保险精算第二版习题及答案.docx

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保险精算第二版习题及答案

保险精算（第二版）

第一章：

利息的基本概念

5积累到180元，试确定在时刻5投资300元,

已知atat2b,如果在o时投资100元，能在时刻

在时刻

8的积累值。

a（0）

a（5）

25ab1.8

0.8K彳

b1

25

小300*100（匚、

Qa（5）

180

300*100“、

a（8）

180

300

300*^（64ab）508

180

2.

（1）假设A（t）=l00+l0t,试确定hm。

A

（1）A（0）

A（0）

0.1,i3

A（3）A

（2）

A

（2）

0.0833,i5

A（5）A（4）

A⑷

0.0714

（2）假设An

n

1001.1，试确定

i1A^0）0.1,i30.1,i5^L^4）0.1

A（0）A

（2）A（4）

3.已知投资500元，3年后得到120元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资800元在5

年后的积累值。

500a（3）500（13iJ620h0.08

800a（5）800（15iJ1120

500a（3）500（1i?

）3620h0.0743363

800a（5）800（1is）51144.97

4•已知某笔投资在3年后的积累值为1000元，第1年的利率为i110%，第2年的利率为i28%,第3年的利率为i36%，求该笔投资的原始金额。

A（3）1000A（0）（1ij（1i2）（1i3）

A（0）794.1

5.确定10000元在第3年年末的积累值

（1）名义利率为每季度计息一次的年名义利率6%。

（2）名义贴现率为每4年计息一次的年名义贴现率6%。

10000a（3）

10000a（3）

•⑷

1丿亠

10000（1

i）12

4

11956.18

3

14

（4）

i4

100001

1

1

11750.08

4

6•设m>1,按从大到小的次序排列dd（m）

i（m）

7.如果t0.01t，求10000元在第12年年末的积累值。

、

12tdt072

10000a（12）10000e010000e20544.33

&已知第1年的实际利率为10%,第2年的实际贴现率为8%,第3年的每季度计息的年名义利率为6%,

第4年的每半年计息的年名义贴现率为5%,求一常数实际利率，使它等价于这4年的投资利率。

-⑷•⑵

41i4i2

（1i）（1h）（1d2）

（1）

（1）

2

1.1*1.086956522*1.061363551*1.0506251.333265858

i0.74556336

9.基金A以每月计息一次的年名义利率12%积累，基金B以利息强度t-积累，在时刻t（t=0），两笔

6

基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。

12t

a1（t）1.01

tt2

ntdt12

a2（t）e0e12

t2

12t12

1.01e12,t1.432847643

10.基金X中的投资以利息强度t0.01t0.1（0Wtw20）,基金Y中的投资以年实际利率i积累；现分别

投资1元,

a,t）

a2（t）

则基金X和基金Y在第20年年末的积累值相等，求第3年年末基金Y的积累值。

t

1i

2

t0.01t2

tdt0.1t

0t2

ee

2

0.01*202

2020.1*20

ie

1.8221

11.某人

万元。

1999年初借款

3万元，按每年计息3次的年名义利率6%投资，到2004年末的积累值为（）

A.7.19

B.4.04

C.3.31

D.5.21

4.0376

12.甲向银行借款1万元,本金部分为（

A.7225

）元。

B.7213

每年计息两次的名义利率为6%,甲第2年末还款4000元，则此次还款后所余

C.7136

D.6987

i⑵

i2*24

（1）1.03

2

2*2

1.1255

第二章：

年金

练习题

1•证明vn

iam

an。

iaman

i（1

n

1V\n）v

i

2.某人购买一处住宅，价值16万元,

10年。

年计息12次的年名义利率为8.7%

首期付款额为A，余下的部分自下月起每月月初付1000元，共付

。

计算购房首期付款额A。

1000a1面

160000

120

1v1000-

i

79962.9680037.04

79962.96（i8.7%/12）

3.已知a^

5.153,a117.036,a诃9.180,计算i。

a18a71

i0.08299

4.某人从50岁时起，每年年初在银行存入5000元，共存10年，自60岁起，每年年初从银行提出一笔

款作为生活费用，拟提取10年。

年利率为10%，计算其每年生活费用。

5000&0x占

x12968.7123

5.年金A的给付情况是：

1〜10年，每年年末给付1000元；11〜20年，每年年末给付2000元；21〜30年，每年年末给付

1000元。

年金B在1〜10年,

年末给付

K元，若

A与B的现值相等，已知v10

1000a10|

1

2000-

1i

20

10

每年给付额为K元；11〜20年给付额为0;21〜30年，每年

1

，计算K。

2

20

Ka0K

a10l

K1800

v

20

v

，并解释该式意义。

v

v

7.

款每次为

某人计划在第5年年末从银行取出17000元，这5年中他每半年末在银行存入一笔款项，前5次存

1000元，后

5次存款每次为

2000元，计算每年计息2次的年名义利率。

1叫

2000

霍17°00

10

1

n

3.355%

8.

某期初付年金每次付款额为

1

1元，共付20次，第k年的实际利率为，计算V

（2）。

8k

i1

L

（1h）（1i2）

9

（1ii）L（1

扁）

10

11

28

某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女，

所领取的年金，n年后所有的年金只支付给第三个孩子,

1

1n

A.

3

9.

1

B.3n

C.

给付形式为永续年金，前两个孩子第1到n年每年末平分若三个孩子所领取的年金现值相等，那么v=（）

D.3n

1

2vn1

i

1vn

i

2

11.延期5年连续变化的年金共付款6年，在时刻t时的年付款率为t1,t时刻的利息强度为1/（1+t）,

该年金的现值为（

）

A.52

B.54

C.56

D.58

5|a6

11

5v（t）（t

1）2dt

v（t）

1

11

a（t）e

t

0tdtt1

5|

111

a65t

-（t1）2dt54

1

第三章：

生命表基础

练习题

X2

1.给出生存函数sxe2500，求：

（1）人在50岁〜60岁之间死亡的概率。

（2）50岁的人在60岁以前死亡的概率。

（3）人能活到70岁的概率。

（4）50岁的人能活到70岁的概率。

P（50

X60）s50s（60）

s50s（60）

10q50

s（50）

P（X

70）s（70）

s70

20p50

s（50）

2.已知Pr:

5vT（60）<6]=0.1895,Pr:

T（60）>5]=0.92094，求q6o。

5060

s65s（66）

n4PQCn

s65

U.l895,5P60

s（60）

s（60）

s65s（66）

q65

0.2058

s（65）

3.已知q800.07,d803129，求。

0.92094

d80180181ccr

q800.07

180180

3000人，20年的预期死亡人数为为15人和18人。

求生存函数s（x）在20岁、21岁和22岁的值。

4.设某群体的初始人数为

240人，第21年和第22年的死亡人数分别

s（20）

d1Ld20

d1Ld?

1

0.92,s（21）1210.915,s（22）

10

d1Ld?

2

1220.909

10

5.

如果X

-,0Wxw100,求1。

=10000时，在该生命表中1岁到4岁之间的死亡人数为

100x

A.2073.92

B.2081.61

C.2356.74

D.2107.56

x

dx

x

s（x）e

x2

0x1100x

Jdx

2

100x

2081.61

6.已知

20岁的生存人数为

1000人，21岁的生存人数为998人，22岁的生存人数为992人，则102。

为

（）°

B.0.007

D.0.005

A.0.008

C.0.006

1%仏也0.006

120

第四章：

人寿保险的精算现值

练习题

（0wxw100），年利率i=0.10,计算（保险金额为1元）：

s（x）

（1）趸缴纯保费农0：

诃的值。

（2）这一保险给付额在签单时的现值随机变量

1

100

tPxgx

Z的方差

Var（Z）。

A30诃

10t

0vt

Pxg

xtdt

io

s（xt）s（x）100x

t

丄丄dt

1.170

0.092

Var（Z）

2A1

3010

（A301U]

）2

35岁的人,

单年度末给付，年利率i=0.06,

设年龄为

t

12

dt0.09220.055

70

1

1.21

购买一保险金额为1000元的5年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡的保试计算：

0v2ttPxgx

tdt0.0922

10

（1）该保单的趸缴纯保费。

⑵该保单自35岁〜39岁各年龄的自然保费之总额。

（3）

（1）与

（2）的结果为何不同？

为什么？

（1）法

1000A；5:

5

k

4

k1

VkPxqx

0

1

35'1.061.06

d35d36

2

d37d38d39）

1.0631.0641.065）

查生命表l35

979738,d35

1170,d36

1248,d371336,d38

1437,d391549代入计算:

1000心

4

k

V

k0

kPxqx

1351.06

d36d37d38d39、5747

1.0621.0631.0641.065

法二：

1000a35^

1000

M35M40

D35

查换算表1000A15:

51000―仏

D35

1000g

13590.2212857.61

127469.03

5.747

（3）

1000P35

1

1000也

1000P36

1000心1

1000P37

1000A17:

1

1000P38

1

1000%

1000P39

1000為

1000（P35

P36P37

（2）

—1

A35:

5l

C35

143.58

1000

1000g

1.126

D35

127469.03

C36

144.47

1000

1000g

1.203

D36

120110.22

C37

145.94

1000

1000g

1.29

D37

113167.06

C38

—148.05

1000

1000g—

1.389

D38

106615.43

C39

—cc150.55

1000

1000g

1.499

D39

100432.54

P38

P39）

6.457

71712T13T14T1

A3511Vp35A36:

1V£2p35A37：

1V£3p35A38:

1Vg4P35A391

A35：

5

P35P36P37

P38P39

（1）

A；:

20。

（2）

A1

x：

10

。

改为求aJr

AxAx：

20

Ax:

20Ax:

Ax20gAx20

A1

0.25

0.55

9

1|o1|o

22

0.5

试证在UDD假设条件下:

1i1

AxnAxn。

_1I1

gnAx：

n—Axn。

（x）购买了一份

据保单规定，若（x）在保险期限发生保险责任围的死亡，则在死

亡年末可得保险金1元,

qx0.5,i0,Var

z0.1771，试求qx1。

6.已知，A76

°・8,D76400,D77

360,i

0.03,求A77。

7.现年30岁的人，付趸缴纯保费5000元,处保单年度末支付，试求该保单的保险金额。

购买一20年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡时所

5000

A30:

2q1

解：

5000

其中

19

k1

vkP3°q30

l

l30

11

（d30

I301.06

M30M50

D30

d31

（1.06）231

1Gkd30k

l30k

1

丄

l30k0

d30k

3d32L

（1.06）3

查（2000-2003）男性或者女性非养老金业务生命表中数据

I30,d30id31id32Ld49带入计算即可，或者i=0・06

M30,M50,D30带入计算即可。

以及（2000-2003）男性或者女性非养老金业务生命表换算表例查（2000-2003）男性非养老金业务生命表中数据

11111

忑：

20丄（丄867「917二977L打3144）

30:

209846351.06（1.06）（1.06）（1.06）

0.017785596

R281126.3727

1

8.考虑在被保险人死亡时的那个年时段末给付1个单位的终身寿险，设k是自保单生效起存活的完

m

1

整年数，j是死亡那年存活的完整丄年的时段数。

m

（1）求该保险的趸缴纯保费AXm）。

（2）设每一年龄的死亡服从均匀分布，证明AXm）拾人乂。

I

9.现年35岁的人购买了一份终身寿险保单，保单规定：

被保险人在10年死亡，给付金额为15000元;

10年后死亡，给付金额为20000元。

试求趸缴纯保费。

趸交纯保费为15000心诃2000。

10|冗5

其中

A35:

101

9

k1

Vkp35q35k

k0

9

k

V

k0

1l35kd35k

l35k

135

l35k

vk

d35k

10|A35

丄（丄d35

I351.06

M35M45

D35

70k

V

k10

1

kp35q35

右（（1.06）

M45

D35

036

（1.06）2（1.06）3

13590.2212077.31

127469.03

70k1I35kd35kV

10l35l35k

1

11d45

旦竺0.09475

127469.03

（T^d44）

0.01187

70

l35k

d35k

10

所以趸交纯保费为15OOOA3而2000010|A35178.0518952073.05

10.年龄为40岁的人，以现金10000元购买一份寿险保单。

保单规定：

被保险人在5年死亡，则在其死

亡的年末给付金额3000元；如在5年后死亡，则在其死亡的年末给付数额R元。

试求R值。

11.设年龄为50岁的人购买一份寿险保单，保单规定：

被保险人在70岁以前死亡，给付数额为3000

元；如至70岁时仍生存，给付金额为1500元。

试求该寿险保单的趸缴纯保费。

该趸交纯保费为：

3000人询15004。

右

其中

A50:

2q

19k

V

k0

1.

（d50

1501.06

M50M70

D50

1

kp50q50k

19kv

k0

1

1d119

1150k50k

150k150k1

1

150

d50k

2d51

（1.06）251

（1.06）

3d52L

（1.06）

200d69）

7070170

V70p50V—

150

D70

查生命表或者相应的换算表带入计算即可。

12.

单年度末给付5000元，此后保额每年增加

若（30）在第一个保单年计划死亡，则在其死亡的保

设某30岁的人购买一份寿险保单，该保单规定：

1000元。

求此递增终身寿险的趸缴纯保费。

该趸交纯保费为:

4000A30

1OOO（IA）30

4000Mso

D30

1000电

D30

其中

A30

k

75

k1

Vkp30q30k

0

75

1130kd30

130

（IA）30

11

（d30

I301.06

M30

D30

75

（k1）Vk

k0

（1.06）2

1

kp30q30k

11

（d30

I301.06

R30

d31

75

2d31

（1.06）231

l30k

1

l30k

75k

V

0

d30k

（1.06）3

（k

0

d175

上严「（k1）Vk1d30k

130k130k0

376_

3d32L76dt05）

（1.06）332（1.06）76105

1）vk

^0I

l30

1130

D30

查生命表或者相应的换算表带入计算即可。

13.某一年龄支付下列保费将获得一个n年期储蓄寿险保单：

（1）1000元储蓄寿险且死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为750元。

（2）1000元储蓄寿险，被保险人生存n年时给付保险金额的2倍，死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸

缴纯保费为800元。

若现有1700元储蓄寿险，无保费返还且死亡时无双倍保障，死亡给付均发生在死亡年末，求这个保险的

趸缴纯保费。

解：

保单1）精算式为1000Ax：

n750&：

n1750&问1000Ax750

保单2）精算式为

1000A^n800&：

n1000Axh180°£n2000Ax：

n800

求解得嚅7/17,Ax:

n1/34，即

11

1700人诃1700為1700Ax：

n750

14.设年龄为30岁者购买一死亡年末给付的终身寿险保单，依保单规定：

被保险人在第一个保单年度

死亡，则给付10000元；在第二个保单年度死亡，则给付9700元；在第三个保单年度死亡，则给付9400元;

每年递减300元，直至减到4000元为止，以后即维持此定额。

试求其趸缴纯保费。

15.某人在40岁投保的终身死亡险，在死亡后立即给付1元保险金。

其中，给定lx110x,0Wxw110。

利息力3=0.05。

Z表示保险人给付额的现值，则密度fx0.8等于（）

A.0.24B.0.27

C.0.33D.0.36

lnZ

lnv

fT（t）tpxxt

S（xt）

S（x）

-T170

1x

fZ（z）fT（g（z））g（z）

11/z

1

2

70lnv

70z

7z

fZ（0.8）0.36

IAIA

16.已知在每一年龄年UDD假设成立，表示式xx（）

A

A.

B.

解:

11

C.

d

D.丄丄1

（IA）x_（瓜）x

Ax

E（T1vT）E（Tvt）E（（1S）vks）k

TKS（TK

E（v）E（v）

1

E（（1S）vS）0（1s）vsds丄丄

E（vS）1vsdsd-

0

S）

17.在x岁投保的一年期两全保险，在个体（x）死亡的保单年度末给付b元，生存保险金为e元。

保险人给

付额现值记为乙则Var（Z）=（）

A.

2

Pxqxv

2

be

C.

2

.2

2

解：

Pxqxv

b

e

22

B.PxqxVbe

2■22

D.VbqxePx

P（Zbv）qx,P（Zev）Px

P（Z2b2v2）qx，P（Z2e2v2）Px

E（Z）bvqxevpx

22222

E（Z）bvqxevPx

222222

Var（Z）E（Z2）E（Z）b2v2qxe2v2px

2

bvqxevpx

v2qxPx（be）2

第五章：

年金的精算现值

练习题

1.设随机变量T=T（x）的概率密度函数为

f（t）0.015e0.015（t>0），利息强度为3=0.05。

试计算

精算现值ax

ax

fT（t）dt

0.05t

1e0.015t

0.015edt

0.05

15.38

2—

2.设ax10,ax

7.375,Varafi

50。

试求：

（1）

；

（2）Qx。

1axAx

122ax2Ax

110Ax

2—

114.752Ax

122

Varaf列加（代）2）

12——2

50—（2Ax（Ax）2）

0.035

Ax0.65

2

A0.48375

3.某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金，试求其每年所得年金额。

4.某人现年23岁，约定于36年每年年初缴付2000元给某人寿保险公司，如中途死亡，即行停止，所

缴付款额也不退还。

而当此人活到60岁时，人寿保险公司便开始给付第一次年金，直至死亡为止。

试求此人

每次所获得的年金额。

解：

2000&3囲

R37|&3

2000号3：

36

37|a&3

其中

：

36]

35

k

VkP23

k0

3