保险精算第二版习题及答案.docx

1、保险精算第二版习题及答案保险精算(第二版)第一章：利息的基本概念5积累到180元，试确定在时刻5投资300元,已知a t at2 b,如果在o时投资100元，能在时刻在时刻8的积累值。a(0)a(5)25a b 1.80.8 K 彳,b 125小 300*100 (匚、Q a(5)180300*100 “、a(8)180300300* (64a b) 5081802. (1)假设 A(t)=l00+l0t,试确定 hm。A(1) A(0)A(0)0.1,i3A(3) A(2)A(2)0.0833,i5A(5) A(4)A0.0714(2)假设A nn100 1.1 ，试确定i1 A0) 0.1

2、,i3 0.1,i5 L4) 0.1A(0) A(2) A(4)3.已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资 800元在5年后的积累值。500a (3) 500(1 3iJ 620 h 0.08800a(5) 800(1 5iJ 1120500a (3) 500(1 i?)3 620 h 0.0743363800a(5) 800(1 is)5 1144.974已知某笔投资在 3年后的积累值为 1000元，第1年的利率为i1 10%，第2年的利率为i2 8% , 第3年的利率为i3 6%，求该笔投资的原始金额。A(3) 1000 A(0)(1 ij(1

3、 i2)(1 i3)A(0) 794.15.确定10000元在第3年年末的积累值(1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率 6%。(2)名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率 6%。10000a(3)10000a(3)1 丿亠10000(1i )12411956.1831 4(4)i 410000 11111750.0846设m 1,按从大到小的次序排列 d d(m)i (m)7 .如果t 0.01t，求 10 000元在第12年年末的积累值。、12 tdt 0 7210000a(12) 10000e0 10000e 20544.33&已知第1年的实际利率为10%,第2年的实际贴现率为 8%

4、,第3年的每季度计息的年名义利率为 6%,第4年的每半年计息的年名义贴现率为 5%,求一常数实际利率，使它等价于这 4年的投资利率。- 4 1 i 4 i 2(1 i) (1 h)(1 d2) (1 ) (1 )21.1*1.086956522*1.061363551*1.050625 1.333265858i 0.745563369.基金A以每月计息一次的年名义利率 12%积累，基金B以利息强度t -积累，在时刻t (t=0)，两笔6基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。12ta1(t) 1.01t t2n tdt 12a2(t) e0 e12t212t 121.01 e12,

5、t 1.43284764310.基金X中的投资以利息强度 t 0.01t 0.1 (0W tw 20),基金Y中的投资以年实际利率i积累；现分别投资1元,a,t)a2(t)则基金X和基金Y在第20年年末的积累值相等，求第 3年年末基金 Y的积累值。t1 i2t 0.01t2tdt 0.1t0 t 2e e20.01*20220 2 0.1*20i e1.822111.某人万元。1999年初借款3万元，按每年计息 3次的年名义利率6%投资，到2004年末的积累值为( )A.7.19B.4.04C. 3.31D. 5.214.037612.甲向银行借款1万元, 本金部分为（A.7 225）元。B.

6、7 213每年计息两次的名义利率为 6%,甲第2年末还款4000元，则此次还款后所余C.7 136D.6 987ii 2*2 4(1 ) 1.0322*21.1255第二章：年金练习题1 证明vni aman。i am ani(1n1 V n )vi2 .某人购买一处住宅，价值 16万元,10年。年计息12次的年名义利率为 8.7%首期付款额为 A，余下的部分自下月起每月月初付 1000元，共付。计算购房首期付款额 A。1000a1 面1600001201 v 1000-i79962.96 80037.0479962.96(i 8.7% /12)3.已知a5.153 , a11 7.036,

7、a诃 9.180 ,计算 i。a18 a71i 0.082994 .某人从50岁时起，每年年初在银行存入 5000元，共存10年，自60岁起，每年年初从银行提出一笔款作为生活费用，拟提取 10年。年利率为10%，计算其每年生活费用。5000&0 x 占x 12968.71235 .年金 A的给付情况是：110年，每年年末给付 1000元；1120年，每年年末给付 2000元；2130 年，每年年末给付1000元。年金B在110年,年末给付K元，若A与B的现值相等，已知 v101000a10|12000 -1 i2010每年给付额为 K元；1120年给付额为0; 2130年，每年1，计算K。22

8、0Ka0 Ka10lK 1800v20v，并解释该式意义。vv7.款每次为某人计划在第5年年末从银行取出17 000元，这5年中他每半年末在银行存入一笔款项，前 5次存1000元，后5次存款每次为2000元，计算每年计息 2次的年名义利率。1叫2000霍 1700101n3.355%8.某期初付年金每次付款额为11元，共付20次，第k年的实际利率为 ，计算V(2)。8 ki1L(1 h)(1 i2)9(1 ii)L (1扁)101128某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女，所领取的年金，n年后所有的年金只支付给第三个孩子,11 nA.39.1B. 3nC.给付形式为永续年金， 前两个孩子第1到

9、n年每年末平分 若三个孩子所领取的年金现值相等 ，那么v=()D. 3n12vn1i1 vni211.延期5年连续变化的年金共付款 6年，在时刻t时的年付款率为 t 1 ,t时刻的利息强度为1/(1+t),该年金的现值为()A.52B.54C.56D.585|a6115 v(t)(t1)2dtv(t)11 1a(t) et0 tdt t 15|11 1a6 5t-(t 1)2dt 541第三章：生命表基础练习题X21 .给出生存函数 s x e 2500，求：(1)人在50岁60岁之间死亡的概率。(2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。(3)人能活到70岁的概率。(4)50岁的人能活到70岁的

10、概率。P(50X 60) s 50 s(60)s 50 s(60)10q50s(50)P(X70) s(70)s 7020 p50s(50)2.已知 Pr : 5 v T(60) 5 =0.92094，求 q6o。5060s 65 s(66)n 4 PQC ns 65U.l 895, 5 P60s(60)s(60)s 65 s(66)q650.2058s(65)3.已知 q80 0.07 , d80 3129，求 。0.92094d80 1 80 181 c crq80 0.07180 1803 000人，20年的预期死亡人数为 为15人和18人。求生存函数 s(x)在20岁、21岁和22岁的

11、值。4.设某群体的初始人数为240人，第21年和第22年的死亡人数分别s(20)d1 L d20d 1 L d?10.92, s(21) 1 21 0.915, s(22)10d 1 L d?21 22 0.909105.如果 X-,0W xw 100,求1。=10 000时，在该生命表中1岁到4岁之间的死亡人数为100 xA.2073.92B.2081.61C.2356.74D.2107.56xdxxs(x) ex 20 x 1 100 xJdx2100 x2081.616.已知20岁的生存人数为1 000人，21岁的生存人数为998人，22岁的生存人数为992人，则1 02。为()B. 0

12、.007D. 0.005A. 0.008C.0.0061% 仏也 0.006120第四章：人寿保险的精算现值练习题(0 wxw 100)，年利率i=0.10 ,计算(保险金额为1元)：s(x)(1)趸缴纯保费 农0：诃的值。(2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量1100t Pxg xZ的方差Var(Z)。A30诃10 t0 vtPxgxtdtios(x t) s(x) 100 xt丄丄dt1.1 700.092Var(Z)2 A13010(A301U)235岁的人,单年度末给付，年利率 i=0.06 ,设年龄为t1 2dt 0.0922 0.0557011.21购买一保险金额为 1 000

13、元的5年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡的保 试计算：0 v2t t Pxg xtdt 0.092210(1)该保单的趸缴纯保费。该保单自35岁39岁各年龄的自然保费之总额。(3)(1)与(2)的结果为何不同？为什么？(1 )法1000A；5:5k4k 1V k Pxqx01351.06 1.06d35 d362d37 d38 d39 )1.063 1.064 1.065)查生命表l35979738, d351170, d361248, d37 1336, d381437, d39 1549 代入计算:1000 心4kVk 0k Pxqx135 1.06d36 d37 d38 d39、 5

14、7471.062 1.063 1.064 1.065法二：1000a351000M 35 M 40D35查换算表 1000 A15:5 1000 仏D351000g13590.22 12857.61127469.035.747(3)1000 P3511000也1000 P361000心11000 P371000A17:11000 P3811000%1000 P391000為1000( P35P36 P37(2)1A35:5lC35143.5810001000g1.126D35127469.03C36144.4710001000g1.203D36120110.22C37145.941000100

15、0g1.29D37113167.06C38148.0510001000g1.389D38106615.43C39cc 150.5510001000g1.499D39100432.54P38P39)6.45771 71 2 T1 3 T1 4 T1A3511 Vp35 A36:1 V 2 p35A37：1 V 3 p35 A38:1 V g4 P35 A391A35：5P35 P36 P37P38 P39(1)A；:20。(2)A 1x：10。改为求aJrAx Ax：20Ax:20 Ax:Ax20gAx 20A 10.250.5591 |o 1 |o2 20.5试证在UDD假设条件下:1 i 1

16、Axn Axn 。_ 1 I 1gn Ax：n Axn 。(x)购买了一份据保单规定，若 (x)在保险期限发生保险责任围的死亡，则在死亡年末可得保险金 1元,qx 0.5,i 0,Varz 0.1771，试求 qx 1。6. 已知，A768, D76 400, D77360,i0.03,求A77。7.现年30岁的人，付趸缴纯保费 5 000元, 处保单年度末支付，试求该保单的保险金额。购买一 20年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡时所5000A30:2q1解：5000其中19k 1v k P3q30ll301 1( d30I30 1.06M 30 M 50D30d 31(1.06)2 311

17、 G k d30 kl30 k1丄l 30 k 0d30 k3 d 32 L(1.06)3查(2000-2003 )男性或者女性非养老金业务生命表中数据I30 , d30 i d31i d32 L d49带入计算即可，或者 i=006M 30 , M 50 , D30带入计算即可。以及(2000-2003 )男性或者女性非养老金业务生命表换算表 例查(2000-2003 )男性非养老金业务生命表中数据11 1 1 1忑：20 丄(丄 867 917 二 977 L 打 3144)30:20 984635 1.06 (1.06) (1.06) (1.06)0.017785596R 281126.

18、372718.考虑在被保险人死亡时的那个 年时段末给付1个单位的终身寿险，设 k是自保单生效起存活的完m1整年数，j是死亡那年存活的完整 丄年的时段数。m(1)求该保险的趸缴纯保费 AXm)。(2)设每一年龄的死亡服从均匀分布，证明 AXm) 拾人乂 。I9.现年35岁的人购买了一份终身寿险保单，保单规定： 被保险人在10年死亡，给付金额为 15 000元;10年后死亡，给付金额为 20 000元。试求趸缴纯保费。趸交纯保费为15000心诃 2000。10|冗5其中A35:1019k 1V k p35q35 kk 09kVk 01 l35 k d35 kl35 k135l35 kvkd35 k

19、10| A35丄(丄d35I35 1.06M 35 M45D3570 kVk 101k p35q35右(1.06)M 45D35036(1.06)2 (1.06)313590.22 12077.31127469.0370 k 1 I35 k d35 k V10 l35 l35 k111 d45旦竺 0.09475127469.03(Td44)0.0118770l35 kd35 k10所以趸交纯保费为 15OOOA3而 2000010|A35 178.05 1895 2073.0510. 年龄为40岁的人，以现金10 000元购买一份寿险保单。保单规定：被保险人在 5年死亡，则在其死亡的年末给付

20、金额 30 00元；如在5年后死亡，则在其死亡的年末给付数额 R元。试求R值。11. 设年龄为50岁的人购买一份寿险保单，保单规定：被保险人在 70岁以前死亡，给付数额为 3 000元；如至70岁时仍生存，给付金额为 1 500元。试求该寿险保单的趸缴纯保费。该趸交纯保费为：3000人询 15004。右其中A50:2q19 kVk 01 .( d50150 1.06M 50 M 70D501k p50q50 k19 k vk 011 d 1 191 150 k 50 k150 k 150 k 11150d50 k2 d 51(1.06)2 51(1.06)3 d52 L(1.06)200 d6

21、9)70 70 170V 70 p50 V 150D70查生命表或者相应的换算表带入计算即可。12.单年度末给付5000元，此后保额每年增加若 (30)在第一个保单年计划死亡，则在其死亡的保设某30岁的人购买一份寿险保单，该保单规定：1000元。求此递增终身寿险的趸缴纯保费。该趸交纯保费为:4000A301OOO(IA)304000 MsoD301000电D30其中A30k75k 1V k p30q30 k0751 130 k d30130(IA)301 1( d30I30 1.06M 30D3075(k 1)Vkk 0(1.06)21k p30q30 k1 1( d30I30 1.06R30

22、d31752 d31(1.06)2 31l30 k1l30 k75 kV0d30 k(1.06)3(k0d 1 75上严 (k 1)Vk 1d30 k130 k 130 k 03 76 _3 d 32 L 76 dt05)(1.06)3 32 (1.06)76 1051)vk0 Il301 130D30查生命表或者相应的换算表带入计算即可。13.某一年龄支付下列保费将获得一个 n年期储蓄寿险保单：(1)1 000元储蓄寿险且死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为 750元。(2)1 000元储蓄寿险，被保险人生存n年时给付保险金额的 2倍，死亡时返还趸缴纯保费， 这个保险的趸缴纯保费为8

23、00元。若现有1 700元储蓄寿险，无保费返还且死亡时无双倍保障， 死亡给付均发生在死亡年末， 求这个保险的趸缴纯保费。解：保单 1）精算式为 1000Ax：n 750&：n 1750&问 1000Ax 750保单2）精算式为1000An 800&：n 1000Ax h 180n 2000Ax：n 800求解得嚅7/17, Ax :n 1/34，即1 11700人诃 1700為 1700Ax：n 75014. 设年龄为30岁者购买一死亡年末给付的终身寿险保单，依保单规定：被保险人在第一个保单年度死亡，则给付10 000元；在第二个保单年度死亡，则给付 9700元；在第三个保单年度死亡，则给付

24、9400元;每年递减300元，直至减到4000元为止，以后即维持此定额。试求其趸缴纯保费。15.某人在40岁投保的终身死亡险， 在死亡后立即给付 1元保险金。其中，给定lx 110 x,0W x w 110。利息力3 =0.05。Z表示保险人给付额的现值，则密度 fx 0.8等于（）A. 0.24 B. 0.27C. 0.33 D. 0.36lnZln vfT (t) t px x tS(x t)S(x)-T 1701 xfZ (z) fT(g(z)g(z)1 1/ z1270 ln v70 z7zfZ (0.8) 0.36I A I A16.已知在每一年龄年 UDD假设成立，表示式 x x

25、（）AA.B.解:1 1C.dD.丄丄1(IA)x_(瓜)xAxE(T 1 vT) E(Tvt) E(1 S)vks) kT K S (T KE(v ) E(v )1E(1 S)vS) 0(1 s)vsds 丄丄E(vS) 1vsds d -0S)17.在x岁投保的一年期两全保险，在个体（ x）死亡的保单年度末给付 b元，生存保险金为 e元。保险人给付额现值记为乙则Var(Z)=()A.2Pxqxv2b eC.2.22解：Pxqxvbe2 2B. PxqxV b e2 2 2D. V b qx e PxP(Z bv) qx,P(Z ev) PxP(Z2 b2v2) qx，P(Z2 e2v2)

26、PxE(Z) bvqx evpx2 2 2 2 2E(Z ) b v qx e v Px2 2 2 2 2 2Var(Z) E(Z2) E(Z) b2v2qx e2v2px2bvqx evpxv2qxPx(b e)2第五章：年金的精算现值练习题1 .设随机变量T = T(x)的概率密度函数为f(t) 0.015 e 0.015 (t 0)，利息强度为 3= 0.05。试计算精算现值axaxfT (t )dt0.05t1 e 0.015t0.015 e dt0.0515.382 2.设 ax 10, ax7.375 , Var afi50。试求：(1)；(2) Qx 。1 ax Ax1 2 2ax 2Ax1 10 Ax2 1 14.75 2Ax1 2 2Var af 列加(代)2)1 2 250 (2Ax (Ax)2)0.035Ax 0.652A 0.483753.某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金，试求其每年所得年金额。4.某人现年23岁，约定于36年每年年初缴付2 000元给某人寿保险公司，如中途死亡，即行停止，所缴付款额也不退还。而当此人活到 60岁时，人寿保险公司便开始给付第一次年金，直至死亡为止。试求此人每次所获得的年金额。解：2000&3囲R37| &32000号3：3637|a&3其中：3635kV kP23k 03