高考数学 黄金100题系列 第33题 三角函数的单调性奇偶性对称性与周期性 理.docx

1、高考数学 黄金100题系列 第33题 三角函数的单调性奇偶性对称性与周期性 理2019年高考数学 黄金100题系列 第33题 三角函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性 理例2（求函数的单调递增区间【解析】设，函数的单调递增区间为由，得易知【试题来源】人教版A版必修4第39页例5【母题评析】本题考查三角函数单调区间的求法，是历年来高考的一个常考点【思路方法】限定区间上三角函数单调区间的求法：先用整体思想求的单调区间，再与已知区间求交集即可II考场精彩真题回放例（2017课标3理6）设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是Af(x)的一个周期为2 By=f(x)的图像关于直线x=对称Cf

2、(x+)的一个零点为x= Df(x)在(，)单调递减【答案】D【解析】试题分析：函数的最小正周期为 ，则函数的周期为 ，取 ，可得函数 的一个周期为 ，选项A正确；函数的对称轴为 ，即： ，取 可得y=f(x)的图像关于直线x=对称，选项B正确； ，函数的零点满足 ，即 ，取 可得f(x+)的一个零点为x=，选项C正确；当 时， ，函数在该区间内不单调，选项D错误故选D例例（2017天津，理7）设函数，其中，若，且的最小正周期大于，则A， B， C， D，【答案】 【解析】由题意，其中，又，由得，故选A例（2017浙江）已知函数f（x）=sin2xcos2x sin x cos x（xR）（）

3、求的值（）求的最小正周期及单调递增区间【答案】（）2；（）最小正周期为，单调递增区间为【解析】试题分析：（）由函数概念，分别计算可得；（）化简函数关系式得，结合可得周期，利用正弦函数的性质求函数的单调递增区间试题解析：（）由，得（）由与得的最小正周期是由正弦函数的性质得解得的单调递增区间是例3（2016高考北京文数）已知函数的最小正周期为（1）求的值；（2）求的单调递增区间【答案】（）；（）（）【分析】（）运用两角和的正弦公式对化简整理，由周期公式求的值；（）根据函数的单调递增区间对应求解即可【解析】（I），的最小正周期依题意，解得（II）由（I）知函数的单调递增区间为（）由，得的单调递增区间

4、为（）【命题意图】本题考查两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性考查学生分析问题解决问题能力、转化与化归能力【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等【难点中心】解答此类问题的关键是能综合运用三角公式化为形式，再进一步讨论相关性质(1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为yAsin(x)或yAcos( x)的形式，则最小正周期为；奇偶性的判断关键是解析式是否为yAsin x或yAcos xb的形式(2)求f(x)Asin(x)(0)的对称轴，只需令，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令xk(kZ)即可例4（2016高考浙江理数】设函数，则的

5、最小正周期 （ ）A与b有关，且与c有关 B与b有关，但与c无关C与b无关，且与c无关 D与b无关，但与c有关【答案】B【解析】试题分析：，其中当时，此时周期是；当时，周期为，而不影响周期故选B例5（2016高考山东理数】函数f（x）=（sin x+cos x）（cos x sin x）的最小正周期是 （ ）（A） （B） （C） （D）2【答案】B【解析】，故最小正周期，故选BIII理论基础解题原理考点一 三角函数的单调性在上单调递增，在上单调递减，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，当时，；当时，；在上单调递增考点二 三角函数的周期性函数的最小正周期为，的最小正周期为考点三 三角函

6、数的奇偶性对于函数，当且仅当时是奇函数，当且仅当时是偶函数；对于函数，当且仅当时是奇函数，当且仅当时是偶函数考点四 三角函数的对称性的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴是直线，其对称中心是；的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴是直线，其对称中心是；的图像不是轴对称图形，是中心对称图形，其对称中心是IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等【技能方法】（1）讨论的单调性可用整体思想：把视为一个整体，所列不等式的方向与的单调区间对应的不等式方向相同（反）（2）利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是

7、否同属于这一函数的同一单调区间内，若不属于，可先化至同一单调区间内；若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法（例如与0比较、与1比较等）求解（3）函数的最小正周期为，的最小正周期为（4）三角函数中奇函数一般可化为或，而偶函数一般可化为的形式（5）的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，图像关于直线对称的充要条件是，图像关于点对称的充要条件是【易错指导】（1）对于三角函数求其单调区间，要注意的正负，若为负，则需先化正，化为的形式，若求其单调递增区间，应把放在正弦函数的单调减区间内；若求其单调递减区间，应把放在正弦函数的单调增区间内（2）解答时不要遗漏“”，另外三角函数存在多个单调区

8、间时不能用“”联结（3）必须先将解析式化为的形式，再分别利用公式求周期，注意一定要加绝对值V举一反三触类旁通考向1 三角函数的单调性（单调区间）例1（2018河南名校联考）已知，则（ ）A B C D【答案】D【解析】 ，小于1的数越平方越小， ，故选D例2函数的单调增区间别为 【答案】例3函数（）为增函数的区间是 【答案】【解析】，只要求函数的减区间即可解可得，即，故答案为【易错点晴】本题以函数的表达式的单调区间为背景，考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质解答时先从题设中的条件增函数入手，对函数进行变形，将其变形为一般式，将其转化为求函数的减区间最后将其转化为正弦函数的单调递减区间的

9、求法通过解不等式使得本题获解 例4（2018河北石家庄）已知（）当时，求的值域；（）若函数的图象向右平移个单位后，所得图象恰与函数的图象关于直线，求函数的单调递增区间【答案】(1) ；(2) 试题解析：（） ，由，得，即在上的值域是（）函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则，设点是图象上任意一点，则点关于直线对称的点在的图象上， 当，即时， 单调递增，的单调递增区间是 点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特

10、征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等例5（2017吉林模拟）已知ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足 （1） 求角A的大小；（2）已知函数的最小正周期为，求的单调减区间【答案】(1) A=；（2）k+ ，k+ （kZ）试题解析：(1)可得：A= （2）由题意，= 2，f（x）=sin（2x+），由2k+ 2x+2k+，（kZ），可得：k+ xk+ ，（kZ），f（x）的减区间为：k+ ，k+ （kZ）考向2 三角函数的奇偶性例6（2018浙江温州）已知函数，则下列命题错误的是（ ）A函数是奇函数，且在上是减函数B函数是奇函数，且在上是增函数C函数是偶函数，且在上是减

11、函数D函数是偶函数，且在上是增函数【答案】A例7已知函数为常数，且），若函数是偶函数，则的值为 【命题意图】考查三角函数的图像和性质及数形结合的思想，以及分析问题解决问题的能力【答案】0【解析】由题设可知，函数的图像关于直线对称，借助对称性及演绎推理的思想可知，即考向3 三角函数的周期性例8（2018辽宁鞍山）函数的周期为（ ）A B C D【答案】C【解析】由，函数的周期，故选C例9（2018湖北武汉起点调研）函数的最小正周期为（ ）A B C D【答案】C例10（2018江苏淮安）已知则函数的周期为_【答案】【解析】函数，由周期公式可得函数的周期为 ，故答案为例11（2018上海模拟）设函

12、数，其中，若，且的最小正周期大于，则_【答案】【解析】 由的最小正周期大于，得，又，得，则，由，取，得，例12（2017淮北一中后一卷）设函数（1）若，求的最大值及相应的的取值范围；（2）若是的一个零点，且，求的值和的最小正周期【答案】（1）的最大值为，相应x的取值集合为；（2）最小正周期是（2）题意说明，从而， ，由可得结论试题解析：（1）当时， ，的最大值为，相应x的取值集合为（2），整理得，又，最小正周期是考向4 三角函数的对称性例13（2018河南林州10月调研）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，所得函数图象的一个对称中心为（ ）A B C D【答案】D例1

13、4（2018河南漯河）若把函数的图象向右平移个单位后所得图象关于坐标原点对称，则的最小值为（ ）A B C D【答案】A【解析】函数的图象向右平移个单位后所得函数为 图象关于坐标原点对称，则，-的最小值为，故选A例15（2018辽宁凌源）将函数的图象向平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列关于函数的说法错误的是（ ）A最小正周期为 B初相为C图象关于直线对称 D图象关于点对称【答案】D例16（2018四川成都）已知函数的最大值为3， 的图像与轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则的值为（ ）A4030 B4032 C4033 D4035【答案

14、】C【解析】 的最大值为 ， ，可求 ，函数图象相邻两条对称轴间的距离为 ，可得函数的最小正周期为 ，即 ，解得 ，又 的图象与 轴的交点坐标为 ，可得 ，解得 ，函数的解析式为 ， ，故选C例17（2018江苏横林）若函数对任意的实数且则=_ 【答案】 或例18（2018河南南阳）函数的图像为，如下结论中正确的是_（写出所有正确结论的编号）图象关于直线对称；图象关于点对称；在区间内是增函数；将的图象向右平移个单位可得到图像【答案】【解析】对于，令，求得f(x)=1，为函数的最小值，故它的图象C关于直线对称故正确令x= ，求得f(x)=0，可得它的图象C关于点(，0)对称，故正确令，可得，故函数f(x)在区间是增函数，故正确，由的图象向右平移个单位长度可以得到故排除，故答案