初二数学培训讲义第9讲 矩形菱形.docx

1、初二数学培训讲义第9讲 矩形菱形第九讲 矩形、菱形一、主要知识点回顾1矩形是特殊的 四边形，它的特殊性有：（1）矩形的四个角都 。（2）矩形的对角线 。2_的平行四边形是矩形；_的平行四边形是矩形。3菱形是特殊的_四边形，它的特殊性有：（1）菱形的四条边都_。（2） 菱形的对角线_，且每一条对角线平分_。4_的平行四边形是菱形；_的平行四边形是菱形。二、感悟与实践例题1：如图1所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AOD120，AB4cm，求矩形的对角线的长。变式练习1：如图2所示，在矩形ABCD中，点E，F在BC边上，且BECF，AF，DE相交于点M，求证：AMDM。例题2：如图3所示，

2、BD，BE分别是ABC与它的邻补角ABP的平分线。AEBE，ADBD，E，D为垂足，求证：四边形AEBD是矩形。变式练习2：如图4所示，在ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MNBC，MN交BCA的平分线CE于点E，交BCA的外角平分线CF于点F。（1）求证：OEOF。（2）当O点运动到何处时，四边形AECF为矩形？并证明你的结论。例题3：如图5所示，在菱形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且CECF，求证：AEAF。变式练习3：如图6所示，平行四边形 ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、BC、AC分别交于点E、F、O，连接AF、EC，则四边形AFCE是菱形吗？为什么

3、？例题4：如图7所示，ABC中，E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，且DEAC，DFAB，要使四边形AEDF是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是 试证明：这个多边形是菱形。变式练习4-1：如图8所示，已知AD是ABC的角平分线，DEAC交AB于点E，DFAB交AC于点F，求证：ADEF。变式练习4-2：如图9所示，在菱形ABCD中，AC、BD相交于O，且AC:BD1:，若AB2。求菱形ABCD的面积。三、巩固与提高（A）巩固练习1下列说法中： （1）四个角都相等的四边形是矩形。 （2）两组对边分别相等并且有一个角是直角的四边形是矩形。 （3）对角线相等并且有一个角是直角的四边

4、形是矩形。 （4）一组对边平行，另一组对边相等并且有一个角为直角的四边形是矩形。正确的个数是（ ）。A1个 B2个 C3个 D4个 2菱形具有而矩形不一定具有的特征是（ ）。 A对角相等且互补 B对角线互相平分C一组对边平行，另一组对边相等 D对角线互相垂直 3下列命题不正确的是（ ）。 A对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形 B两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形 C两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形 D对角线互相垂直且相等的四边形是菱形4如图10所示，能说明四边形ABCD是菱形的有（ ）。BDAC OAOC，OBOD，ABBC ACBD ABCD，ABBCA B C

5、 D5能判定一个四边形是菱形的条件是（ ）。A对角线互相平分且相等；B对角线互相垂直且相等；C对角线互相垂直且对角相等；D对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角；6菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为_cm2。7如图11所示，点E，F是菱形ABCD的边BC，CD上的点，请你添加一个条件（不得另外添加辅助线和字母），使AEAF，你添加的条件是_。 8如图12所示，根据四边形的不稳定性制作的边长均为15cm的可活动菱形衣架，若墙上钉子间的距离ABBC15cm，则1_。9如图13所示，已知任意直线l把平行四边形ABCD分成两部分，要使分的两部分面积相等，则直线l所在位置需满足

6、的条件是_。（只需填上一个你认为合适的条件） 10如图14所示，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1_S2（填“”，“”或“”）（B）能力提高11如图15，矩形纸片ABCD中，AD4 cm，AB10 cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE_cm。12如图16，矩形ABCD的对角线相交于点O，OFBC，CEBD，OE:BE1:3，OF4，求ADB的度数和BD的长。13如图17，在RtABC中，ACB90，BAC60，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E。又点F在DE的延长

7、线上，且AFCE。求证：四边形ACEF是菱形。14如图18所示，在菱形ABCD中，AB4，E为BC中点，AEBC，AFCD，垂足分别为E，F，CGAE，CG交AF于点H，交AD于G点。 （1）求菱形ABCD的面积；（2）求CHA的度数。15如图19，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F。求证：四边形AFCE是菱形。（C）趣味数学Euler在1736年访问Konigsberg，Prussia（nowKaliningradRussia）时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，在河上建有七

8、座桥如图所示：这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。你能做到吗？四、考考你1下列说法错误的是（ ）。A对角线互相垂直的四边形是菱形； B一组邻边相等的矩形是正方形；C对角线互相垂直的矩形是正方形； D对角线互相平分且相等的四边形是矩形；2ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（ ）。AABBC BACBD CACBD DABBD 3红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图20所示。红丝带重叠部分形成的图形是

9、（ ）。A正方形 B等腰梯形 C菱形 D矩形4如图21，菱形ABCD中，B60，AB2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则AEF的周长为（ ）。A B C D 5如图22所示，l是四边形ABCD的对称轴，如果ADBC，有下列结论：ABCD，ABBC，ABBC，AOOC，其中正确的结论是_。（把你认为正确的结论的序号填上）五、家庭作业1若矩形的两对角线的一个夹角为60，且对角线长为10cm，则矩形的周长为_cm。2一个矩形，两边长分别为xcm和10cm，如果它的周长小于80cm，面积大于100cm2，求x的取值范围。 补充习题 矩形、菱形【能力拓展】1如图1，在一张长12cm

10、、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形。李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），张丰同学按照沿矩形的对角线AC折出CAEDAC，ACFACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？2如图2，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BEED，P是对角线BD上任意一点，PFBE，PGAD，垂足分别为F、G。求证：PFPGAB。3如图3-1，在ABC和EDC中，ACCECBCD，ACBECD，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H。（1）求证：CFCH；（2）如图3-2，ABC不动，将EDC绕点C旋转到BCE时，试

11、判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论。 【课堂小测】每题20分，共5小题，满分100分1如图4，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连结BE交AC于F，连结FD，若BFA90，则下列四对三角形：BEA与ACD；FED与DEB；CFD与ABG；ADF与CFB。其中相似的为（ ）。A B C D2在菱形ABCD中，AEBC，AFCD，垂足为E、F，且BEEC，CFFD，则AEF等于（ ）。A120 B45 C60 D1503矩形ABCD的两对角线AC、BD相交于点O，AOB60，OA3，则AC ,AB 。4菱形的一个内角是120，一条较长的对角线的长为，则菱形的

12、周长是 。5如图5，矩形ABCD中，AB3，BC4，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是 。初二数学讲义第九讲参考答案（58期）一、主要知识点回顾1平行 （1）90 （2）相等。2对角线相等，一个角为直角。3平行 （1）相等 （2）互相垂直，一组对角。4邻边相等，对角线互相垂直。二、感悟与实践例题1：分析：本题关键是会利用矩形的性质解：四边形ABCD是矩形，ACBD。又OAOCAC，OBODBD， OAOD。AOD120，ODAOAD30。 又DAB90，BD2AB248（cm）。变式练习1：分析：本题关键是会利用矩形的性质证明：四边形ABCD为矩形，BC90，ADBC，AB

13、DC。 BECF，BFCE。ABFDCE（SAS）。AFBDEC。 ADBC，AFBDAF，DECADE。FADEDA。AMDM。例题2：分析：本题考查的是矩形的判定。证明：BD，BE分别是ABC，ABP的平分线， ABD+ABE（ABC+ABP）90。 即EBD90。又AEBE，ADBD，AEBADB90。四边形AEBD是矩形。变式练习2：分析：本题考查的是矩形的判定。证明：（1）MNBC，OECBCE。又OCEBCE OECOCE，EOCO。同理，FOCO，OEOF。 （2）CE，CF分别是ACB和ACD的平分线， OCE+OCF（ACB+ACD）18090，即ECF90。而EOOF， 当

14、O点运动到AC中点时，AOCO， 四边形AECF为平行四边形， O是AC中点时，四边形AECF为矩形。例题3：分析：本题的关键是会利用菱形的性质证明：四边形ABCD为菱形，ADABCDCB，BD。又CECF， CD-CECB-CF， 即DEBF。ADEABF。AEAF。变式练习3：分析：本题考查的是菱形的性质和判定。解：四边形AFCE是菱形。点E在AC的垂直平分线上，AEEC。同理，AFFC。13。又AEFC，12。23。又COEF，COFCOE90，COFCOE。CFCE。AEECCFFA。四边形AFCE是菱形。例题4：分析：本题考查的是菱形的判定。条件AEAF（或AD平分角BAC，等）证明

15、：DEACDFAB四边形AEDF是平行四边形又AEAF 四边形AEDF是菱形。变式练习4-1：分析：本题考查的是菱形的判定。证明：DEAC，DFAB，四边形AEDF为平行四边形。 又12，而23，13，AEDE。 平行四边形AEDF为菱形。ADEF。变式练习4-2：解：菱形两对角线将其分割为四个全等的直角三角形。设AOx，因为四边形ABCD为菱形，所以AOCO，BODO，ACBD。又因为AC:BD1:，所以AO:BO1:，BO。在RtABO中，因为AB2BO2+AO2，所以。所以x1。所以AO1，BO。所以AC2，BD。所以菱形的面积为2。三、巩固与提高（A）巩固练习1C 2D 3D 4C 5

16、C 624 7答案不唯一，如BEDF若CECF或BAEDAF或AEBAFD。 81209直线过AC与BD交点或经过AD与BC的中点等。10 （B）能力提高115.812解：由矩形的性质可知ODOC。又由OE:BE1:3可知E是OD的中点。又因为CEOD，根据三线合一可知OCCD，即OCCDOD，即OCD是等边三角形，故CDB60。所以ADB30，又由矩形是轴对称图形得CD2OF8，即BD2OD2CD16。13证明：ACB90，DE是BC的中垂线，E为AB边的中点.CEAEBE。BAC60，ACE为正三角形。在AEF中，AEFDEBBAC60，而AFCE，又CEAE，AEAF。AEF也为正三角形

17、。CAEAEF60。ACEF。四边形ACEF为平行四边形。又CEAC，平行四边形ACEF为菱形。14解：（1）连接AC，BD，设AC和BD相交于点O。 AEBC，且AE平分BC，ABC和ADC都是正三角形。ABAC4。ABO为直角三角形，BD4。 菱形ABCD的面积为8。（2）ADC为正三角形，AFCD。DAF30。又CGAE，AEBC，四边形AECG是矩形，AGH90。CHADAF+AGH120。15证明：EF垂直平分AC，EFAC，AOCO。四边形ABCD为平行四边形，ADBC。AEOCFO。AOECOF。OEOF。四边形AECF是平行四边形。又ACEF，四边形AFCE是菱形。（C）趣味数

18、学Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示，便得如下的图形：后来推论出此种走法是不可能的。他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最後回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务是不可能实现的。四、考考你1A 2B 3C 4B 5 五、家庭作业110+102解：矩形的周长是2（x+10）cm，面积是10xcm2。 根据题意，得解这个不等式组，得 x的取值范围是10x30

19、。初二数学补充讲义第九讲参考答案（58期）【能力拓展】1解：（方案一）S菱形S矩形-4SAEH125-4630（cm2）。（方案二）设BEx，则CE12-x，AE=。因为四边形AECF是菱形，则AE2CE2,。x。S菱形S矩形-2SABE125-2535.21（cm2）。经比较可知，（方案二）张丰同学所折的菱形面积较大。2解：BEDE，EBDEDB。在矩形ABCD中，ADBC，DBCADB，EBDCBD。延长GP交BC于H点。PGAD，PHBC。PFBE，P是EBC的平分线上。PFPH。四边形ABHG中，AABHBHGHGA90。四边形ABHG为矩形，ABGHGPPHGPPF故PFPGAB。NEABAM。3解：（1）证明：在ACB和ECD中 ACBECD 1+ECB2+ECB，12 又ACCECBCD， AD ACBECD，CFCH（2）答：四边形ACDM是菱形 证明：ACBECD=，BCE 1，2 又EB， 1E，2B ACMD，CDAM， ACDM是平行四边形 又ACCDACDM是菱形【课堂小测】1D 2C 36 3 48 5