万能数学公式.docx
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万能数学公式
数学公式
（tgx）=sec2x
（ctgx）=-esc2x
（secx）=secxtgx（escx）--cscxctgx
X*x
（a）=aIna
（logax）—
xIna
导数公式：
（arcsinx）'=1
訥一x2
1
（arccosx）
占—x2
（arctgx）I
1+x
（arcctgx）
1+x
tgxdx
-Incosx+C
ctgxdx
=Insinx+C
secxdx
=Insec
dx
r
r2
二secxdx
=tgx亠C
2
cosx
dx
r2
二cscxdx
=-ctgxC
2
sinx
sec
C
tgxdx
二secx
x
cscxdx
=Incsc
-ctgx+C
dx
a2x2
1
—arctga
csc
ctgxdx
--cscxC
dx
22
x—a
In
-x
adx
dx
22a-x
dx
Ina
2a
In
2a
=arcsin
shxdx
chxdx
dx
=chx
=shx
x2_a2
In（x亠.x二a2）亠C
7T
7T
2
2
I-■n
n二sin
xd:
x=cos
n
xdx
0
0
■.x2a2
dx
x2
二.x
-a2
2
.x2-a2
dx
，x2
2
—a
2
1a2-x2
dx
x2
二・a
2
-x
2
n-1
—In_2
n
2
a22
In（x•；x■a）■C
2
2a
/22
In
x+
vx-a
+c
2
2
a
x,
+—
arcsin
-+c
2
a
基本积分表:
三角函数的有理式积分:
2u1-ux2du
sinx=,cosx=2,u=tg—,dx=
1u1u21u
一些初等函数：
两个重要极限:
xx
e••e
sinx
双曲正弦
:
shx
lim1
2
x7x
xx
ee…
1x
双曲余弦
:
chx
lim
（1）=e=2.718281828459045
2X匚X
.X」
shxe-e双曲正切:
thx:
x_x
chxee-
arshx=ln（x厂冷x?
-1）
~2
archx=ln（x…rx-1）
11+x
arthx=—In
21-x
三角函数公式:
•诱导公式：
\函
\数
s
c
t
c
\
in
os
g
tg
a\
-a
-
c
-
-
sina
osa
tga
ctga
90°
c
s
c
t
a
osa
ina
tga
ga
90°
c
-
-
-
+a
osa
sina
ctga
tga
180
s
-
-
-
o
-a
ina
cosa
tga
ctga
180
-
-
t
c
°+a
sina
cosa
ga
tga
270
-
-
c
t
O
-a
cosa
sina
tga
ga
270
-
s
-
-
°+a
cosa
ina
ctga
tga
360
-
c
-
-
O
-a
sina
osa
tga
ctga
360
s
c
t
c
°+a
ina
osa
ga
tga
sin（x二I-'）:
cos（:
乂二I'）
tg（、：
•二I'）二
ctg（:
；二I'）
•倍角公式:
sin2一=2sin：
cos:
-
2222
cos2：
=2cos—1=1-2sincos二一sin
3
sin3:
=3sin：
-4sin:
-
2
ctgot-1
3
cos3:
=4cos3cos:
-
ctg2:
-
3
2ctga
3tga-tga
tg3:
2tga
tg2—
1—tga
1-3tga
-半角公式:
反三角函数性质：
ji
arcsinx=arccosx
Ji
arctgx=—-arcctgx
2
2
高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：
n
z、（n）寸八（n_Jk）（k）
（uv）CnUv
k=0
（n）5丄）门⑴一1）2）...n（n-1）（n—k1）2）g...⑴
=uvnuvuvuvuv
2!
k!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：
f（b）-f（a）=f「）（b-a）
f（b）-f（a）f（）
柯西中值定理：
-
F（b）-F（a）FV）
当f（x）=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率:
弧微分公式：
平均曲率：
K
2
ds=1ydx,其中y=tg:
K
从M点到M点，切线斜率的倾角变
化量；.-；s：
MM弧长。
M点的曲率:
Aaday
直线：
K=0;
1
半径为a的圆：
K.
a
定积分的近似计算:
b-a
（yo•yi亠亠yn」）
n
梯形法:
b
f（x）
b—a1
[（yo■yn）■yi""n2
-yna]
抛物线法：
b
b_a
f（X）”[（y°•yn）•2（y2•y4…•yn2）•4（y’•y3…•yn」）]
a3n
a
定积分应用相关公式:
功：
W
二Fs
水压力：
F=pA
引力：
F=km；2,k为引力系数r
b
1
函数的平均值：
yf（x）dx
均方根：
b"3a
|b
■'f2（t）dt
.b-aa
空间解析几何和向量代数:
空间2点的距离：
d=M!
M
:
222
=Y'（X2-Xi）（y2-yj（Z2-乙）
向量在轴上的投影：
PrjuAB=
ABcos®®是AB与u轴的夹角。
是一个数量
Prju佝亠a?
）=Prja1Prja?
ab=|abcos日=axbx+ayby+azb
两向量之间的夹角:
cos71=
axbxaybyazbz
2222xayaz,bx
22
bybz
ax
ay
az
bsin日.例:
线速度:
bx
by
bz
ax
ay
az
向量的混合积:
[abc]=（ab）c=
bx
by
bz
=axb‘ccosa,a为锐角时，
Cx
Cy
Cz
代表平行六面体的体积
平面的方程:
Ax°By。
Cz°D
x=x0…mt
二次曲面:
1、椭球面:
2、抛物面:
2
x
2
a
2
x
£
b2
2
y
2q
2
z
.于1
c
=z,（p,q同号）
3、双曲面:
222
单叶双曲面:
xyz
1
222
abc
222
双叶双曲面:
J==1（马鞍面）
abc
多元函数微分法及应用
全微分：
d^=—d^—dy
ex
.:
y
£u和
dudxdydz
xyz
全微分的近似计算:
「：
z：
•dz二fx（x,y）=xfy（x,y）=y
多元复合函数的求导法
f[u（t）,v（t）]
dz
；:
ujz；v
+*
f[u（x,y）,v（x,y）]
dt
；:
u
；z
;:
t
jz
；:
x
；:
x；:
vjx
二u（x,y），v二v（x,y）时,
；:
u；:
u
dxdy；x:
y
隐函数的求导公式：
du
dv
隐函数F（x,y）=0，
dy
dx
Fx
Fy
d2y
dx2
—J
；x
Fy
）+
匕）
Fy
dy
dx
隐函数F（x,y,z）=0,
.:
z
Fx
Fz
.:
z
Fy
隐函数方程组:
cF
dF
F（x,y,u,v）=0
c（F,G）
cu
cv=
FuFv
Q（x,y,u,v）=0
c（u,v）
cG
cQ
QuQv
cu
cv
jx
汀Fz
.:
u
.:
x
.:
u
-y
1
：
：
（F,Q）
;:
v
1
：
：
（F,Q）
J
：
：
（x,v）
_=x
J
：
：
（u,x）
1
：
：
（F,Q）
.:
v
1
：
：
（F,Q）
J
r（y,v）
J
：
：
（u,y）
微分法在几何上的应用:
x=cp（t）
空间曲线yW（t）在点M（Xo,y0,z0）处的切线方程:
z=（t）
X-X。
y-y。
Z—Zo
「（t。
）：
一（t。
）（to）
在点M处的法平面方程：
x-x。
）宀（t°）（y-y。
），（t°）（z-z。
）=。
若空间曲线方程为:
F（x,y,z）=。
卄亠曰
，则切向量
Fz
Fz
j
I
J
G（x,y,z）=。
Gy
Gz
Gz
Gx
Gx
Gy
曲面F（x,y,z）=。
上一点M&。
』。
忆。
），则:
1、过此点的法向量：
n二｛Fx（x。
，y°,z。
），Fy（x。
，y。
，z。
），Fz（x。
，y。
，z。
）｝
2、过此点的切平面方程
:
Fx（Xo,yo,Zo）（x—x。
）Fy（x。
，y°,Zo）（y—y。
）Fz（x。
，y°,Zo）（z—z。
）=0
3、过此点的法线方程:
x-x。
_y-y。
Fx（x。
，y。
，z。
）Fy（x。
，y°,z。
）
z-z。
（X。
，y°,z。
）
方向导数与梯度:
函数z=f（x,y）在一点
p（x,y）沿任一方向I的方向导数为:
；:
f；:
f；:
f
cossin:
.:
l.x:
：
y
其中：
为x轴到方向I的转角。
函数z二f（x,y）在一点
fp（x,y）的梯度：
gradf（x,y）i
ex
iT
cy
它与
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