万能数学公式.docx

1、万能数学公式数学公式(tgx ) = sec 2 x(ctgx ) = -esc2 x(sec x) = sec x tgx (esc x) - - csc x ctgxX * x(a ) = a In a(log a x) x I n a导数公式：(arcsin x) = 1訥一 x21(arccos x)占x2(arctgx ) I1 +x(arcctgx )1 +xtgxdx-In cos x +Cctgxdx=In sin x +Csec xdx=In secdxrr 2二 sec xdx=tgx 亠 C2cos xdxr 2二 csc xdx=-ctgx C2sin xsecCtgx

2、 dx二 sec xxcsc xdx=In csc-ctgx +Cdxa2 x21arctg acscctgxdx-csc x Cdx2 2x aIn- xa dxdx2 2 a -xdxIn a2aIn2a=arcs inshxdxchxdxdx=chx=shxx2 _a2In( x 亠.x 二 a2)亠 C7T7T22I- nn 二 sinxd:x = cosnxdx00.x2 a2dxx 2二 .x-a22.x2 -a2dx，x22a21 a2 - x2dxx 2二 a2-x2n -1 I n _2n2a 2 2In( x ； x a ) C22 a/ 2 2Inx +v x -a+ c

3、22,ax ,+ arcsin-+c2a基本积分表:三角函数的有理式积分:2u 1 -u x 2dusin x = , cos x = 2, u = tg , dx = 1 u 1 u 2 1 u一些初等函数： 两个重要极限:x xe e sin x双曲正弦:shxlim 12x7 xx xe e1 x双曲余弦:chxlim (1 ) =e = 2.7182818284 590452 X匚 X. X shx e - e 双曲正切 :thx :x _xchx e e -arshx = ln( x 厂冷 x? - 1)2archx = ln( x rx -1 )11 +xarthx = In 21

4、 -x三角函数公式:诱导公式：函数sctcinosgtga-a-c-sin aos atg actg a90csctaos ain atg ag a90c-+ aos asin actg atg a180s-o-ain acos atg actg a180-tc+ asin acos ag atg a270-ctO-acos asin atg ag a270-s-+ acos ain actg atg a360-c-O-asin aos atg actg a360sctc+ ain aos ag atg asin（ x 二 I-）: cos（ :乂 二 I ）tg （、：二 I ）二ctg （

5、:；二 I）倍角公式:sin 2 一 =2 sin ： cos :-2 2 2 2cos 2 ： =2cos 1 =1-2 sin cos 二 一sin3sin 3: = 3sin ： - 4 sin :-2ctg ot -13cos 3: =4 cos 3 cos :-ctg 2 :-32ctg a3tga -tg atg 3:2tg atg 2 1 tg a1 -3tg a-半角公式:反三角函数性质：jiarcs in x = arccos xJiarctgx = - arcctgx22高阶导数公式 莱布尼兹( Leibniz )公式：nz 、( n) 寸 八 (n_Jk) (k)(uv)

6、 CnU vk =0(n) 5 丄)门一1) 2) . n(n-1) (nk 1) 2)g . =u v nuv u v uv uv2! k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理： f (b) - f (a) = f)(b - a)f(b) - f (a) f ()柯西中值定理： -F(b)-F(a) F V)当f(x) =x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。曲率:弧微分公式：平均曲率：K2ds = 1 y dx,其中 y = tg :K从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；.-；s： MM弧长。M点的曲率:Aa da y直线：K = 0;1半径为a的圆：K .a定积分的近似计算:b -

7、a (yo yi 亠 亠 yn)n梯形法:bf (x)b a 1(yo yn) yi n 2-yn a抛物线法：bb _ af (X) ” ( y yn) 2(y2 y4 yn 2) 4(y y3 yn)a 3na定积分应用相关公式:功：W二 F s水压力：F = p A引力：F = k m ；2 , k为引力系数 rb1函数的平均值： y f (x) dx均方根：b 3 a| b f 2 (t)dt.b -a a空间解析几何和向量代数:空间2点的距离： d = M!M: 2 2 2= Y(X2-Xi) (y2-yj (Z2 -乙)向量在轴上的投影： Pr ju AB =AB cos是AB与u

8、轴的夹角。是一个数量Pr ju 佝亠 a?) = Pr ja1 Pr ja? a b =|a b cos 日=axbx +ayby +azb两向量之间的夹角:cos 71 =axbx ayby azbz2 2 2 2 x ay az , bx2 2by bzaxayazb sin日.例:线速度:bxbybzaxayaz向量的混合积:abc = (a b) c =bxbybz=a x b c cos a,a为锐角时，CxCyCz代表平行六面体的体积平面的方程:Ax By。Cz Dx = x0 mt二次曲面:1、椭球面:2、抛物面:2x2a2xb22y2q2z.于1c=z,( p, q同号)3、双

9、曲面:2 2 2单叶双曲面:x y z1222a b c222双叶双曲面:J = =1(马鞍面)a b c多元函数微分法及应用全微分： d = d dyex.:yu 和du dx dy dzx y z全微分的近似计算:：z ： dz 二 fx(x,y)=x fy(x,y) = y多元复合函数的求导法fu(t),v(t)dz；:u jz ；v + * fu(x,y), v(x, y)dt；:u；z;:tjz；:x；:x ；:v jx二 u(x, y)， v 二 v(x, y)时,；:u ；:udx dy ；x : y隐函数的求导公式：dudv隐函数F (x, y) =0，dydxFxFyd2yd

10、x2 J；xFy)+匕)Fydydx隐函数 F (x, y,z) =0,.:zFxFz.:zFy隐函数方程组:cFdFF (x, y,u ,v) =0,c(F,G)cucv =Fu FvQ(x, y,u ,v) =0c(u,v)cGcQQ u Q vcucvjx汀 Fz.:u.:x.:u-y1：(F ,Q);:v1：(F,Q)J：(x, v)_=xJ：(u,x)1：(F ,Q).:v1：(F ,Q)Jr(y, v)J：(u, y)微分法在几何上的应用:x=cp(t)空间曲线 y W(t)在点M (Xo,y0,z0)处的切线方程:z = (t)X - X。 y - y。 Z Zo（t。）：一 （

11、t。）（to）在点M处的法平面方程：x - x。）宀（t）（ y - y。） ，（t）（z - z。）=。若空间曲线方程为:F （x, y,z）=。卄亠曰，则切向量FzFzjIJG(x, y,z)=。GyGzGzGxGxGy曲面F （x, y, z）=。上一点M &。忆。），则:1、过此点的法向量：n 二Fx（x。，y,z。），Fy （x。，y。，z。），Fz（x。，y。，z。）2、过此点的切平面方程:Fx(Xo,yo,Zo)( x x。) Fy (x。，y,Zo)( y y。) Fz(x。，y,Zo)(z z。)=03、过此点的法线方程:x -x。 _ y - y。Fx（x。，y。，z。） Fy （x。，y,z。）z - z。（X。，y,z。）方向导数与梯度:函数z = f （x, y）在一点p（ x, y）沿任一方向I的方向导数为:；:f ；:f ；:fcos sin :.:l .x :：y其中：为x轴到方向I的转角。函数z二f （x, y）在一点f p(x,y)的梯度： grad f (x, y) iexi Tcy它与