浅谈一道联赛题的证明.docx

1、浅谈一道联赛题的证明浅谈一道联赛题的证明2005-04-19 海口实验中学 陈建花浅谈一道联赛题的证明海口实验中学 陈建花 2004年全国数学联赛第二试第二题：已知，如图1，梯形ABCD中，ADBC，以两腰AB、DC为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF，连接EF，设线段EF的中点为M。求证：MAMD。此题与一道旧题密切相关，该题是：已知，如图2，ABC中，AD是BC边上的高，以两边AB、AC为一边分别向外作正方形ABQF、ACPE，连接EF，交AD的反向延长线于G，求证：G为EF的中点。简证如下：证：过E作EMDG于M，过F作FNDG于N，则FNME，EMAADC90，又1290，13；

2、又ACAE，ADCEMA， MEAD；同理可证：FNAADB, FNAD； MEFN，四边形FMEN是平行四边形， EF、MN相互平分，G为EF的中点。将两题对照，不难发现，表述与图形都极为相似。联赛题实质上是由上题引申出来的，故可以把上题的结论迁移到联赛题的解决之中，得到一种证法！证法一：如图3，过A分别作AP DF, ASCD交BC于S，ATBC于T,交PE于X，由ADBC知，AS=CD，则AP相当于以ABS的一边AS向外所作正方形的一边，由上题知ATBS时，X为PE的中点，且AXAD，类似地：过D分别作DQ AE,DOAB交BC于O,DNBC于N,交QF于Y,则Y为QF的中点，YDAD。

3、 M为EF的中点， MX PF，MY EQ； EQ PF AD，MXMY且MXMY；M、X、Y三点共线。过M作MIAD于I，则XAMIYD，M为XY的中点， I为AD中点，MAMD 另外，因为要证明的是线段相等，所以激活了记忆中更多的知识点，从而揭示出更多的图形特征和数学关系，得到以下的妙解！利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，我们可以有下述不同的证法。证法二：如图4，延长AM至N，使AMMN，连NE、ND、NF，过A作APCD，交BC于P。 M为EF中点，又为AN的中点， 四边形AENF是平行四边形，AE NF；又四边形CDFH为正方形，DCFH， APFH；EAPNFH 又EAB

4、DFH90， BAPDFN；又ADBC， APDC；又ABAE、DCDF， ABNF、APDF；又BAPDFN，BAPNFD， NDFAPB；又APBDCB，DCBNDF；又DCBADC180，NDFADC180， ADN360（NDFADCFPC）360（18090）90 ADN为直角三角形；又M为AN中点，MD ANMA。类似地，可以通过延长DM并两倍之来作辅助线，或者分别延长AM、DM并两倍之证明。当然，我们还可以直接构造直角三角形来证明。证法三：如图5，过D作DPBC于P、交EF于L，延长AM交PD于T，过A作AQBC于Q、交EF于N，则DPAQ，过F作FRDP于R，过E作ESAQ于S

5、。 ADBC，AQDP； 1390、1290， 23； ABAE，ABQEAS，AQES；同理可证：DPCFRD，DPFR，ESFR；又ESFR，45，ESNFRL，ENLF； MEMF，MNML； SQPL， ，AMTM； ADT为直角三角形，DM ATAM。本证法同证法二类似，都是利用直角三角形的性质证明，但两者各有千秋，证法二是先倍长线段，后证明所在三角形为直角三角形；证法三是先构造直角三角形，后证明M为斜边的中点。先后不同，证法有异，结论一致，异曲同工！进一步研究原问题，发现所求证的两线段MA、MD是共顶点的！我们可以通过证明MAD是等腰三角形而得到结论。证法四：如图6，分别过E、F作

6、AD的垂线，交AD的反向延长线于E1、F1，过A、D分别作BC的垂线交BC于A1、D1，过M作MOAD于O，则E E1 FF1 OM，AA1 DD1； M为EF中点， O为E1F1中点、即OE1 OF1；又ADBC，AA1 DD1；在AEE1和ABA1中，四边形ABGE为正方形，ABAE，EE1AAA1B90； EAE1 E1AB90， E1AB B AA190， EAE1 BAA1， AEE1 ABA1， AE1 AA1。同理：DF1 DD1， AE1 DF1， OE1 AE1 OF1 DF1，即：OAOD；又MOAD，MAD为等腰三角形，AMDM。本证法通过平行线分线段成比例的性质定理，并

7、巧妙地构造全等三角形证明线段相等，然后利用等腰三角形三线合一的性质来证明。当然我们还可以有其他方法构造全等三角形。证法五：如图7，过点A作AD的垂线，交BC于A1，过E作EPAD、交A1A于的延长线于P；过点D作AD的垂线交BC于D1，过F作FQAD、交D1D的延长线于Q；则PEQF。 EAB90，1390；又1290，23；又AA1BAPE90，AE=AB， BA1AAPE，A A1PE；同理可证：DD1QF； ADBC，AA1DD1，PEQF， 四边形PEQF为平行四边形； M为EF中点，M为PQ中点。过M作MOAD于O， AA1BC、DD1BC、ADBC， AA1AD、DD1AD，PAM

8、ODQ； PMQM，AOOD，MAMD。本证法综合利用平行四边形性质、梯形中位线性质和等腰三角形性质证明。同证法四类似，所构造的全等三角形都是直角三角形，可不可以构造非直角三角形呢？证法六：如图8，过A作AA1BC于A1、交EF于Q，过D作DD1BC于D1、交EF于I，过M作MOAD于O。 ADBC，AA1DD1 且QAOMID；在BC上截取BWAQ，在BC上截取CJDI， BAE90 1BA A190； 2BAA190，12；又ABAE，EAQABW，EQAW、AWBAQE；同理可证：DFICDJ，FIDJ、CJDDIF； AQEDIM180DIF，AWB180CJDDJB，AWDJ； AD

9、BC，AW=DJ，EQFI；又MEMF，MQMI； AOOD，MAMD。本证法通过截取相等线段构造全等三角形，运用平行线性质和等腰三角形性质证明。上述三种证法虽然都是通过证明MAD为等腰三角形而获证，但由于全等三角形和直角梯形的构造方式不同，证法各异。一般地，求证共顶点的两线段相等有三种方法：一是利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质证明；二是证明它们所在三角形第三边上的中线和垂线重合，即证明三角形是等腰三角形；三是将两边分别置于不同三角形中，证明两三角形全等。以上六种证明方法都是直接证法，我们还可以用间接证法。证明七：如图9，取AD中点O，过点E、O分别作AD、AE的平行线，两线交于点

10、P，过点F、O分别作AD、DF的平行线，两线交于Q，连PQ。过点O作AD的垂线分别交BC、PQ于L、K，易知KAKD。过点P、Q分别作KL的垂线，垂足分别为P1，Q1，过P作ORAB交BC于R，过O作OSDC于BC于S，则ORAB、OSDC。 12（均为3的余角）、RLOOP1P90、ORPO， ROLOPP1， PP1 OL；同理：QQ1OOLS，QQ1 OL； PP1 QQ1。又PP1 KL、QQ1 KL，PP1 QQ1， 可知：PP1KQQ1K，PKQK、即K为PQ中点；又PE AO、QF OD、AOOD，PE QF， 四边形PEQF为平行四边形，PQ、EF互相平分， K为EF中点，K与

11、M重合；故：MAMD。本证法运用同一法,先构造满足结论的点K，然后利用平行四边形对角线互相平分的性质证明K与M重合。 浅谈一道联赛题的证明海口实验中学 陈建花2004年全国数学联赛第二试第二题：已知，如图1，梯形ABCD中，ADBC，以两腰AB、DC为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF，连接EF，设线段EF的中点为M。求证：MAMD。此题与一道旧题密切相关，该题是：已知，如图2，ABC中，AD是BC边上的高，以两边AB、AC为一边分别向外作正方形ABQF、ACPE，连接EF，交AD的反向延长线于G，求证：G为EF的中点。简证如下：证：过E作EMDG于M，过F作FNDG于N，则FNME，E

12、MAADC90，又1290，13；又ACAE，ADCEMA，MEAD；同理可证：FNAADB, FNAD；MEFN，四边形FMEN是平行四边形，EF、MN相互平分，G为EF的中点。将两题对照，不难发现，表述与图形都极为相似。联赛题实质上是由上题引申出来的，故可以把上题的结论迁移到联赛题的解决之中，得到一种证法！证法一：如图3，过A分别作AP DF, ASCD交BC于S，ATBC于T,交PE于X，由ADBC知，AS=CD，则AP相当于以ABS的一边AS向外所作正方形的一边，由上题知ATBS时，X为PE的中点，且AXAD，类似地：过D分别作DQ AE,DOAB交BC于O,DNBC于N,交QF于Y,

13、则Y为QF的中点，YDAD。M为EF的中点， MX PF，MY EQ；EQ PF AD，MXMY且MXMY；M、X、Y三点共线。过M作MIAD于I，则XAMIYD，M为XY的中点，I为AD中点，MAMD另外，因为要证明的是线段相等，所以激活了记忆中更多的知识点，从而揭示出更多的图形特征和数学关系，得到以下的妙解！利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，我们可以有下述不同的证法。证法二：如图4，延长AM至N，使AMMN，连NE、ND、NF，过A作APCD，交BC于P。M为EF中点，又为AN的中点，四边形AENF是平行四边形，AE NF；又四边形CDFH为正方形，DCFH，APFH；EAPN

14、FH又EABDFH90，BAPDFN；又ADBC， APDC；又ABAE、DCDF，ABNF、APDF；又BAPDFN，BAPNFD，NDFAPB；又APBDCB，DCBNDF；又DCBADC180，NDFADC180，ADN360（NDFADCFPC）360（18090）90ADN为直角三角形；又M为AN中点，MD ANMA。类似地，可以通过延长DM并两倍之来作辅助线，或者分别延长AM、DM并两倍之证明。当然，我们还可以直接构造直角三角形来证明。证法三：如图5，过D作DPBC于P、交EF于L，延长AM交PD于T，过A作AQBC于Q、交EF于N，则DPAQ，过F作FRDP于R，过E作ESAQ于

15、S。ADBC，AQDP；1390、1290，23；ABAE，ABQEAS，AQES；同理可证：DPCFRD，DPFR，ESFR；又ESFR，45，ESNFRL，ENLF；MEMF，MNML；SQPL， ，AMTM；ADT为直角三角形，DM ATAM。本证法同证法二类似，都是利用直角三角形的性质证明，但两者各有千秋，证法二是先倍长线段，后证明所在三角形为直角三角形；证法三是先构造直角三角形，后证明M为斜边的中点。先后不同，证法有异，结论一致，异曲同工！进一步研究原问题，发现所求证的两线段MA、MD是共顶点的！我们可以通过证明MAD是等腰三角形而得到结论。证法四：如图6，分别过E、F作AD的垂线，

16、交AD的反向延长线于E1、F1，过A、D分别作BC的垂线交BC于A1、D1，过M作MOAD于O，则E E1 FF1 OM，AA1 DD1；M为EF中点，O为E1F1中点、即OE1 OF1；又ADBC，AA1 DD1；在AEE1和ABA1中，四边形ABGE为正方形，ABAE，EE1AAA1B90；EAE1 E1AB90，E1AB B AA190，EAE1 BAA1，AEE1 ABA1， AE1 AA1。同理：DF1 DD1， AE1 DF1， OE1 AE1 OF1 DF1，即：OAOD；又MOAD，MAD为等腰三角形，AMDM。本证法通过平行线分线段成比例的性质定理，并巧妙地构造全等三角形证明

17、线段相等，然后利用等腰三角形三线合一的性质来证明。当然我们还可以有其他方法构造全等三角形。证法五：如图7，过点A作AD的垂线，交BC于A1，过E作EPAD、交A1A于的延长线于P；过点D作AD的垂线交BC于D1，过F作FQAD、交D1D的延长线于Q；则PEQF。EAB90，1390；又1290，23；又AA1BAPE90，AE=AB，BA1AAPE，A A1PE；同理可证：DD1QF；ADBC，AA1DD1，PEQF，四边形PEQF为平行四边形；M为EF中点，M为PQ中点。过M作MOAD于O，AA1BC、DD1BC、ADBC，AA1AD、DD1AD，PAMODQ；PMQM，AOOD，MAMD。

18、本证法综合利用平行四边形性质、梯形中位线性质和等腰三角形性质证明。同证法四类似，所构造的全等三角形都是直角三角形，可不可以构造非直角三角形呢？证法六：如图8，过A作AA1BC于A1、交EF于Q，过D作DD1BC于D1、交EF于I，过M作MOAD于O。ADBC，AA1DD1 且QAOMID；在BC上截取BWAQ，在BC上截取CJDI，BAE901BA A190；2BAA190，12；又ABAE，EAQABW，EQAW、AWBAQE；同理可证：DFICDJ，FIDJ、CJDDIF；AQEDIM180DIF，AWB180CJDDJB，AWDJ；ADBC，AW=DJ，EQFI；又MEMF，MQMI；A

19、OOD，MAMD。本证法通过截取相等线段构造全等三角形，运用平行线性质和等腰三角形性质证明。上述三种证法虽然都是通过证明MAD为等腰三角形而获证，但由于全等三角形和直角梯形的构造方式不同，证法各异。一般地，求证共顶点的两线段相等有三种方法：一是利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质证明；二是证明它们所在三角形第三边上的中线和垂线重合，即证明三角形是等腰三角形；三是将两边分别置于不同三角形中，证明两三角形全等。以上六种证明方法都是直接证法，我们还可以用间接证法。证明七：如图9，取AD中点O，过点E、O分别作AD、AE的平行线，两线交于点P，过点F、O分别作AD、DF的平行线，两线交于Q，连

20、PQ。过点O作AD的垂线分别交BC、PQ于L、K，易知KAKD。过点P、Q分别作KL的垂线，垂足分别为P1，Q1，过P作ORAB交BC于R，过O作OSDC于BC于S，则ORAB、OSDC。12（均为3的余角）、RLOOP1P90、ORPO，ROLOPP1， PP1 OL；同理：QQ1OOLS，QQ1 OL；PP1 QQ1。又PP1 KL、QQ1 KL，PP1 QQ1， 可知：PP1KQQ1K，PKQK、即K为PQ中点；又PE AO、QF OD、AOOD，PE QF，四边形PEQF为平行四边形，PQ、EF互相平分，K为EF中点，K与M重合；故：MAMD。本证法运用同一法,先构造满足结论的点K，然后利用平行四边形对角线互相平分的性质证明K与M重合。