高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形36正弦定理和余弦定理课时提升作业理.docx
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高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形36正弦定理和余弦定理课时提升作业理
2019-2020年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.6正弦定理和余弦定理课时提升作业理
一、选择题（每小题5分,共25分）
1.（xx·黄石模拟）在△ABC中,sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的 （ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.当sinA=sinB时,则有A=B,则△ABC为等腰三角形,故sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的充分条件,反之,当△ABC为等腰三角形时,不一定是A=B,若当A=C≠60°时,则sinA≠sinB,故sinA=sinB是△ABC为等腰三角形的充分不必要条件.
2.（xx·十堰模拟）在△ABC中,若A=,B=,BC=3,则AC= （ ）
A.B.C.2D.4
【解析】选C.由正弦定理可得:
=,
即有AC===2.
3.（xx·潮州模拟）在△ABC中,若a2+b2A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定
【解析】选C.由余弦定理:
a2+b2-2abcosC=c2,
因为a2+b2所以C为钝角,△ABC是钝角三角形.
4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=,则B= （ ）
A.B.C.D.
【解析】选C.将已知等式利用正弦定理化简得:
=,
即c2-b2=ac-a2,
所以a2+c2-b2=ac,
所以cosB==.
因为B为三角形的内角,所以B=.
5.（xx·滁州模拟）在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若
C=120°,c=a,则 （ ）
A.a>b
B.aC.a=b
D.a与b的大小关系不能确定
【解析】选A.由余弦定理得2a2=a2+b2-2abcos120°,b2+ab-a2=0,即+-1=0,=<1,故b【一题多解】由余弦定理得2a2=a2+b2-2abcos120°,b2+ab-a2=0,b=,
由a二、填空题（每小题5分,共15分）
6.（xx·郴州模拟）在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB= .
【解析】由正弦定理可得=,
所以sinB=,
再由b所以cosB==.
答案:
7.（xx·淄博模拟）在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC,则B= .
【解析】在△ABC中,因为sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC,
所以利用正弦定理得:
a2+c2-b2=ac,
所以cosB==,所以B=.
答案:
8.如图,在△ABC中,∠B=45°,D是BC边上的点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB的长为 .
【解析】在△ADC中,AD=5,AC=7,DC=3,
由余弦定理得cos∠ADC==-,
所以∠ADC=120°,∠ADB=60°.
在△ABD中,AD=5,∠B=45°,∠ADB=60°,
由正弦定理得=,
所以AB=.
答案:
三、解答题（每小题10分,共20分）
9.△ABC中,点D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.
（1）求.
（2）若∠BAC=60°,求B.
【解析】
（1）如图,由正弦定理得:
=,
=,
因为AD平分∠BAC,BD=2DC,
所以==.
（2）因为C=180°-（∠BAC+B）,∠BAC=60°,
所以sinC=sin（∠BAC+B）=cosB+sinB,
由
（1）知2sinB=sinC,
所以tanB=,即B=30°.
10.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=3acosB-ccosB.
（1）求cosB的值.
（2）若·=2,且b=2,求a和c的值.
【解析】
（1）由正弦定理得a=2RsinA,
b=2RsinB,c=2RsinC,
则2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB,
故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB,
可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB,
即sin（B+C）=3sinAcosB,
可得sinA=3sinAcosB.又sinA≠0,
因此cosB=.
（2）由·=2,可得accosB=2,
又cosB=,故ac=6,
由b2=a2+c2-2accosB,可得a2+c2=12,
所以（a-c）2=0,即a=c,所以a=c=.
（20分钟 40分）
1.（5分）在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知8b=5c,C=2B,则cosC= （ ）
A.B.-C.±D.
【解析】选A.由C=2B得sinC=sin2B=2sinBcosB,由正弦定理及8b=5c得cosB===,所以cosC=cos2B=2cos2B-1=2×-1=.
2.（5分）（xx·长沙模拟）已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C的对边,3bcosA=ccosA+acosC,则tanA的值为 （ ）
A.-2 B.- C.2 D.
【解析】选C.因为ccosA+acosC=b,
所以3bcosA=b,cosA=,所以tanA=2.
3.（5分）（xx·荆门模拟）如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,
sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为 .
【解析】因为sin∠BAC=,且AD⊥AC,
所以sin=,
所以cos∠BAD=,在△BAD中,由余弦定理得,BD=
=
=.
答案:
【加固训练】（xx·菏泽模拟）在△ABC中,C=90°,M是BC的中点.若sin∠BAM=,则sin∠BAC= .
【解题提示】分别在Rt△ABC和△ABM中应用勾股定理和正弦定理.
【解析】设AC=b,AB=c,BC=a,
在△ABM中由正弦定理得
=①,
因为sin∠BMA=sin∠CMA=,
又AC=b=,
AM==,
所以sin∠BMA=.
又由①得=
两边平方化简得4c4-12a2c2+9a4=0,所以2c2-3a2=0,
所以sin∠BAC==.
答案:
4.（12分）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,点（a,b）在直线x（sinA-sinB）+ysinB=csinC上.
（1）求角C的值.
（2）若2cos2-2sin2=,且A【解析】
（1）将（a,b）代入直线解析式得:
a（sinA-sinB）+bsinB=csinC,
由正弦定理==得:
a（a-b）+b2=c2,即a2+b2-c2=ab,
由余弦定理得cosC==,
因为0（2）因为2cos2-2sin2=1+cosA-1+cosB=cosA+cos=
cosA+sinA=sin=,
因为A+B=,且A所以所以A=,B=,C=,
则===.
5.（13分）（xx·十堰模拟）如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.
（1）求cos∠CAD的值.
（2）若cos∠BAD=-,sin∠CBA=,求BC的长.
【解题提示】利用三角形的内角和定理、余弦定理和正弦定理求解.
【解析】
（1）在△ADC中,由余弦定理,
得cos∠CAD=
==.
（2）设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.
因为cos∠CAD=,cos∠BAD=-,
所以sin∠CAD=
==,
sin∠BAD===.
于是sinα=sin（∠BAD-∠CAD）
=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD
=×-×=.
在△ABC中,由正弦定理得,=.
故BC===3.
【加固训练】（xx·武汉模拟）已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C的对边,且满足2asinB-b=0.
（1）求角A的大小.
（2）当A为锐角时,求函数y=sinB+sin的值域.
【解析】
（1）由正弦定理及已知2asinB-b=0,
得:
2sinA·sinB=sinB,因为sinB≠0,所以sinA=,
所以A=或A=.
（2）因为A=,所以B+C=π,
则0因为y=sinB+sin=sinB+sin
=sinB+cosB=2sin.
因为B∈,B+∈,
所以sin∈,
所以,所求函数的值域为（1,2].
2019-2020年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.7应用举例课时提升作业理
一、选择题（每小题5分,共25分）
1.（xx·成都模拟）如图所示,为了利用余弦定理得到隧道口AB的宽度,给定下列四组数据,计算时最应当用数据 （ ）
A.α,a,bB.a,β,α
C.a,b,γD.α,β,b
【解析】选C.因为AB的长度无法测量,所以可以测量三角形的边AC,BC的长度b,a及角C.
2.（xx·深圳模拟）一架直升飞机在200m高度处进行测绘,测得一塔顶与塔底的俯角分别是30°和60°,则塔高为 （ ）
A.mB.m
C.mD.m
【解析】选A.如图所示.
在Rt△ACD中可得CD==BE,
在△ABE中,由正弦定理得
=⇒AB=,
所以DE=BC=200-=（m）.
3.（xx·洛阳模拟）在△ABC中,AC=,BC=2,B=60°,则BC边上的高等
于 （ ）
A.B.
C.D.
【解析】选B.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosB,
化简得AB2-2AB-3=0,解得AB=3,
所以BC边上的高等于AB·sinB=.
【加固训练】（xx·太原模拟）已知△ABC的三条边长分别为AB=21,AC=10,BC=17,则它的面积为 .
【解析】因为AB=21,AC=10,BC=17,
所以由余弦定理得
cosC==-,
所以sinC==,
所以△ABC的面积S=×10×17×=84.
答案:
84
【一题多解】本题还可以采用如下解法:
方法一:
由公式
S=
得S==84.
方法二:
cosA==,
过点C作AB边上的高CD,则AD=6,BD=15,CD=8,
所以△ABC的面积S=×6×8+×15×8=84.
答案:
84
4.（xx·郑州模拟）在四边形ABCD中,∠B=∠C=120°,AB=4,BC=CD=2,则该四边形的面积等于 （ ）
A.7B.6C.5D.
【解析】选C.如图,取AB中点G,连接DG,
则DG∥BC,∠AGD=120°.
分别过B,C作DG的垂线,可求得BE=CF=,DG=4,
所以四边形面积S=S△AGD+S四边形GBCD=AG×DG×sin120°+×（DG+BC）×BE=5.
【一题多解】本题还可以采用如下解法:
选C.连接BD,在△DBC中,BC=CD=2,∠BCD=120°,
所以BD=2,AB⊥BD,
所以四边形ABCD的面积为
S△ABD+S△CBD=×4×2+×2×2×=5.
5.（xx·长沙模拟）地面上有两座塔AB,CD,相距120米,一人分别在两塔底测得一塔顶的仰角是另一塔顶仰角的2倍,在两塔底连线的中点O处测得塔顶的仰角互为余角,则两塔的高度分别为 （ ）
A.50米,100米B.40米,90米
C.40米,50米D.30米,40米
【解析】选B.设高塔高H,矮塔高h,在矮塔下望高塔仰角为α,在O点望高塔仰角为β.
分别在两塔底部测得一塔顶仰角是另一塔顶仰角的两倍,所以在高塔下望矮塔仰角为,
即tanα=,tan=,
根据倍角公式有=①,
在塔底连线的中点O测得两塔顶的仰角互为余角,所以在O点望矮塔仰角为
-β,
即tanβ=,tan=,
根据诱导公式有=②,
联立①②得H=90,h=40.
即两座塔的高度为40米,90米.
二、填空题（每小题5分,共15分）
6.如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得
∠MCA=60°.已知山高BC=100m,则山高MN= m.
【解析】在Rt△ABC中,∠CAB=45°,BC=100m,
所以AC=100m.
在△AMC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,从而∠AMC=45°,
由正弦定理,得=,
因此AM=100m.
在Rt△MNA中,AM=100m,∠MAN=60°,
由=sin60°,得MN=100×=150（m）.
答案:
150
7.两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都等于2km,灯塔A在C北偏东45°处,灯塔B在C南偏东15°处,则A,B之间的距离为 .
【解析】根据图形,
在△ABC中,∠ACB=120°,AC=BC=2km,
由余弦定理,得AB=
=2（km）.
答案:
2km
8.（xx·广州模拟）海上有A,B两个小岛相距10nmile,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,那么B岛和C岛间的距离是
nmile.
【解析】如图,
在△ABC中,AB=10,A=60°,B=75°,C=45°,
由正弦定理,得=,
所以BC==
=5（nmile）.
答案:
5
【加固训练】已知:
如图所示的一块三角形绿地ABC中,AB边长为20m,由点C看AB的张角为30°,在AC边上D处看AB的张角为60°,且AD=2DC.则这块绿地的面积为 m2（精确到1m2,取≈1.732）.
【解析】由已知∠DBC=30°,所以BD=DC=AD.
又cos60°=,所以AD·cos60°=BD,
故∠ABD=90°,∠A=30°,
所以AB=BC=20,∠ABC=120°,
所以S△ABC=（20）2·sin120°=×400×（）2×=300≈520（m2）.
答案:
520
三、解答题（每小题10分,共20分）
9.（xx·合肥模拟）某登山队在山脚测得山顶的仰角是35°,沿着倾斜角20°的斜坡前进1000m后,又测得山顶的仰角是65°,求山高.
【解析】如图,A是山脚的一点,B为山顶,S是倾斜角20°的斜坡上的一点,且AS=1000m.
在Rt△BSD中,
因为∠BSD=65°,则∠SBD=25°.
在Rt△ABC中,
因为∠BAC=35°,则∠ABC=55°,
所以∠ABS=∠ABC-∠SBD=55°-25°=30°.
在△ASB中,
因为∠BAS=35°-20°=15°,∠ABS=30°,
所以∠ASB=135°.
由正弦定理得=,
所以AB==
=1000（m）,
在△ABC中,BC=AB·sin35°=1000·sin35°≈1000×1.414×0.5736≈811（m）.
答:
山高约为811m.
10.（xx·石家庄模拟）如图,某公司要在A,B两地连线上的定点C处建造广告牌CD,其中D为顶端,AC长35米,CB长80米,设A,B在同一水平面上,从A和B看D的仰角分别为α和β.
（1）设计中CD是铅垂方向,若要求α≥2β,问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）?
（2）施工完成后,CD与铅垂方向有偏差,现在实测得α=38.12°,β=18.45°,求CD的长（结果精确到0.01米）.
【解题提示】
（1）在Rt△ADC,Rt△BDC中,根据边角关系可得tanα,tanβ,根据α≥2β,可得tanα≥tan2β,解此三角形不等式可得结论.
（2）在△ADB中,根据正弦定理可把DB的长度求出,在△BCD中,根据余弦定理可把DC的长度求出.
【解析】
（1）设CD的长为x米,
则tanα=,tanβ=.
因为>α≥2β>0,所以tanα≥tan2β,
所以tanα≥,
所以≥=,
解得:
0所以CD的长至多为28.28米.
（2）设DB=a米,DC=m米,∠ADB=180°-α-β=123.43°,
则=,
解得a=≈85.06（米）,
所以m=
≈26.93（米）.
答:
CD的长约为26.93米.
（20分钟 40分）
1.（5分）（xx·池州模拟）如图,为了测量河对岸A,B两点间的距离,某课外小组的同学在岸边选取C,D两点,测得CD=200m,∠ADC=105°,∠BDC=15°,∠BCD=
120°,∠ACD=30°,则A,B两点间的距离是 （ ）
A.200mB.200m
C.100mD.100（1+）m
【解析】选A.在△ACD中,由正弦定理有=,
解得AC=100（+1）m,
在△BCD中,由正弦定理解得
BC=100（-1）（m）,
∠BCA=∠BCD-∠ACD=90°,
所以在Rt△ACB中,AB=200（m）.
2.（5分）（xx·长沙模拟）如图,在海中一孤岛D的周围有2个观察站A,C,已知观察站A在岛D的正北5nmile处,观察站C在岛D的正西方,现在海面上有一船B,在A点测得其在南偏西60°方向4nmile处,在C点测得其在北偏西30°,则两观测点A与C的距离为 nmile.
【解析】由题意可得∠E=30°,∠ABC=90°,
在Rt△ADE中,AE==10nmile,
所以EB=AE-AB=6nmile.
在Rt△EBC中,BC=BE·tan30°=2nmile,
在Rt△ABC中,AC=
=2（nmile）.
答案:
2
3.（5分）（xx·唐山模拟）某升旗仪式上,如图,在坡度为15°的观礼台上,某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上,在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°,且第一排和最后一排的距离为10米,则旗杆的高度为 米.
【解析】如图所示:
在三角形ABC中,可得∠CAB=45°,∠ABC=105°,∠ACB=30°.
利用正弦定理可求出BC=20米,则在直角三角形BDC中,CD=BC·sin60°=30米.
答案:
30
【加固训练】已知锐角三角形的边长分别为2,4,x,则x的取值范围是 （ ）
A.1C.1【解析】选D.由题得边长为2,4,x,可构成三角形时有2又此三角形为锐角三角形,则当2由余弦定理得>0,
解得x>2;
当4≤x<6时,最大的角是边长为x所对应的,
由余弦定理得>0,解得x<2;
综上当三角形为锐角三角形时x的取值范围是24.（12分）（xx·福州模拟）如图,在等腰直角△OPQ中,∠POQ=90°,OP=2,点M在线段PQ上.
（1）若OM=,求PM的长.
（2）若点N在线段MQ上,且∠MON=30°,问:
当∠POM取何值时,△OMN的面积最小?
并求出面积的最小值.
【解析】
（1）在△OMP中,∠OPM=45°,OM=,OP=2,
由余弦定理得,OM2=OP2+MP2-2×OP×MP×cos45°,
得MP2-4MP+3=0,解得MP=1或MP=3.
（2）设∠POM=α,0°≤α≤60°,
在△OMP中,由正弦定理,
得=,
所以OM=,
同理ON=,
故S△OMN=×OM×ON×sin∠MON
=×
=
=
=
=
=
=,
因为0°≤α≤60°,30°≤2α+30°≤150°,
所以当α=30°时,sin（2α+30°）的最大值为1,此时△OMN的面积取到最小值.
即∠POM=30°时,△OMN的面积的最小值为8-4.
5.（13分）（xx·武汉模拟）如图,在海岛A上有一座海拔1千米的山,山顶设有一个观察站P,上午11时,测得一轮船在岛北偏东30°,俯角为30°的B处,到11时10分又测得该船在岛北偏西60°,俯角为60°的C处.
（1）求船的航行速度是每小时多少千米?
（2）又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的D处,问此时船距岛A有多远?
【解析】
（1）在Rt△PAB中,∠APB=60°,PA=1,
所以AB=.
在Rt△PAC中,∠APC=30°,所以AC=.
在△ACB中,∠CAB=30°+60°=90°,
所以BC=
==,
则船的航行速度为÷=2（千米/时）.
（2）在△ACD中,∠DAC=90°-60°=30°,
sin∠DCA=sin（180°-∠ACB）=sin∠ACB===,
sin∠CDA=sin（∠ACB-30°）
=sin∠ACB·cos30°-cos∠ACB·sin30°
=×-×
=.
由正弦定理得=.
所以AD===.
故此时船距岛A有千米.
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