高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形36正弦定理和余弦定理课时提升作业理.docx

1、高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形36正弦定理和余弦定理课时提升作业理2019-2020年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.6正弦定理和余弦定理课时提升作业理一、选择题(每小题5分,共25分)1.(xx黄石模拟)在ABC中,sinA=sinB是ABC为等腰三角形的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.当sinA=sinB时,则有A=B,则ABC为等腰三角形,故sinA=sinB是ABC为等腰三角形的充分条件,反之,当ABC为等腰三角形时,不一定是A=B,若当A=C60时,则sinAsinB,故sinA=sinB是ABC为等腰三角形

2、的充分不必要条件.2.(xx十堰模拟)在ABC中,若A=,B=,BC=3,则AC=()A. B. C.2 D.4【解析】选C.由正弦定理可得:=,即有AC=2.3.(xx潮州模拟)在ABC中,若a2+b2c2,则ABC的形状是()A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定【解析】选C.由余弦定理:a2+b2-2abcosC=c2,因为a2+b2c2,所以2abcosCbB.abC.a=bD.a与b的大小关系不能确定【解析】选A.由余弦定理得2a2=a2+b2-2abcos120,b2+ab-a2=0,即+-1=0,=1,故ba.【一题多解】由余弦定理得2a2=a2+b2-2a

3、bcos120,b2+ab-a2=0,b=,由aa+b得,ba.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(xx郴州模拟)在ABC中,a=15,b=10,A=60,则cosB=.【解析】由正弦定理可得=,所以sinB=,再由ba,可得B为锐角,所以cosB=.答案:7.(xx淄博模拟)在ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC,则B=.【解析】在ABC中,因为sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC,所以利用正弦定理得:a2+c2-b2=ac,所以cosB=,所以B=.答案:8.如图,在ABC中,B=45,D是BC边上

4、的点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB的长为.【解析】在ADC中,AD=5,AC=7,DC=3,由余弦定理得cosADC=-,所以ADC=120,ADB=60.在ABD中,AD=5,B=45,ADB=60,由正弦定理得=,所以AB=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.ABC中,点D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.(1)求.(2)若BAC=60,求B.【解析】(1)如图,由正弦定理得:=,=,因为AD平分BAC,BD=2DC,所以=.(2)因为C=180-(BAC+B),BAC=60,所以sinC=sin(BAC+B)=cosB+sinB,由(1)知2sinB=sin

5、C,所以tanB=,即B=30.10.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB.(1)求cosB的值.(2)若=2,且b=2,求a和c的值.【解析】(1)由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,则2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB,故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB,可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB,即sin(B+C)=3sinAcosB,可得sinA=3sinAcosB.又sinA0,因此cosB=.(2)由=2,可得accosB=2,又cos

6、B=,故ac=6,由b2=a2+c2-2accosB,可得a2+c2=12,所以(a-c)2=0,即a=c,所以a=c=.(20分钟40分)1.(5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知8b=5c,C=2B,则cosC=()A. B.- C. D.【解析】选A.由C=2B得sinC=sin2B=2sinBcosB,由正弦定理及8b=5c得cosB=,所以cosC=cos2B=2cos2B-1=2-1=.2.(5分)(xx长沙模拟)已知a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C的对边,3bcosA=ccosA+acosC,则tanA的值为()A.-2 B.- C.2 D.【

7、解析】选C.因为ccosA+acosC=b,所以3bcosA=b,cosA=,所以tanA=2.3.(5分)(xx荆门模拟)如图,在ABC中,已知点D在BC边上,ADAC,sinBAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为.【解析】因为sinBAC=,且ADAC,所以sin=,所以cosBAD=,在BAD中,由余弦定理得,BD=.答案:【加固训练】(xx菏泽模拟)在ABC中,C=90,M是BC的中点.若sinBAM=,则sinBAC=.【解题提示】分别在RtABC和ABM中应用勾股定理和正弦定理.【解析】设AC=b,AB=c,BC=a,在ABM中由正弦定理得=,因为sinBMA=sinCMA=,

8、又AC=b=,AM=,所以sinBMA=.又由得=,两边平方化简得4c4-12a2c2+9a4=0,所以2c2-3a2=0,所以sinBAC=.答案:4.(12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点(a,b)在直线x(sinA-sinB)+ysinB=csinC上.(1)求角C的值.(2)若2cos2-2sin2=,且AB,求.【解析】(1)将(a,b)代入直线解析式得:a(sinA-sinB)+bsinB=csinC,由正弦定理=得:a(a-b)+b2=c2,即a2+b2-c2=ab,由余弦定理得cosC=,因为0C,所以C=.(2)因为2cos2-2sin2=1+cosA

9、-1+cosB=cosA+cos=cosA+sinA=sin=,因为A+B=,且AB,所以0A,所以A+,即A+=,所以A=,B=,C=,则=.5.(13分)(xx十堰模拟)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.(1)求cosCAD的值.(2)若cosBAD=-,sinCBA=,求BC的长.【解题提示】利用三角形的内角和定理、余弦定理和正弦定理求解.【解析】(1)在ADC中,由余弦定理,得cosCAD=.(2)设BAC=,则=BAD-CAD.因为cosCAD=,cosBAD=-,所以sinCAD=,sinBAD=.于是sin=sin(BAD-CAD)=sinBADcosCA

10、D-cosBADsinCAD=-=.在ABC中,由正弦定理得,=.故BC=3.【加固训练】(xx武汉模拟)已知a,b,c分别是ABC的三个内角A,B,C的对边,且满足2asinB-b=0.(1)求角A的大小.(2)当A为锐角时,求函数y=sinB+sin的值域.【解析】(1)由正弦定理及已知2asinB-b=0,得:2sinAsinB=sinB,因为sinB0,所以sinA=,所以A=或A=.(2)因为A=,所以B+C=,则0B20,所以tantan2,所以tan,所以=,解得:0x2028.28,所以CD的长至多为28.28米.(2)设DB=a米,DC=m米,ADB=180-=123.43,

11、则=,解得a=85.06(米),所以m=26.93(米).答:CD的长约为26.93米.(20分钟40分)1.(5分)(xx池州模拟)如图,为了测量河对岸A,B两点间的距离,某课外小组的同学在岸边选取C,D两点,测得CD=200m,ADC=105,BDC=15,BCD=120,ACD=30,则A,B两点间的距离是()A.200m B.200mC.100m D.100(1+)m【解析】选A.在ACD中,由正弦定理有=,解得AC=100(+1)m,在BCD中,由正弦定理解得BC=100(-1)(m),BCA=BCD-ACD=90,所以在RtACB中,AB=200(m).2.(5分)(xx长沙模拟)

12、如图,在海中一孤岛D的周围有2个观察站A,C,已知观察站A在岛D的正北5n mile处,观察站C在岛D的正西方,现在海面上有一船B,在A点测得其在南偏西60方向4n mile处,在C点测得其在北偏西30,则两观测点A与C的距离为n mile.【解析】由题意可得E=30,ABC=90,在RtADE中,AE=10n mile,所以EB=AE-AB=6n mile.在RtEBC中,BC=BEtan30=2n mile,在RtABC中,AC=2(n mile).答案:23.(5分)(xx唐山模拟)某升旗仪式上,如图,在坡度为15的观礼台上,某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上,在该列的第一排和最

13、后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60和30,且第一排和最后一排的距离为10米,则旗杆的高度为米.【解析】如图所示:在三角形ABC中,可得CAB=45,ABC=105,ACB=30.利用正弦定理可求出BC=20米,则在直角三角形BDC中,CD=BCsin60=30米.答案:30【加固训练】已知锐角三角形的边长分别为2,4,x,则x的取值范围是()A.1x B.xC.1x2 D.2x2【解析】选D.由题得边长为2,4,x,可构成三角形时有2x6,又此三角形为锐角三角形,则当2x0,解得x2;当4x0,解得x2;综上当三角形为锐角三角形时x的取值范围是2x2.4.(12分)(xx福州模拟)如图,在等腰

14、直角OPQ中,POQ=90,OP=2,点M在线段PQ上.(1)若OM=,求PM的长.(2)若点N在线段MQ上,且MON=30,问:当POM取何值时,OMN的面积最小?并求出面积的最小值.【解析】(1)在OMP中,OPM=45,OM=,OP=2,由余弦定理得,OM2=OP2+MP2-2OPMPcos45,得MP2-4MP+3=0,解得MP=1或MP=3.(2)设POM=,060,在OMP中,由正弦定理,得=,所以OM=,同理ON=,故SOMN=OMONsinMON=,因为060,302+30150,所以当=30时,sin(2+30)的最大值为1,此时OMN的面积取到最小值.即POM=30时,OM

15、N的面积的最小值为8-4.5.(13分)(xx武汉模拟)如图,在海岛A上有一座海拔1千米的山,山顶设有一个观察站P,上午11时,测得一轮船在岛北偏东30,俯角为30的B处,到11时10分又测得该船在岛北偏西60,俯角为60的C处.(1)求船的航行速度是每小时多少千米?(2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的D处,问此时船距岛A有多远?【解析】(1)在RtPAB中,APB=60,PA=1,所以AB=.在RtPAC中,APC=30,所以AC=.在ACB中,CAB=30+60=90,所以BC=,则船的航行速度为=2(千米/时).(2)在ACD中,DAC=90-60=30,sinDCA=sin(180-ACB)=sinACB=,sinCDA=sin(ACB-30)=sinACBcos30-cosACBsin30=-=.由正弦定理得=.所以AD=.故此时船距岛A有千米.