面PAQ，

∴平面PAQ⊥平面PMN.

作OH⊥PQ于H，则OH之长即为所求.

作AG⊥PQ于G.

于Rt△PAQ中，AQ＝,

PQ=

∴AG=

再由得

OH=（cm）.

【解后归纳】由于于棱锥中，随处能够找到解题必需的三角形，因此平面几何知识和解三角形的知识往往成为正确解题的关键.

【例2】如图，已知四棱锥P—ABCD的底面是菱形，棱长为4a,且∠ABC=60°,PC⊥平面ABCD，PC=4a,E是PA的中点.

（1）求证：

平面BDE⊥平面ABCD；

（2）求：

E点到平面PBC的距离；

（3）求：

二面角A—EB—D的平面角的大小.

【解前点津】

（1）证平面BDE⊥平面ABCD，需证

平面BDE过平面ABCD的壹条垂线OE；

（2）欲求E到平面PBC的距离可转化为求直线OE到

平面的距离，进壹步转化为求点O到平面PBC的距离.

（3）利用三垂线定理作出二面角的平面角∠AGO,从而

解出∠AGO可求得∠AGO的大小.

【规范解答】证明:

（1）连结AC、BD交于O，连OE、BE、DE.

∵ABCD为菱形，∴OA=OC.

又E为PA中点，∴OE∥PC.

∵PC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD.

又OE平面BDE,

∴平面BDE⊥平面ABCD.

（2）解:

∵OE∥PC,PC平面PBC,

∴OE∥平面PBC.

∴E到平面PBC的距离和O到平面PBC的距离相等.

∵PC⊥平面ABCD，

∴平面PBC⊥平面ABCD，

过O作OF⊥BC于F，则OF⊥平面PBC，

即OF是O到平面PBC的距离.

∵∠ABC=60°,

∴AC=AB=BC=4a,OC=2a,

∴OF=OC·sin60°=2a·=.

∴点E到平面PBC的距离为.

（3）解:

过O作OG⊥BE于G，连AG，

∵OE⊥AC,BD⊥AC,

∴AC⊥平面BDE，∴AG⊥BE.

∴∠AGO是二面角A—BE—D的平面角.

∵OE=PC=2a,OB==2,

∴BE==4a.

由三角形面积相等得：

OG=,又AO=AC=2a.

Rt△AOG中，tan∠AGO＝

∴∠AGO=arctan.

∴二面角A—EB—D的平面角的大小为arctan.

【解后归纳】本题考查线线平行、垂直、线面平行和垂直、面面垂直的判定及性质，点到面的距离、二面角大小的求法，综合运用知识的能力，转化能力.

【例3】如图，设三棱锥S—ABC的三个侧棱和底面ABC所成角均是60°,又∠BAC=60°,且SA⊥BC.

（1）求证S—ABC为正三棱锥；

（2）已知SA＝a,求S—ABC的全面积.

【解前点津】

（1）正棱锥的定义中，底面是正多边形；

顶点于底面上射影是底面的中心，俩个条件缺壹不可.

（2）只要求出正三棱锥S—ABC的侧高SD和底面边长，

则问题易于解决.

【规范解答】

（1）证明：

作三棱锥S—ABC的高SO，O为垂足.

连结AO且延长交BC于D.

因为SA⊥BC,所以AD⊥BC,又侧棱和底面所成的角均相等，从

而O为△ABC的外心,OD为BC的垂直平分线，

所以AB＝AC.又∠BAC＝60°,

故△ABC为正三角形，且O为其中心，所以S—ABC为正三棱锥.

（2）于Rt△SAO中，由于SA＝a,∠SAO=60°,所以SO=,

AO=a,因O为重心，所以AD＝.

BC=2BD=2ADcot60°=,OD=AD=.

于Rt△SOD中，SD2＝SO2＋OD2＝，则.

∴SS—ABC全=

【解后归纳】求正棱锥的侧面积或全面积仍能够利用公式S正棱锥底＝cosα·S正棱锥侧（α为侧面和底面所成的二面角），就本题cosα=,S△ABC=,

所以SS—ABC侧=,

∴也可求出全面积.

【例4】已知正三棱锥P—ABC底面边长为2,高也是2.

（1）求此三棱锥的全面积;

（2）过这棱锥底面的壹边作垂直于它所对棱的截面,求这个截面的面积.

【规范解答】

（1）斜高h′=,

∴S全=S侧+S底=

（2）设顶点P于底面上的射影为O,连AO且延长交BC于E,连结PE,

∴PE⊥BC,AE⊥BC,

∴BC⊥平面PAE,PA⊥BC.于平面PAE中,作ED⊥PA于D,则PA⊥截面BCD.

于△PAE中,AE=,AB=2,

∴AE=,于Rt△PAO中,PO=2,AO=,

∴PA=,∵PA·DE=AE·PO,∴DE=,

∴截面DBC的面积是.

【解后归纳】关于多面体表面积的计算,常用方法是将其表面展开成平面图形,转化为平面几何问题来解决;关于截面积的计算问题,则须根据截面的图形特征选择适当方法求之.

●对应训练分阶提升

壹、基础夯实

1.具有下列性质的三棱锥中，哪壹个是正棱锥（）

A.顶点于底面上的射影到底面各顶点的距离相等

B.底面是正三角形，且侧面均是等腰三角形

C.相邻俩条侧棱间的夹角相等

D.三条侧棱相等，侧面和底面所成角也相等

2.于四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可能有（）

A.4个B.2个C.3个D.1个

3.设棱锥的底面面积为8cm2,那么这个棱锥的中截面（过棱锥高的中点且平行于底面的截面）的面积是（）

A.4cm2B.2cm2C.2cm2D.cm2

4.已知三棱锥P—ABC的六条棱长均相等，E、F分别为棱PB、PC上的点，且，，连结AE、AF、EF，则三棱锥A—EFP的体积和四棱锥A—BCFE的体积之比为（）

A.1∶10B.1∶11C.1∶12D.1∶13

5.如图所示，用壹个平面去截壹个正方体，得到壹个三棱锥，于这个三棱锥中，除截面外的三个面的面积分别为S1、S2、S3，则这个三棱锥的体积为（）

第5题图

A.

B.

C.

D.

6.壹个n棱锥的所有侧面和底面所成的二面角为30°，且此棱锥的底面面积为S，则它的侧面积等于（）

A.B.C.D.2S

7.以三棱锥各面重心为顶点，得到壹个新三棱锥，则它的表面积是原三棱锥表面积的（）

A.B.C.D.

8.俩个平行于底面的截面将棱锥的侧面积分成三个相等的部分.则此俩截面将棱锥的高分成的三段（自上而下）之比是（）

A.1∶∶B.1∶（-1）∶（-1）

C.1∶（-1）∶（-）D.1∶（+1）∶（+）

9.将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD＝a，则三棱锥D—ABC的体积为（）

A.B.C.D.

二、思维激活

10.正四棱锥S—ABCD，已知侧棱长等于底面边长，E是SA的中点，则异面直线BE和SC所成角的余弦值等于.

11.如果三棱锥S-ABC的底面是不等边三角形，侧面和底面所成的二面角均相等，且顶点S于底面的射影O于△ABC内，那么O是△ABC的心．

12.三棱锥壹条侧棱长16cm,和这条棱相对的棱长是18cm,其余四条棱长均是17cm,则棱锥的体积是cm3.

13.三棱锥P—ABC的底面是直角三角形，∠C＝90°，PA⊥底面ABC，若A到PC、PB的距离比是1∶2，则侧面PAB和侧面PBC所成的角是.

14.于正四棱锥内有壹内接正方体，这正方体的四个顶点于棱锥的侧棱上，另四个顶点于棱锥底面内，若棱锥底面边长为a，高为h，则内接正方体的棱长为.

三、能力提高

15.正三棱锥V—ABC的底面边长为a，侧棱和底面所成的角等于θ，过底面壹边作此棱锥的截面，当截面和底面所成二面角为何值时，截面面积最小?

且求出最小值.

16.如图所示，于正三棱锥S—ABC中，D、E、F分别是棱AC、BC、SC上的点，且CD＝2AD，CE＝2BE，CF＝2SF，G是AB的中点.

（1）求证:

平面SAB∥平面DEF.

（2）求证:

SG∥平面DEF.

（3）当AB＝2，SA＝时，求二面角F—DE—C的大小.

17.三棱锥P—ABC中，PB⊥底面ABC于B，∠BCA＝90°，PB＝BC＝CA＝4，E为PC的中点，点F于PA上，且3PF＝FA.

（1）求证：

侧面PAC⊥侧面PBC.

（2）求异面直线PA和BE所成角的大小.

（3）求三棱锥F—ABE的体积V.

18.棱长为1的正方体ABCD—A′B′C′D′的上底面对角线AC上取壹点P,过P、A′、B′三点所作的截面和底面A′B′C′D′的夹角为α,过P、B′、C′三点所作截面和底面A′B′C′D′的夹角为β，求当（α+β）最小时点P的位置.

19.正三棱锥P—ABC中,AB=a,相邻俩个侧面所成的二面角为θ.

（1）若BD⊥PC,求BD的长;

（2）求这棱锥的侧面积.

第9课棱锥习题解答

1.D根据正棱锥的性质选D.

2.A四个侧面三角形均可能是直角三角形．如底面ABCD为矩形，VA⊥平面ABCD.

3.C中截面的面积应是底面面积的,即2cm2所以选C.

4.BVA—EFP=×VP—ABC=∴VA—EFP∶VA—BCFE=1∶11.

5.C由壹点出发三条垂直的棱设为a、b、c，∴ab=S1，bc=S2，ac=S3，

V=.

6.C侧面积为.

7.C表面积比为.

8.C自上而下设高为h1、h2、h3，∴h12∶（h1+h2）2∶（h1+h1+h3）2=1∶2∶3.

∴h1∶h2∶h3=1∶（-1）∶（-）.

9.DOD=OB=，S△BOD=,

∴VD—ABC=.

10.设AC的中点为O，连OE则OE∥SC，

∴cos∠OEB=.

11.内心设S于△ABC上的射影为O，由所成二面角相等可得O到△ABC三边距离相等,故O为内心．

12.576如图,取AD的中点E,连结CE,BE,

∵AC=CD=17,DE=8,CE2=172-82=225,BE=CE.

∴取BC的中点F,连结EF,EF为BC边上的高

EF=.

∴S△BCE=108,

∵AC=CD=17cm,E为AD的中点,CE⊥AD,

同理BE⊥AD,

∴AD⊥平面BCE,

∴三棱锥可分为以截面BCE为底以AE,DE为高的俩个三棱锥.

VA-BCE和VD-BCE,∴VA-BCE=2×S△BCE·AE=2××108×8=576（cm3）.

13.30°PA⊥平面ABC，BC⊥AC，

∴BC⊥平面PAC，∴平面PAC⊥平面BCP.

过A作AD⊥PC于D，作AF⊥PB于F连DF，

sin∠AFD=,∴∠AFD=30°.

又∠AFD为俩侧面所成的角.

14.设棱长为x，∴，∴x=.

15.如图，∵截面△PBC中，BC=a为定值，而S＝，

所以，若使S最小，只须PD最小即可，

∵VA、BC为异面直线，

∴当PD为VA、BC的公垂线时，PD的距离即为最短，

∴当PD⊥BC，PD⊥VA时，PD最短.于Rt△PDA中，

∵∠ADP＝，

∴PD＝AD·sinθ＝，

∴S△PBC＝.

16.

（1）连结CG交DE于N，连结FN.

∵CD＝2AD，CE＝2BE，CF＝2SF，

∴CD＝，CE＝，CF＝，即.

∴FD∥SA，FE∥SB，DE∥AB.

∴平面DEF∥平面SAB.

（2）∵平面SAB∩平面SCG＝SG，平面DEF∩平面SCG＝FN，∴SG∥FN.

又FN平面DEF，∴SG∥平面DEF.

（3）∵G是AB的中点，SA＝SB，AC＝BC.

∴CG⊥AB，SG⊥AB，CG⊥DE，FN⊥DE.

∴∠FNC是二面角F—DE—C的平面角.

∵SC＝SA＝，AB＝2，∴CG＝3，SG＝.

∴cos∠SGC＝,

∴∠SGC＝45°，又∵∠FNC＝∠SGC＝45°，

∴二面角F—DE—C的大小为45°.

17.

（1）PB⊥平面ABC于B，AC平面ABC，∴PB⊥AC，又∵AC⊥BC，

∴AC⊥平面PBC，∴侧面PAC⊥平面PBC.

（2）∵PB＝BC，E为PC的中点，∴BE⊥PC，

又∵平面PAC⊥平面PBC，∴BE⊥平面PAC，

∴BE⊥PA，即异面直线PA和BE所成的角为90°.

（3）∵BE⊥平面PAC，∴VB-AEF=·S△AEF·BE，

又∵AC⊥PC，∴S△ACP＝·AC·PC，于Rt△PAC中，由AC＝4，PC＝4，

得S△APC＝8，又∵E为PC的中点，

∴S△AEP＝S△APC，又∵AF＝3PF，∴S△AEF＝S△APE，

∵S△AEF＝S△ACP＝＝3，

∴VF-ABE＝＝4.

18.分析：

关键是先要想法构造壹个含α+β的目标函数y=f（α+β）.求出目标函数tan（α+β）＝后，再用壹元二次方程的判别式求出当α+β最小时点P的位置.

第18题图解

解：

如图所示，连结A′C′，于平面ACA′C′内作PE⊥A′C′于E，于底面A′C′内作

EF⊥A′B′于F.EN⊥B′C′于N，连结PF、PN，故∠PFE＝α，

∠PNE＝β，设EF＝x，则A′F＝EF，EN＝FB′.

∴x+EN＝1，于是tanα＝，tanβ＝，

∴tan（α+β）＝.

设tan（α+β）＝y，则有yx2-yx+y+1=0.①

∵x∈R，则方程①有实数根，故判别式为y2-4y（y+1）≥0，解得-≤y≤0,

又∵0<α+β<π，而-≤tan（α+β）≤0，且于（0,π）上正切函数是增函数.

∴当tan（α+β）取最小值-时，α+β取最小值，即（α+β）min＝π-arctan，把y=-代入①式中，得x＝，即A′F＝EF＝，EN＝1-x＝1-＝，

说明E为A′C′中点，从而P为AC中点.故当α+β最小时点P是AC中点.

19.

（1）连AD,于△BCD和△ACD中,BC=AC,∠BCD=∠ACD,CD=CD,

∴△BCD≌△ACD,∴AD⊥PC,AD=BD.

∴∠BDA为侧面PBC和PAC所成二面角的平面角,∠BDA=θ（0<θ<π）

于△ABD中,由余弦定理得AB2=BD2+AD2-2BD·AD·cosθ,

∴BD2=.

于是BD=.

（2）取BC的中点M,连PM,则PM⊥BC,PM为正三棱锥的斜高.

PC2=PM2+CM2=PM2+①

又PC·BD=PM·BC,

∴PC2=②

从①②中消去PC2得PM2=

即PM=,

∴S侧=.