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1、上海市小学四年级寒假奥数班讲义小学四年级奥数第一讲 图形的计数（一）第二讲 图形的计数（二）第三讲 速算与巧算（一）第四讲 速算与巧算（二）第五讲 和差倍问题 第六讲 还原问题 第七讲 年龄问题 第八讲 盈亏问题 第九讲 最佳方案第十讲 平均数问题 第十一讲 长方形、正方形的周长和面积 第十二讲 综合测试 第一讲 图形的计数（一）1知识点回顾1. 弄清图形中所包含的基本图形，图形的特征和变化规律。2. 从各图中所包含基本图形的个数多少出发，依次数出它们的个数，并求出它们的和。3. 被分成几个部分的图形，可以先从各部分的基本图形出发，数出所含图形的个数，再求各部分的总和，做到不重复、不遗漏，正确

2、地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯。2典型例题例1. 数出下面图中有多少条线段。思路导航：要正确解答这类问题，需要我们按照一定的顺序来数，做到不重复，不遗漏。从图中可以看出，从A点出发的不同线段有3条：AB、AC、AD；从B点出发的不同线段有2条：BC、BD；从C点出发的不同线段有1条：CD。因此，图中共有3+2+1=6条线段。数线段的规律：线段上有n个点（包括两个端点），n个点把这条线段共分成线段总数为：1+2+3+(n-1)。解：这条线段有4个点，所以线段的总和为1+2+3=6（条）答：图中的线段有6条。练一练：数出下列图中有多少条线段。（2） 例2.

3、数出下面图中有多少个角。思路导航：在AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即AOC2、C1OC3、C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即AOC3、C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即AOB），所以AOB内总共有角：432110（个）数角的规律：数角的方法和数线段的方法类似，图中共有几条射线组成若干个角，角的总个数为1+2+3+（n-1）。解：图中有5条射线，所以角的个数为：1+2+3+4=10（个）答：共有10个角。练一练：数出下列图中

4、有多少个角。例3. 数一数图中共有多少个三角形？ 思路导航：要数有多少个三角形，先看在AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在AMN与ABC中，三角形有同样的个数，所以在ABC中三角形个数总共：（4+3+2+1）2=30（个）.解：在ABC中共有三角形是：（4+3+2+1）3=103=30（个）答：在ABC中共有线段60条，共有三角形30个。练一练：数出下列图中有多少个三角形。三.巩固提高（一） 填空题。 1.下列图形各有几条线段 ( )条 ( )条 ( )条 2一条直线上共有50个点,可以数出( )条线段.3. （1）数角。

5、 （2）数三角形。 （2）数三角形。 （ ） （ ） （ ）（二）简答题.1. 数一数下图中共有多少个角？ 5. 数一数共有多少个三角形？四. 选做题数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？ 第二讲 图形的计数（二）例4.数一数下图中有多少个长方形？思路导航：图中的AB边上有线段1+2+3=6条，把AB边上的每一条线段作为长，AD边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有63=18个长方形。数长方形可以用下面的公式：长边上的线段短边上的线段=长方形的个数解：共有长方形：（3+2+1）（2+1）= 63= 18（个）答：共有长方形18个。练一练：数出下列图中有多少

6、个长方形。例5.数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形）思路导航：图中边长为1个长度单位的正方形有33=9个，边长为2个长度单位的正方形有22=4个，边长为3个长度单位的正方形有11=1个。所以图中的正方形总数为：1+4+9=14个。经进一步分析可以发现，由相同的nn个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1122nn。解： 正方形总数为：112233=14（个）答：共有正方形14个。练一练：数出下列各图中有多少个正方形。例6.数一数下图中有多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）思路导航：边长是1个长度单位的正方形有32=6个，边长是

7、2个长度单位的正方形有21=2个。所以，图中正方形的总数为：6+2=8个。经进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：mn+(m1)(n1)(m2)(n2)(mn1)n.练一练：数一数下列各图中分别有多少个正方形。四巩固提高（一）填空题。1数一数下图有（ ）个长方形.2下图共有( )个平行四边形.(二)简答题 (每小题10分)1 图共有几个正方形?2数一数下列各图中分别有多少个正方形。答 四. 选做题下图中有多少个长方形，其中有多少个是正方形？答的练习练习第三讲 速算与巧算（一）1知识点回顾1. 在加、减、乘、

8、除四则运算中，要想算得快，算得准，其实有些“小窍门”，首先要观察算式和数字的特点和规律，然后再选择合适的巧算方法，运用数的组成与分解，运用定律以及和、差、积、商的变化规律，把按常规较复杂的运算转化为比较简便、迅速的计算。2. 加、减法的巧算方法有：配对求和法、凑整法、分组法、借来法和加减法的运算性质、运算定律等；3. 常用的运算定律和运算性质用字母表示为：加法交换律：a + b = b + a加法结合律：a + b + c= a +( b + c)减法的性质：a - b c = a (b + c) a (bc)=a - b+c4. 速算与巧算是计算中的一个重要组成部分，掌握一些速算与巧算的方法

9、，有助于提高我们的计算能力和思维能力。二经典例题例1.用巧算的方法计算下列各式。 29+299+2999+29999 30-29+28-27+26-25+4-3+2-1 638-(456-62)思路导航：第小题计算中运用凑整的方法计算比较简便；第小题可以将相邻两个数看成一组，进行分组分解法来计算比较简便；第小题根据减法的性质去括号，再移位凑整。解：29+299+2999+29999 =30+300+3000+30000-4 =33326 30-29+28-27+26-25+4-3+2-1 =（30-29）（302） =15 638-(456-62) =638-456+62 =（638+62）-

10、456 =700-456 =244练一练：用巧算的方法计算下列各式。1 53+874+47-174+63 543-（138-57）-3622345+1256-3056-145 627-（185+127）例2.计算199999+199998+19999+19998+1999+1998+199+198+19+18思路导航：通过观察我们可以运用分组凑整法，十个加数可以分成五组，每组第一个加数补1，第二个加数补2都可以凑整。解：199999+199998+19999+19998+1999+1998+199+198+19+18 =2000002+200002+20002+2002+202-35 =400

11、000+40000+4000+400+40-15 =444440-15 =444425练一练：用巧算的方法计算下列各式。19+199+1999+19999 999998+99997+9996+995+94 三.巩固提高1. 347+362+453+338 2. 2345+6789+7655+3211 3. 9979+994+127 4. 1371289371 5. 846163+1154 6. 1643+296+72+4357+128 7. 48+326+5217+274 8. 1756（756+498） 9. 368+（13468） 10. 26638741126+337 4.选做题。1.

12、534+467334267+111 2. 1839（56161） 3. 15873346873654 4. 2380（167+380）333 5. 218+573136+1826473 6. 127+125+126+123+129+1227. 112+111110109+108+107106105+104+103102101+100+999897第四讲 速算与巧算（二）一知识点回顾 乘、除法的巧算方法有：凑整法、分组分解法、巧妙变形法、乘除法的运算定律和性质，以及商的变化规律，积的不变性质等。 常用的运算定律和运算性质用字母表示为：除法的性质：abc = a(bc) a（bc）= abc乘法交

13、换律：ab = ba乘法结合律：(ab)c = a( bc)乘法分配律：(a + b)c = ac + bc (a - b)c = ac - bc积不变性质：ab = (ac)(bc) =(ac)(bc)商不变性质：ab = (ac)(bc) = (ac)(bc)二经典例题例1.计算下列各式。 375480+625048 72002536 16125 230025思路导航：第小题是根据积的不变规律进行转化，变成能应用乘法分配律，计算起来比较简便；第小题根据在连除中交换除数的位置商不变的性质来解题；第小题因为125乘8得1000，运用分解法将16按照16=28分解；第小题，根据商的不变性质，将被

14、除数和除数同时扩大4倍，把除数变成整百的数来计算。解： 375480+625048=375480+625480=480（375+625）=4801000=480000 72002536= 72003625=20025=8 16125=2（8125）=21000=2000 230025=（23004）（254）=9200100=92练一练：用巧算的方法计算下列各式。 369123-1239-360123 12532250 98002549 1999+999999例2.计算1（23）（34）（45）（56）（67）（78）思路导航：通过观察我们发现括号里的除法算式不能得到一个整数的商，所以我们要根

15、据a（bc）= abc这一性质去掉括号进行计算，当一个数扩大若干倍，同时又缩小相同的倍数时结果不变。解：1（23）（34）（45）（56）（67）（78） =1233445566778 =128 =4练一练：计算9（98）（87）（76）（65）（54）（43） 三巩固提高用巧算的方法计算下列各式。1.7516 318125 20081252.199245 1001134 6754+67+4567 3.199+9999 21380+38790 123235-24235+2354.2800254 562397（281397） 7000（14050）5.20082006+20072005-2007

16、2006-20082005四选做题计算55555666667+44445666666-155555第五讲 和差倍问题一知识点回顾1. “和差问题”是已知大小两个数的和与两个数的差，求这两个数。和差问题基本公式：（和+差）2=大数 （和-差）2=小数 小数+差=大数 （或者：大数-差=小数） 和-小数=大数 （或者：和-大数=小数）2. “和倍问题”是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求这两个数。和倍问题基本公式：和（倍数+1）=小数大数=和-小数 （或者：大数=小数倍数）3.“差倍问题”就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。差倍问题基本公式：差（倍数-1）=小数二经典例题例1. 一

17、个学校四年级共有学生400名，其中男生比女生多40名，四年级男女生共有多少人？ 分析：女生： 多40人 400人男生： 从图中可以看出男生人数是较大的数，要比女生多40人，即男生与女生的人数差是40，且男生女生一共有400名。所以我们有较大的数（男生数）= （两数之和+两数之差）2 ，较小的数（女生人数）=（两数和-两数之差）2解：男生：（400+40）2=220（人） 女生：（400-40）2=180（人）答：男生有220人，女生有180人。练一练：希望小学四年级有学生42人，其中女生比男生少2人，那么这个班级男女生共有多少人？例2. 甲桶装有汽油是乙桶的三倍，甲桶又倒入20升，乙桶又倒入8

18、0升，这时乙桶汽油比甲桶多20升，求原来甲、乙两桶汽油各多少升？ 分析： 20升甲桶： 多20升 乙桶： 80升从图可以发现，如果乙桶只倒入40升，则甲、乙两桶汽油同样多，这说明原来甲桶比乙桶多80-20-20=40（升）汽油，且甲桶汽油是乙桶的3倍，则甲桶比乙桶汽油多两倍，这样就找到了2倍数对应量是40升，可以求出乙桶汽油（1倍数）。 解：乙桶原来汽油：（80-20-20）（3-1）=20（升） 甲桶原来汽油：203=60（升）答：甲桶原来有汽油60升， 乙桶原来有汽油20升。练一练：A桶装油470千克，B桶装油190千克，从A桶倒多少千克油给B桶才能使A桶油是B桶的2倍？例3.甲、乙、丙三

19、个数的和是183，乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三个数各是多少？ 1倍数分析： 丙数： 少4乙数： 183 2倍 多7丙数： 3倍我们发现甲、乙两个数都是以丙为标准的，所以丙就是1倍数，乙比丙的2倍少4，即：乙=丙2-4；甲是丙的3倍多7，即：甲=丙3+7；丙数为丙1，且甲、乙、丙三数之和为183，所以丙3+7+丙2-4+丙=183，从而丙的（3+2+1）倍对应为183+4-7。解：丙数=（183+4-7）（3+2+1）=30 乙数=302-4=56 甲数=303+7=97答：甲数是97，乙数是56，丙数是30。例4.哥哥与弟弟没人都有一些铅笔，如果哥哥给弟弟1支，两人就一样

20、多，如果弟弟给哥哥1支，哥哥就是弟弟的5倍，哥哥和弟弟原来各有多少支铅笔？分析：此题是两次转化的差倍应用题，根据“哥哥给弟弟1支，两人同样多”，说明哥哥比弟弟多1+1=2（支）；根据“弟弟给哥哥一支，哥哥就是弟弟的5倍”，我们可先知弟弟给哥哥一支，那哥哥比弟弟一共要2+1+1=4(支)，且此时哥哥是弟弟的五倍，即：哥哥比弟弟多4倍。解：弟弟的支数：（1+1+1+1）（5-1）+1=2（支） 哥哥的支数： 2+2=4（支） 答：哥哥有4支铅笔，弟弟有2支铅笔。练一练：两个书架原来共有图书300本，当第一个书架借走30本，第二个书架又购进40本后，第一个书架比第二个书架少20本，原来两个书架各有多

21、少本？四巩固提高1.长方形操场的长与宽相差80米，沿操场跑一周是400米，求这个操场的长与宽是多少米？2.丁丁在期中考试时，语文、数学两科平均分是91分，数学比语文多2分，那么丁丁的语文和数学各得了多少分？3. 师、徒两人共加工个零件，师傅加工的个数比徒弟的倍还多个，师傅和徒弟各加工零件多少个？4. 实验小学共有学生人，男生比女生倍少人.问：实验小学男学生和女学生各有多少人？5. 甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？6.有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍，两根绳子原来各长多少米？五.选做题1.

22、有大小两个桶原来水一样多，如果从小桶倒千克水到大桶，则大桶中水是小桶的倍，求原来大桶有水多少千克？ 2. 光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？3. 小勇家养的白兔和黑兔一共有22只，如果再买4只白兔，白兔和黑兔的只数一样多小勇家养的白兔和黑兔各多少只？第六讲 还原问题一. 知识点回顾有些问题，当顺着题目条件的叙述去寻找解法时，往往有一定的困难，但是，如果改变思考顺序，从问题叙述的最后结果出发，一步一步倒着思考，一步一步往回算，原来加的用减，减的用加，原来乘的用除，除的用乘，那么问题便容易解决。这种解题方法叫做还原法或逆推法，用还原法解题的问题叫做还原问题。

23、1. 从最后得数出发，采用与原题相反的逆运算，向前一步一步倒推。2. 原题加的用减，原题减的用加，原题是乘的用除，原题是除的用乘。3. 根据原题的叙述顺序，在下面列出数量关系式，再用逆运算的方法得出原数。二. 经典例题例1.有一个数，把它加上37，再乘以18，减去323，得到的结果用23 去除，商是16，余数是11这个数是多少？分析：我们把一个数经过的四步计算过程用下面的示意图来表示，看看能先算出哪个数呢？ 加上37 乘以18 减去323 除以23 ？ ？ ？ ？ 商16余11解：我们采用与原题相反的逆运算，向前一步一步倒推。原题加的用减，原题减的用加，原题是乘的用除，原题是除的用乘。从后面数

24、第一个问号：1623+11=368+11=379从后面数第二个问号：379+323=702从后面数第三个问号：70218=39从后面数第四个问号即所求的数：39-37=2答：这个数是2.练一练：一个数扩大3倍，再增加70，然后减少50，得80.这个数是多少？例2. 四年级的四个班共有学生168人，到了第二学期，学校把班级学生作如下调整：把四班的3名学生调到三班，三班的6名学生调到二班，二班又调6名学生到一班，一班再调2名学生到四班，这时四个班的学生同样多，求四个班原来各有学生多少人？分析：知道四个班最后学生一样多，且四个班的总人数是168，则可求出四个班最后学生人数：1684=42 四班的人数

25、 42名三班的人数 42名 二班的人数 42名一班的人数 42名所以：1684=42四班：42+3-2=43（人）三班：42-3+6=45（人）二班：42-6+6=42（人）一班：42-6+2=38（人）答：一班原有学生38人，二班原有学生42人，三班原有学生45人，四班原有学生43人。练一练：三个小朋友共有贺年卡75张，如果甲给乙4张，乙又给丙3张，那么三个人的贺年卡刚好相等，求甲、乙、丙三个小朋友原来各有贺年卡多少张？例3. 一根铁丝，第一次用去它的一半少一米，第二次用去剩下的一半多1米，最后剩5米，求这根铁丝原有多长？分析：第一次 第二次 5米 1米 1米 总数的一半 剩下的一半 ？从上

26、图分析可知： 剩下的一半：5+1=6（米） 那第一次用完一共剩下： 62=12（米）总数的一半：12-1=11（米）总长：112=22（米）即：(5+1)2-12=22(米)答：这根铁丝原来长22米。练一练：篮子里有鸡蛋，第一天拿走一半多两个，第二天拿走余下的一半多4个，这时刚好拿完，求篮子里原来有多少个鸡蛋？ 四.巩固提高1.某数加上11，减去12，乘以13，除以14，其结果等于26，这个数是多少？2.某数加上6，乘以6，减去6，其结果等于36，求这个数。3.小乐爷爷今年的年龄数减去15后，除以4，再减去6之后，乘以10，恰好是100。问：小乐爷爷今年多少岁？4.粮库内有一批面粉，第一次运出

27、总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半多7吨，还剩4吨。问：粮库里原有面粉多少吨？5.有一筐梨，甲取一半又一个，乙取余下的一半又一个，丙再取余下的一半又一个，这时筐里只剩下一个梨。这筐梨共值8.80元，那么每个梨值多少钱？6.某人去银行取款，第1次取了存款的一半还多5元，第二次取了余下的一半还多10元，这时存折上还剩125元。问：此人原有存款多少元？五.选做题1.甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组拥有相等数目的图书。问：甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？2. 一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还

28、剩7米，这捆电线原有多少米？第七讲 年龄问题一. 知识点回顾1. 两个人的年龄差总是不变的。2. 两个人的年龄随着时间、年份的变化而增加（减少）同一个自然数。3. 两个人年龄的倍数关系随着年龄的变化而变化，一般是随着年龄的增加倍数关系反而变小。4. 年龄问题一般可以转化为和倍、差倍、和差问题解答。大年龄=（两人年龄和+两人年龄差）2小年龄=（两人年龄和-两人年龄差）2知道今年大小年龄各是多少几年前，大年龄是小年龄的几倍年数=小年龄-两人的年龄差（倍数-1）几年后，大年龄是小年龄的几倍年数=两人年龄差（倍数-1）-小年龄二. 经典例题例1. 儿子今年16岁，父亲今年48岁，几年前父亲的年龄是儿子年龄的9倍？ 分析：要抓住父亲与儿子年龄差不变，以此来解决问题。 可知父亲与儿子的年龄差：48-16=32（岁）当父亲的年龄是儿子的9倍时， 那时儿子的年龄是 32（9-1）=4（岁）今年儿子16岁，那年儿子4岁，所以16-4=12（年）答：12年前父亲的年龄是儿子的9倍。练一练：父亲今年47岁，儿子21岁，多少年前父亲的年龄是儿子年龄的3倍？例2. 5年前，爷爷的年龄比孙子大60岁，今年祖孙年龄和是100岁，求爷爷今年是多少岁？分析：5年前爷爷年龄比孙