高考数学 黄金100题系列 第33题 三角函数的单调性奇偶性对称性与周期性 理.docx

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高考数学黄金100题系列第33题三角函数的单调性奇偶性对称性与周期性理

2019年高考数学黄金100题系列第33题三角函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性理

例2．（求函数的单调递增区间．

【解析】设，函数的单调递增区间为．由，得．易知．

【试题来源】人教版A版必修4第39页例5．

【母题评析】本题考查三角函数单调区间的求法，是历年来高考的一个常考点．

【思路方法】限定区间上三角函数单调区间的求法：

先用整体思想求

的单调区间，再与已知区间求交集即可．

II．考场精彩·真题回放

例．（2017课标3理6）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是

A．f（x）的一个周期为−2π

B．y=f（x）的图像关于直线x=对称

C．f（x+π）的一个零点为x=

D．f（x）在（，π）单调递减

【答案】D

【解析】

试题分析：

函数的最小正周期为，则函数的周期为，取，可得函数的一个周期为，选项A正确；

函数的对称轴为，即：

，取可得y=f（x）的图像关于直线x=对称，选项B正确；

，函数的零点满足，即，取可得f（x+π）的一个零点为x=，选项C正确；

当时，，函数在该区间内不单调，选项D错误．故选D．

例例．（2017天津，理7）设函数，，其中，．若，，且的最小正周期大于，则

A．，B．，

C．，D．，

【答案】

【解析】由题意，其中，∴，又，∴，∴，，由得，故选A．

例．（2017浙江）已知函数f（x）=sin2x–cos2x–sinxcosx（xR）．

（Ⅰ）求的值．

（Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间．

【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为，单调递增区间为．

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）由函数概念，分别计算可得；（Ⅱ）化简函数关系式得，结合可得周期，利用正弦函数的性质求函数的单调递增区间．

试题解析：

（Ⅰ）由，，

得

（Ⅱ）由与得

∴的最小正周期是

由正弦函数的性质得

解得

∴的单调递增区间是．

例3．（2016高考北京文数）已知函数的最小正周期为．

（1）求的值；

（2）求的单调递增区间．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（）．

【分析】（Ⅰ）运用两角和的正弦公式对化简整理，由周期公式求的值；（Ⅱ）根据函数的单调递增区间对应求解即可．

【解析】（I）∵

，∴的最小正周期．依题意，，解得．

（II）由（I）知．函数的单调递增区间为（）．

由，得．

∴的单调递增区间为（）．

【命题意图】本题考查两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性．考查学生分析问题解决问题能力、转化与化归能力．

【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等．

【难点中心】解答此类问题的关键是能综合运用三角公式化为形式，再进一步讨论相关性质．

（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）的形式，则最小正周期为；奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝Asinωx或y＝Acosωx＋b的形式．

（2）求f（x）＝Asin（ωx＋φ）（ω≠0）的对称轴，只需令，求x；求f（x）的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ（k∈Z）即可．

例4．（2016高考浙江理数】设函数，则的最小正周期（）

A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关

C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关

【答案】B

【解析】试题分析：

，其中当时，，此时周期是；当时，周期为，而不影响周期．故选B．

例5．（2016高考山东理数】函数f（x）=（sinx+cosx）（cosx–sinx）的最小正周期是（）

（A）（B）π（C）（D）2π

【答案】B

【解析】，故最小正周期，故选B．

III．理论基础·解题原理

考点一三角函数的单调性

在上单调递增，在上单调递减，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，当时，；当时，；在上单调递增．

考点二三角函数的周期性

函数的最小正周期为，的最小正周期为．

考点三三角函数的奇偶性

对于函数，当且仅当时是奇函数，当且仅当时是偶函数；对于函数，当且仅当时是奇函数，当且仅当时是偶函数．

考点四三角函数的对称性

的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴是直线，其对称中心是；的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴是直线，其对称中心是；的图像不是轴对称图形，是中心对称图形，其对称中心是．

IV．题型攻略·深度挖掘

【考试方向】

这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等．

【技能方法】

（1）讨论的单调性可用整体思想：

把视为一个整体，所列不等式的方向与的单调区间对应的不等式方向相同（反）．

（2）利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，若不属于，可先化至同一单调区间内；若不是同名三角函数，则应考虑化为同名三角函数或用差值法（例如与0比较、与1比较等）求解．

（3）函数的最小正周期为，的最小正周期为．

（4）三角函数中奇函数一般可化为或，而偶函数一般可化为的形式．

（5）的图像既是轴对称图形，又是中心对称图形，图像关于直线对称的充要条件是，图像关于点对称的充要条件是．

【易错指导】

（1）对于三角函数求其单调区间，要注意的正负，若为负，则需先化正，化为的形式，若求其单调递增区间，应把放在正弦函数的单调减区间内；若求其单调递减区间，应把放在正弦函数的单调增区间内．

（2）解答时不要遗漏“”，另外三角函数存在多个单调区间时不能用“”联结．

（3）必须先将解析式化为的形式，再分别利用公式求周期，注意一定要加绝对值．

V．举一反三·触类旁通

考向1三角函数的单调性（单调区间）

例1．（2018河南名校联考）已知，，，，则（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】，小于1的数越平方越小，

，故选D．

例2．函数的单调增区间别为．

【答案】．

例3．函数（）为增函数的区间是．

【答案】

【解析】∵，∴只要求函数的减区间即可．解可得，即，∴，故答案为．

【易错点晴】本题以函数的表达式的单调区间为背景，考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质．解答时先从题设中的条件增函数入手，对函数进行变形，将其变形为一般式，将其转化为求函数的减区间．最后将其转化为正弦函数的单调递减区间的求法．通过解不等式使得本题获解．

例4．（2018河北石家庄）已知．

（Ⅰ）当时，求的值域；

（Ⅱ）若函数的图象向右平移个单位后，所得图象恰与函数的图象关于直线，求函数的单调递增区间．

【答案】

（1）；

（2）．

试题解析：

（Ⅰ）

，

由，得，

∴，

即在上的值域是．

（Ⅱ）函数的图象向右平移个单位后得到的图象，

则，

设点是图象上任意一点，

则点关于直线对称的点在的图象上，

∴．

∴当，即时，单调递增，∴的单调递增区间是．

点睛：

三角函数式的化简要遵循“三看”原则:

一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等．

例5．（2017吉林模拟）已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足

（1）求角A的大小；

（2）已知函数的最小正周期为，求的单调减区间．

【答案】

（1）A=；

（2）[kπ+，kπ+]（k∈Z）

试题解析：

（1）可得：

A=

（2）由题意，ω=2，∴f（x）=sin（2x+），∴由2kπ+≤2x+≤2kπ+，（k∈Z），

可得：

kπ+≤x≤kπ+，（k∈Z），

∴f（x）的减区间为：

[kπ+，kπ+]（k∈Z）

考向2三角函数的奇偶性

例6．（2018浙江温州）已知函数，则下列命题错误的是（）

A．函数是奇函数，且在上是减函数

B．函数是奇函数，且在上是增函数

C．函数是偶函数，且在上是减函数

D．函数是偶函数，且在上是增函数

【答案】A

例7．已知函数为常数，且），若函数是偶函数，则的值为．

【命题意图】考查三角函数的图像和性质及数形结合的思想，以及分析问题解决问题的能力．

【答案】0．

【解析】由题设可知，函数的图像关于直线对称，借助对称性及演绎推理的思想可知，即．∴．

考向3三角函数的周期性

例8．（2018辽宁鞍山）函数的周期为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】由，∴函数的周期，故选C．

例9．（2018湖北武汉起点调研）函数的最小正周期为（）

A．B．C．D．

【答案】C

例10．（2018江苏淮安）已知则函数的周期为________．

【答案】

【解析】∵函数，由周期公式可得函数的周期为，故答案为．

例11．（2018上海模拟）设函数，其中，若，且的最小正周期大于，则__________．

【答案】

【解析】由的最小正周期大于，得，

又，得，∴，则，

∴，

由，∴，

取，得，∴．

例12．（2017淮北一中后一卷）设函数．

（1）若，求的最大值及相应的的取值范围；

（2）若是的一个零点，且，求的值和的最小正周期．

【答案】

（1）的最大值为，相应x的取值集合为；

（2）最小正周期是π．

（2）题意说明，从而，，由可得结论．

试题解析：

．

（1）当时，，

∴的最大值为，相应x的取值集合为．

（2）∵，整理得，又，∴

最小正周期是π．

考向4三角函数的对称性

例13．（2018河南林州10月调研）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，所得函数图象的一个对称中心为（）

A．B．C．D．

【答案】D

例14．（2018河南漯河）若把函数的图象向右平移个单位后所得图象关于坐标原点对称，则的最小值为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】函数的图象向右平移个单位后所得函数为图象关于坐标原点对称，则，-

∴的最小值为，故选A．

例15．（2018辽宁凌源）将函数的图象向平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列关于函数的说法错误的是（）

A．最小正周期为B．初相为

C．图象关于直线对称D．图象关于点对称

【答案】D

例16．（2018四川成都）已知函数的最大值为3，的图像与轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则的值为（）

A．4030B．4032C．4033D．4035

【答案】C

【解析】的最大值为，，可求，∵函数图象相邻两条对称轴间的距离为，可得函数的最小正周期为，即，∴解得，又的图象与轴的交点坐标为，可得，解得，∴函数的解析式为，，故选C．

例17．（2018江苏横林）若函数对任意的实数且则=_______．

【答案】或

例18．（2018河南南阳）函数的图像为，如下结论中正确的是__________（写出所有正确结论的编号）．

①图象关于直线对称；

②图象关于点对称；

③在区间内是增函数；

④将的图象向右平移个单位可得到图像．

【答案】①②③

【解析】对于，

令，求得f（x）=−1，为函数的最小值，故它的图象C关于直线对称故①正确．

令x=，求得f（x）=0，可得它的图象C关于点（，0）对称，故②正确．

令，可得，故函数f（x）在区间是增函数，故③正确，

由的图象向右平移个单位长度可以得到故排除④，

故答案