初二数学培训讲义第9讲 矩形菱形.docx

初二数学培训讲义第9讲 矩形菱形.docx

《初二数学培训讲义第9讲 矩形菱形.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初二数学培训讲义第9讲 矩形菱形.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

初二数学培训讲义第9讲矩形菱形

第九讲矩形、菱形

一、主要知识点回顾

1．矩形是特殊的四边形，它的特殊性有：

（1）矩形的四个角都＝°。

（2）矩形的对角线。

2．_______________的平行四边形是矩形；____________________的平行四边形是矩形。

3．菱形是特殊的____四边形，它的特殊性有：

（1）菱形的四条边都______。

（2）菱形的对角线_________，且每一条对角线平分__________。

4．____________的平行四边形是菱形；________________的平行四边形是菱形。

二、感悟与实践

例题1：

如图1所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm，求矩形的对角线的长。

变式练习1：

如图2所示，在矩形ABCD中，点E，F在BC边上，且BE＝CF，AF，DE相交于点M，求证：

AM＝DM。

例题2：

如图3所示，BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线。

AE⊥BE，AD⊥BD，E，D为垂足，求证：

四边形AEBD是矩形。

变式练习2：

如图4所示，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，MN交∠BCA的平分线CE于点E，交∠BCA的外角平分线CF于点F。

（1）求证：

OE＝OF。

（2）当O点运动到何处时，四边形AECF为矩形？

并证明你的结论。

例题3：

如图5所示，在菱形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且CE＝CF，求证：

AE＝AF。

变式练习3：

如图6所示，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、BC、AC分别交于点E、F、O，连接AF、EC，则四边形AFCE是菱形吗？

为什么？

例题4：

如图7所示，△ABC中，E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，且DE∥AC，DF∥AB，要使四边形AEDF是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个

条件是试证明：

这个多边形是菱形。

变式练习4-1：

如图8所示，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，求证：

AD⊥EF。

变式练习4-2：

如图9所示，在菱形ABCD中，AC、BD相交于O，且AC:

BD＝1:

，若AB＝2。

求菱形ABCD的面积。

三、巩固与提高

（A）巩固练习

1．下列说法中：

（1）四个角都相等的四边形是矩形。

（2）两组对边分别相等并且有一个角是直角的四边形是矩形。

（3）对角线相等并且有一个角是直角的四边形是矩形。

（4）一组对边平行，另一组对边相等并且有一个角为直角的四边形是矩形。

正确的个数是（）。

A．1个B．2个C．3个D．4个

2．菱形具有而矩形不一定具有的特征是（）。

A．对角相等且互补B．对角线互相平分

C．一组对边平行，另一组对边相等D．对角线互相垂直

3．下列命题不正确的是（）。

A．对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形

B．两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形

C．两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形

D．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形

4．如图10所示，能说明四边形ABCD是菱形的有（）。

①BD⊥AC②OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC

③AC＝BD④AB∥CD，AB＝BC

A．①B．①②

C．②D．③④

5．能判定一个四边形是菱形的条件是（）。

A．对角线互相平分且相等；

B．对角线互相垂直且相等；

C．对角线互相垂直且对角相等；

D．对角线互相垂直，且一条对角线平分一组对角；

6．菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为_____cm2。

7．如图11所示，点E，F是菱形ABCD的边BC，CD上的点，请你添加一个条件（不得

另外添加辅助线和字母），使AE＝AF，你添加的条件是________。

8．如图12所示，根据四边形的不稳定性制作的边长均为15cm的可活动菱形衣架，若墙

上钉子间的距离AB＝BC＝15cm，则∠1＝_______。

9．如图13所示，已知任意直线l把平行四边形ABCD分成两部分，要使分的两部分面

积相等，则直线l所在位置需满足的条件是_________。

（只需填上一个你认为合适的条件）

10．如图14所示，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与

PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1______S2（填“＞”，“＜”或“＝”）

（B）能力提高

11．如图15，矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图方式折叠，使点B与

点D重合，折痕为EF，则DE＝_______cm。

12．如图16，矩形ABCD的对角线相交于点O，OF⊥BC，CE⊥BD，OE:

BE＝1:

3，OF＝4，求∠ADB的度数和BD的长。

13．如图17，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E。

又点F在DE的延长线上，且AF＝CE。

求证：

四边形ACEF是菱形。

14．如图18所示，在菱形ABCD中，AB＝4，E为BC中点，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，CG∥AE，CG交AF于点H，交AD于G点。

（1）求菱形ABCD的面积；

（2）求∠CHA的度数。

15．如图19，已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F。

求证：

四边形AFCE是菱形。

（C）趣味数学

Euler在1736年访问Konigsberg，Prussia（now Kaliningrad Russia）时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。

Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中，在河上建有七座桥如图所示：

这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。

你能做到吗？

四、考考你

1．下列说法错误的是（）。

A．对角线互相垂直的四边形是菱形；

B．一组邻边相等的矩形是正方形；

C．对角线互相垂直的矩形是正方形；

D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形；

2．□ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）。

A．AB＝BCB．AC＝BDC．AC⊥BDD．AB⊥BD

3．红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图20所示。

红丝带重叠部分形成的图形是（）。

A．正方形B．等腰梯形

C．菱形D．矩形

4．如图21，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（）。

A．

B．

C．

D．

5．如图22所示，l是四边形ABCD的对称轴，如果AD∥BC，有下列结论：



①AB∥CD，②AB＝BC，③AB⊥BC，④AO＝OC，

其中正确的结论是________。

（把你认为正确的结论的序号填上）

五、家庭作业

1．若矩形的两对角线的一个夹角为60°，且对角线长为10cm，则矩形的周长为_____cm。

2．一个矩形，两边长分别为xcm和10cm，如果它的周长小于80cm，面积大于100cm2，求x的取值范围。

补充习题矩形、菱形

【能力拓展】

1．如图1，在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形。

李颖同学按照取两

组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），张丰同学按照沿矩形的对角线AC折

出∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计

算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？

2．如图2，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE＝ED，P是对角线BD上任意一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G。

求证：

PF＋PG＝AB。

3．如图3-1，在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠ECD＝

，AB

与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H。

（1）求证：

CF＝CH；

（2）如图3-2，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE＝

时，试判断四边形

ACDM是什么四边形？

并证明你的结论。

【课堂小测】每题20分，共5小题，满分100分

1．如图4，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，E为AD的中点，连结BE

交AC于F，连结FD，若∠BFA＝90°，则下列四对三角形：

①△BEA与△ACD；②△FED

与△DEB；③△CFD与△ABG；④△ADF与△CFB。

其中相似的为（）。

A．①④B．①②C．②③④D．①②③

2．在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足为E、F，且BE＝EC，CF＝FD，则∠AEF等于（）。

A．120°B．45°C．60°D．150°

3．矩形ABCD的两对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝60°，OA＝3，则AC＝,

AB＝。

4．菱形的一个内角是120°，一条较长的对角线的长为

，则菱形的周长是。

5．如图5，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中

阴影部分的面积是。

初二数学讲义第九讲参考答案（58期）

一、主要知识点回顾

1．平行

（1）90

（2）相等。

2．对角线相等，一个角为直角。

3．平行

（1）相等

（2）互相垂直，一组对角。

4．邻边相等，对角线互相垂直。

二、感悟与实践

例题1：

分析：

本题关键是会利用矩形的性质

解：

∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD。

又∵OA＝OC＝

AC，OB＝OD＝

BD，

∴OA＝OD。

∵∠AOD＝120°，∴∠ODA＝∠OAD＝30°。

又∵∠DAB＝90°，∴BD＝2AB＝2×4＝8（cm）。

变式练习1：

分析：

本题关键是会利用矩形的性质

证明：

∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠C＝90°，AD∥BC，AB＝DC。

∵BE＝CF，∴BF＝CE。

∴△ABF≌△DCE（SAS）。

∴∠AFB＝∠DEC。

∵AD∥BC，∴∠AFB＝∠DAF，∠DEC＝∠ADE。

∴∠FAD＝∠EDA。

∴AM＝DM。

例题2：

分析：

本题考查的是矩形的判定。

证明：

∵BD，BE分别是∠ABC，∠ABP的平分线，

∴∠ABD+∠ABE＝

（∠ABC+∠ABP）＝90°。

即∠EBD＝90°。

又∵AE⊥BE，AD⊥BD，∴∠AEB＝∠ADB＝90°。

∴四边形AEBD是矩形。

变式练习2：

分析：

本题考查的是矩形的判定。

证明：

（1）∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE。

又∵∠OCE＝∠BCE∴∠OEC＝∠OCE，∴EO＝CO。

同理，FO＝CO，∴OE＝OF。

（2）∵CE，CF分别是∠ACB和∠ACD的平分线，

∴∠OCE+∠OCF＝

（∠ACB+∠ACD）＝

×180°＝90°，

即∠ECF＝90°。

而EO＝OF，

∴当O点运动到AC中点时，AO＝CO，

四边形AECF为平行四边形，

∴O是AC中点时，四边形AECF为矩形。

例题3：

分析：

本题的关键是会利用菱形的性质

证明：

∵四边形ABCD为菱形，

∴AD＝AB＝CD＝CB，∠B＝∠D。

又∵CE＝CF，

∴CD-CE＝CB-CF，即DE＝BF。

∴△ADE≌△ABF。

∴AE＝AF。

变式练习3：

分析：

本题考查的是菱形的性质和判定。

解：

四边形AFCE是菱形。

∵点E在AC的垂直平分线上，

∴AE＝EC。

同理，AF＝FC。

∴∠1＝∠3。

又∵AE∥FC，∴∠1＝∠2。

∴∠2＝∠3。

又∵CO⊥EF，∴∠COF＝∠COE＝90°，

∴△COF≌△COE。

∴CF＝CE。

∴AE＝EC＝CF＝FA。

∴四边形AFCE是菱形。

例题4：

分析：

本题考查的是菱形的判定。

条件AE＝AF（或AD平分角BAC，等）证明：

∵DE∥AC　DF∥AB　∴四边形AEDF是平行四边形　

又AE＝AF∴四边形AEDF是菱形。

变式练习4-1：

分析：

本题考查的是菱形的判定。

证明：

∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形。

又∵∠1＝∠2，而∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE。

∴平行四边形AEDF为菱形。

∴AD⊥EF。

变式练习4-2：

解：

菱形两对角线将其分割为四个全等的直角三角形。

设AO＝x，因为四边形ABCD为菱形，所以AO＝CO，

BO＝DO，AC⊥BD。

又因为AC:

BD＝1:

，

所以AO:

BO＝1:

，BO＝

。

在Rt△ABO中，因为AB2＝BO2+AO2，

所以

。

所以x＝1。

所以AO＝1，BO＝

。

所以AC＝2，BD＝

。

所以菱形的面积为

×2×

＝

。

三、巩固与提高

（A）巩固练习

1．C2．D3．D4．C5．C

6．24

7．答案不唯一，如BE＝DF若CE＝CF或∠BAE＝∠DAF或∠AEB＝∠AFD。

8．120°

9．直线过AC与BD交点或经过AD与BC的中点等。

10．＝

（B）能力提高

11．5.8

12．解：

由矩形的性质可知OD＝OC。

又由OE:

BE＝1:

3可知E是OD的中点。

又因为CE⊥OD，根据三线合一可知OC＝CD，即OC＝CD＝OD，

即△OCD是等边三角形，故∠CDB＝60°。

所以∠ADB＝30°，

又由矩形是轴对称图形得CD＝2OF＝8，

即BD＝2OD＝2CD＝16。

13．证明：

∵∠ACB＝90°，DE是BC的中垂线，

∴E为AB边的中点.

∴CE＝AE＝BE。

∵∠BAC＝60°，

∴△ACE为正三角形。

在△AEF中，∠AEF＝∠DEB＝∠BAC＝60°，而AF＝CE，

又CE＝AE，

∴AE＝AF。

∴△AEF也为正三角形。

∴∠CAE＝∠AEF＝60°。

∴AC

EF。

∴四边形ACEF为平行四边形。

又CE＝AC，∴平行四边形ACEF为菱形。

14．解：

（1）连接AC，BD，设AC和BD相交于点O。

∵AE⊥BC，且AE平分BC，

∴△ABC和△ADC都是正三角形。

∴AB＝AC＝4。

∵△ABO为直角三角形，∴BD＝4

。

∴菱形ABCD的面积为8

。

（2）∵△ADC为正三角形，AF⊥CD。

∴∠DAF＝30°。

又∵CG∥AE，AE⊥BC，

∴四边形AECG是矩形，∴∠AGH＝90°。

∴∠CHA＝∠DAF+∠AGH＝120°。

15．证明：

∵EF垂直平分AC，

∴EF⊥AC，AO＝CO。

∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC。

∴∠AEO＝∠CFO。

∴△AOE≌△COF。

∴OE＝OF。

∴四边形AECF是平行四边形。

又∵AC⊥EF，

∴四边形AFCE是菱形。

（C）趣味数学

Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示，

便得如下的图形：

 后来推论出此种走法是不可能的。

 他的论点是这

样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）

时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。

 所以每行经一点时，

计算两座桥（或线），从起点离开的线与最後回到始点的线亦计算两

座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。

 七桥所成之

图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务是不可能实现的。

四、考考你

1．A2．B3．C4．B5．①②④

五、家庭作业

1．10+10

2．解：

∵矩形的周长是2（x+10）cm，面积是10xcm2。

根据题意，

得解这个不等式组，得

∴x的取值范围是10＜x＜30。

初二数学补充讲义第九讲参考答案（58期）

【能力拓展】

1．解：

（方案一）S菱形＝S矩形-4S△AEH＝12×5-4×

×6×

＝30（cm2）。

（方案二）设BE＝x，则CE＝12-x，

∴AE=

。

因为四边形AECF是菱形，则AE2＝CE2,

∴

。

∴x＝

。

∴S菱形＝S矩形-2S△ABE＝12×5-2×

×5×

≈35.21（cm2）。

经比较可知，（方案二）张丰同学所折的菱形面积较大。

2．解：

∵BE＝DE，

∴∠EBD＝∠EDB。

∵在矩形ABCD中，AD∥BC，

∴∠DBC＝∠ADB，

∴∠EBD＝∠CBD。

延长GP交BC于H点。

∵PG⊥AD，

∴PH⊥BC。

∵PF⊥BE，P是∠EBC的平分线上。

∴PF＝PH。

∵四边形ABHG中，

∠A＝∠ABH＝∠BHG＝∠HGA＝90°。

∴四边形ABHG为矩形，

∴AB＝GH＝GP＋PH＝GP＋PF

故PF＋PG＝AB。

∴NE＝

AB＝AM。

3．解：

（1）证明：

在△ACB和△ECD中

∵∠ACB＝∠ECD＝

∴∠1+∠ECB＝∠2+∠ECB，

∴∠1＝∠2

又∵AC＝CE＝CB＝CD，

∴∠A＝∠D＝

∴△ACB≌△ECD，

∴CF＝CH

（2）答：

四边形ACDM是菱形

证明：

∵∠ACB＝∠ECD=

，∠BCE＝

∴∠1＝

，∠2＝

又∵∠E＝∠B＝

，

∴∠1＝∠E，∠2＝∠B

∴AC∥MD，CD∥AM，

∴ACDM是平行四边形

又∵AC＝CD

∴ACDM是菱形

【课堂小测】

1．D2．C3．634．85．