上海市小学四年级寒假奥数班讲义.docx
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上海市小学四年级寒假奥数班讲义
小学四年级奥数
第一讲图形的计数
（一）
第二讲图形的计数
（二）
第三讲速算与巧算
（一）
第四讲速算与巧算
（二）
第五讲和差倍问题
第六讲还原问题
第七讲年龄问题
第八讲盈亏问题
第九讲最佳方案
第十讲平均数问题
第十一讲长方形、正方形的周长和面积
第十二讲综合测试
第一讲图形的计数
（一）
1．知识点回顾
1.弄清图形中所包含的基本图形，图形的特征和变化规律。
2.从各图中所包含基本图形的个数多少出发，依次数出它们的个数，并求出它们的和。
3.被分成几个部分的图形，可以先从各部分的基本图形出发，数出所含图形的个数，再求各部分的总和，做到不重复、不遗漏，正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯。
2．典型例题
例1.数出下面图中有多少条线段。
思路导航：
要正确解答这类问题，需要我们按照一定的顺序来数，做到不重复，不遗漏。
从图中可以看出，从A点出发的不同线段有3条：
AB、AC、AD；从B点出发的不同线段有2条：
BC、BD；从C点出发的不同线段有1条：
CD。
因此，图中共有3+2+1=6条线段。
数线段的规律：
线段上有n个点（包括两个端点），n个点把这条线段共分成线段总数为：
1+2+3+…+（n-1）。
解：
这条线段有4个点，所以线段的总和为1+2+3=6（条）
答：
图中的线段有6条。
练一练：
数出下列图中有多少条线段。
（2）
例2.数出下面图中有多少个角。
思路导航：
在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？
首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：
4＋3＋2＋1＝10（个）
数角的规律：
数角的方法和数线段的方法类似，图中共有几条射线组成若干个角，角的总个数为1+2+3+…+（n-1）。
解：
图中有5条射线，所以角的个数为：
1+2+3+4=10（个）
答：
共有10个角。
练一练：
数出下列图中有多少个角。
例3.数一数图中共有多少个三角形？
思路导航：
要数有多少个三角形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本小三角形有4个.所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三角形有同样的个数，所以在△ABC中三角形个数总共：
（4+3+2+1）×2=30（个）.
解：
在△ABC中共有三角形是：
（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）
答：
在△ABC中共有线段60条，共有三角形30个。
练一练：
数出下列图中有多少个三角形。
三.巩固提高
（一）填空题。
1.下列图形各有几条线段
（）条（）条（）条
2．一条直线上共有50个点,可以数出（）条线段.
3.
（1）数角。
（2）数三角形。
（2）数三角形。
（）（）（）
（二）简答题.
1.数一数下图中共有多少个角？
5.数一数共有多少个三角形？
四.选做题
数一数共有多少条线段？
共有多少个三角形？
第二讲图形的计数
（二）
例4.数一数下图中有多少个长方形？
思路导航：
图中的AB边上有线段1+2+3=6条，把AB边上的每一条线段作为长，AD边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有6×3=18个长方形。
数长方形可以用下面的公式：
长边上的线段×短边上的线段=长方形的个数
解：
共有长方形：
（3+2+1）×（2+1）=6×3=18（个）
答：
共有长方形18个。
练一练：
数出下列图中有多少个长方形。
例
5.数一数，下图中有多少个正方形？
（每个小方格是边长为1的正方形）
思路导航：
图中边长为1个长度单位的正方形有3×3=9个，边长为2个长度单位的正方形有2×2=4个，边长为3个长度单位的正方形有1×1=1个。
所以图中的正方形总数为：
1+4+9=14个。
经进一步分析可以发现，由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：
1×1＋2×2＋…＋n×n。
解：
正方形总数为：
1×1＋2×2＋3×3=14（个）
答：
共有正方形14个。
练一练：
数出下列各图中有多少个正方形。
例
6.数一数下图中有多少个正方形？
（其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形）
思路导航：
边长是1个长度单位的正方形有3×2=6个，边长是2个长度单位的正方形有2×1=2个。
所以，图中正方形的总数为：
6+2=8个。
经进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：
mn+（m－1）（n－1）＋（m－2）（n－2）＋…＋（m－n＋1）n.
练一练：
数一数下列各图中分别有多少个正方形。
四．巩固提高
（一）填空题。
1．数一数下图有（）个长方形.
2．下图共有（）个平行四边形.
（二）简答题（每小题10分）
1．图共有几个正方形?
2．数一数下列各图中分别有多少个正方形。
答
四.选做题
下图中有多少个长方形，其中有多少个是正方形？
答
的练习练习
第三讲速算与巧算
（一）
1．知识点回顾
1.在加、减、乘、除四则运算中，要想算得快，算得准，其实有些“小窍门”，首先要观察算式和数字的特点和规律，然后再选择合适的巧算方法，运用数的组成与分解，运用定律以及和、差、积、商的变化规律，把按常规较复杂的运算转化为比较简便、迅速的计算。
2.加、减法的巧算方法有：
配对求和法、凑整法、分组法、借来法和加减法的运算性质、运算定律等；
3.常用的运算定律和运算性质用字母表示为：
加法交换律：
a+b=b+a
加法结合律：
a+b+c=a+（b+c）
减法的性质：
a-b–c=a–（b+c）
a–（b－c）=a-b+c
4.速算与巧算是计算中的一个重要组成部分，掌握一些速算与巧算的方法，有助于提高我们的计算能力和思维能力。
二．经典例题
例1.用巧算的方法计算下列各式。
①29+299+2999+29999
②30-29+28-27+26-25+…+4-3+2-1
③638-（456-62）
思路导航：
第①小题计算中运用凑整的方法计算比较简便；第②小题可以将相邻两个数看成一组，进行分组分解法来计算比较简便；第③小题根据减法的性质去括号，再移位凑整。
解：
①29+299+2999+29999
=30+300+3000+30000-4
=33326
②30-29+28-27+26-25+…+4-3+2-1
=（30-29）×（30÷2）
=15
③638-（456-62）
=638-456+62
=（638+62）-456
=700-456
=244
练一练：
用巧算的方法计算下列各式。
153+874+47-174+63②543-（138-57）-362
③2345+1256-3056-145④627-（185+127）
例2.计算199999+199998+19999+19998+1999+1998+199+198+19+18
思路导航：
通过观察我们可以运用分组凑整法，十个加数可以分成五组，每组第一个加数补1，第二个加数补2都可以凑整。
解：
199999+199998+19999+19998+1999+1998+199+198+19+18
=200000×2+20000×2+2000×2+200×2+20×2-3×5
=400000+40000+4000+400+40-15
=444440-15
=444425
练一练：
用巧算的方法计算下列各式。
①19+199+1999+19999②999998+99997+9996+995+94
三.巩固提高
1.347+362+453+3382.2345+6789+7655+3211
3.9979+994+1274.1371－289－371
5.846－163+11546.1643+296+72+4357+128
7.48+326+52－17+2748.1756－（756+498）
9.368+（134－68）10.2663－874－1126+337
4.选做题。
1.534+467－334－267+1112.1839－（56－161）
3.15873－346－873－6544.2380－（167+380）－333
5.218+573－136+182－64－736.127+125+126+123+129+122
7.112+111－110－109+108+107－106－105+104+103－102－101+100+99－98－97
第四讲速算与巧算
（二）
一．知识点回顾
乘、除法的巧算方法有：
凑整法、分组分解法、巧妙变形法、乘除法的运算定律和性质，以及商的变化规律，积的不变性质等。
常用的运算定律和运算性质用字母表示为：
除法的性质：
a÷b÷c=a÷（b×c）a÷（b÷c）=a÷b×c
乘法交换律：
a×b=b×a
乘法结合律：
（a×b）×c=a×（b×c）
乘法分配律：
（a+b）×c=a×c+b×c（a-b）×c=a×c-b×c
积不变性质：
a×b=（a÷c）×（b×c）=（a×c）×（b÷c）
商不变性质：
a÷b=（a÷c）÷（b÷c）=（a×c）÷（b×c）
二．经典例题
例1.计算下列各式。
①375×480+6250×48
②7200÷25÷36
③16×125
④2300÷25
思路导航：
第①小题是根据积的不变规律进行转化，变成能应用乘法分配律，计算起来比较简便；第②小题根据在连除中交换除数的位置商不变的性质来解题；第③小题因为125乘8得1000，运用分解法将16按照16=2×8分解；第④小题，根据商的不变性质，将被除数和除数同时扩大4倍，把除数变成整百的数来计算。
解：
①375×480+6250×48
=375×480+625×480
=480×（375+625）
=480×1000
=480000
②7200÷25÷36
=7200÷36÷25
=200÷25
=8
③16×125
=2×（8×125）
=2×1000
=2000
④2300÷25
=（2300×4）÷（25×4）
=9200÷100
=92
练一练：
用巧算的方法计算下列各式。
①369×123-123×9-360×123②125×32×250
③9800÷25÷49④1999+999×999
例2.计算1÷（2÷3）÷（3÷4）÷（4÷5）÷（5÷6）÷（6÷7）÷（7÷8）
思路导航：
通过观察我们发现括号里的除法算式不能得到一个整数的商，所以我们要根据a÷（b÷c）=a÷b×c这一性质去掉括号进行计算，当一个数扩大若干倍，同时又缩小相同的倍数时结果不变。
解：
1÷（2÷3）÷（3÷4）÷（4÷5）÷（5÷6）÷（6÷7）÷（7÷8）
=1÷2×3÷3×4÷4×5÷5×6÷6×7÷7×8
=1÷2×8
=4
练一练：
计算9÷（9÷8）÷（8÷7）÷（7÷6）÷（6÷5）÷（5÷4）÷（4÷3）
三．巩固提高
用巧算的方法计算下列各式。
1.①75×16②31×8×125③2008×125
2.①199×245②1001×134③67×54+67+45×67
3.①199+99×99②21×380+38×790③123×235-24×235+235
4.①2800÷25÷4②562×397÷（281×397）③7000÷（140÷50）
5.2008×2006+2007×2005-2007×2006-2008×2005
四．选做题
计算55555×666667+44445×666666-155555
第五讲和差倍问题
一．知识点回顾
1.“和差问题”是已知大小两个数的和与两个数的差，求这两个数。
和差问题基本公式：
（和+差）÷2=大数
（和-差）÷2=小数
小数+差=大数（或者：
大数-差=小数）
和-小数=大数（或者：
和-大数=小数）
2.“和倍问题”是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求这两个数。
和倍问题基本公式：
和÷（倍数+1）=小数
大数=和-小数（或者：
大数=小数×倍数）
3.“差倍问题”就是已知两个数的差和它们的倍数关系，求这两个数。
差倍问题基本公式：
差÷（倍数-1）=小数
二．经典例题
例1.一个学校四年级共有学生400名，其中男生比女生多40名，四年级男女生共有多少人？
分析：
女生：
多40人
400人
男生：
从图中可以看出男生人数是较大的数，要比女生多40人，即男生与女生的人数差是40，且男生女生一共有400名。
所以我们有较大的数（男生数）=（两数之和+两数之差）÷2，较小的数（女生人数）=（两数和-两数之差）÷2
解：
男生：
（400+40）÷2=220（人）
女生：
（400-40）÷2=180（人）
答：
男生有220人，女生有180人。
练一练：
希望小学四年级有学生42人，其中女生比男生少2人，那么这个班级男女生共有多少人？
例2.甲桶装有汽油是乙桶的三倍，甲桶又倒入20升，乙桶又倒入80升，这时乙桶汽油比甲桶多20升，求原来甲、乙两桶汽油各多少升？
分析：
20升
甲桶：
多20升
乙桶：
80升
从图可以发现，如果乙桶只倒入40升，则甲、乙两桶汽油同样多，这说明原来甲桶比乙桶多80-20-20=40（升）汽油，且甲桶汽油是乙桶的3倍，则甲桶比乙桶汽油多两倍，这样就找到了2倍数对应量是40升，可以求出乙桶汽油（1倍数）。
解：
乙桶原来汽油：
（80-20-20）÷（3-1）=20（升）
甲桶原来汽油：
20×3=60（升）
答：
甲桶原来有汽油60升，
乙桶原来有汽油20升。
练一练：
A桶装油470千克，B桶装油190千克，从A桶倒多少千克油给B桶才能使A桶油是B桶的2倍？
例3.甲、乙、丙三个数的和是183，乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三个数各是多少？
1倍数
分析：
丙数：
少4
乙数：
183
2倍多7
丙数：
3倍
我们发现甲、乙两个数都是以丙为标准的，所以丙就是1倍数，乙比丙的2倍少4，即：
乙=丙×2-4；甲是丙的3倍多7，即：
甲=丙×3+7；丙数为丙×1，且甲、乙、丙三数之和为183，所以丙×3+7+丙×2-4+丙=183，从而丙的（3+2+1）倍对应为183+4-7。
解：
丙数=（183+4-7）÷（3+2+1）=30
乙数=30×2-4=56
甲数=30×3+7=97
答：
甲数是97，乙数是56，丙数是30。
例4.哥哥与弟弟没人都有一些铅笔，如果哥哥给弟弟1支，两人就一样多，如果弟弟给哥哥1支，哥哥就是弟弟的5倍，哥哥和弟弟原来各有多少支铅笔？
分析：
此题是两次转化的差倍应用题，根据“哥哥给弟弟1支，两人同样多”，说明哥哥比弟弟多1+1=2（支）；根据“弟弟给哥哥一支，哥哥就是弟弟的5倍”，我们可先知弟弟给哥哥一支，那哥哥比弟弟一共要2+1+1=4（支），且此时哥哥是弟弟的五倍，即：
哥哥比弟弟多4倍。
解：
弟弟的支数：
（1+1+1+1）÷（5-1）+1=2（支）
哥哥的支数：
2+2=4（支）
答：
哥哥有4支铅笔，弟弟有2支铅笔。
练一练：
两个书架原来共有图书300本，当第一个书架借走30本，第二个书架又购进40本后，第一个书架比第二个书架少20本，原来两个书架各有多少本？
四．巩固提高
1.长方形操场的长与宽相差80米，沿操场跑一周是400米，求这个操场的长与宽是多少米？
2.丁丁在期中考试时，语文、数学两科平均分是91分，数学比语文多2分，那么丁丁的语文和数学各得了多少分？
3.师、徒两人共加工
个零件，师傅加工的个数比徒弟的
倍还多
个，师傅和徒弟各加工零件多少个？
4.实验小学共有学生
人，男生比女生
倍少
人.问：
实验小学男学生和女学生各有多少人？
5.甲班的图书本数比乙班多80本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？
6.有两根同样长的绳子，第一根截去12米，第二根接上14米，这时第二根长度是第一根长的3倍，两根绳子原来各长多少米？
五.选做题
1.有大小两个桶原来水一样多，如果从小桶倒
千克水到大桶，则大桶中水是小桶的
倍，求原来大桶有水多少千克？
2.光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？
3.小勇家养的白兔和黑兔一共有22只，如果再买4只白兔，白兔和黑兔的只数一样多．小勇家养的白兔和黑兔各多少只？
第六讲还原问题
一.知识点回顾
有些问题，当顺着题目条件的叙述去寻找解法时，往往有一定的困难，但是，如果改变思考顺序，从问题叙述的最后结果出发，一步一步倒着思考，一步一步往回算，原来加的用减，减的用加，原来乘的用除，除的用乘，那么问题便容易解决。
这种解题方法叫做还原法或逆推法，用还原法解题的问题叫做还原问题。
1.从最后得数出发，采用与原题相反的逆运算，向前一步一步倒推。
2.原题加的用减，原题减的用加，原题是乘的用除，原题是除的用乘。
3.根据原题的叙述顺序，在下面列出数量关系式，再用逆运算的方法得出原数。
二.经典例题
例1.有一个数，把它加上37，再乘以18，减去323，得到的结果用23去除，商是16，余数是11．这个数是多少？
分析：
我们把一个数经过的四步计算过程用下面的示意图来表示，看看能先算出哪个数呢？
加上37乘以18减去323除以23
？
？
？
？
商16余11
解：
我们采用与原题相反的逆运算，向前一步一步倒推。
原题加的用减，原题减的用加，原题是乘的用除，原题是除的用乘。
从后面数第一个问号：
16×23+11=368+11=379
从后面数第二个问号：
379+323=702
从后面数第三个问号：
702÷18=39
从后面数第四个问号即所求的数：
39-37=2
答：
这个数是2.
练一练：
一个数扩大3倍，再增加70，然后减少50，得80.这个数是多少？
例2.四年级的四个班共有学生168人，到了第二学期，学校把班级学生作如下调整：
把四班的3名学生调到三班，三班的6名学生调到二班，二班又调6名学生到一班，一班再调2名学生到四班，这时四个班的学生同样多，求四个班原来各有学生多少人？
分析：
知道四个班最后学生一样多，且四个班的总人数是168，则可求出四个班最后学生人数：
168÷4=42
四班的人数42名
三班的人数42名
二班的人数42名
一班的人数42名
所以：
168÷4=42
四班：
42+3-2=43（人）
三班：
42-3+6=45（人）
二班：
42-6+6=42（人）
一班：
42-6+2=38（人）
答：
一班原有学生38人，二班原有学生42人，三班原有学生45人，四班原有学生43人。
练一练：
三个小朋友共有贺年卡75张，如果甲给乙4张，乙又给丙3张，那么三个人的贺年卡刚好相等，求甲、乙、丙三个小朋友原来各有贺年卡多少张？
例3.一根铁丝，第一次用去它的一半少一米，第二次用去剩下的一半多1米，最后剩5米，求这根铁丝原有多长？
分析：
第一次
第二次5米
1米1米
总数的一半剩下的一半
？
从上图分析可知：
剩下的一半：
5+1=6（米）
那第一次用完一共剩下：
6×2=12（米）
总数的一半：
12-1=11（米）
总长：
11×2=22（米）
即：
[（5+1）×2-1]×2=22（米）
答：
这根铁丝原来长22米。
练一练：
篮子里有鸡蛋，第一天拿走一半多两个，第二天拿走余下的一半多4个，这时刚好拿完，求篮子里原来有多少个鸡蛋？
四.巩固提高
1.某数加上11，减去12，乘以13，除以14，其结果等于26，这个数是多少？
2.某数加上6，乘以6，减去6，其结果等于36，求这个数。
3.小乐爷爷今年的年龄数减去15后，除以4，再减去6之后，乘以10，恰好是100。
问：
小乐爷爷今年多少岁？
4.粮库内有一批面粉，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半多7吨，还剩4吨。
问：
粮库里原有面粉多少吨？
5.有一筐梨，甲取一半又一个，乙取余下的一半又一个，丙再取余下的一半又一个，这时筐里只剩下一个梨。
这筐梨共值8.80元，那么每个梨值多少钱？
6.某人去银行取款，第1次取了存款的一半还多5元，第二次取了余下的一半还多10元，这时存折上还剩125元。
问：
此人原有存款多少元？
五.选做题
1.甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组拥有相等数目的图书。
问：
甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书？
2.一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米？
第七讲年龄问题
一.知识点回顾
1.两个人的年龄差总是不变的。
2.两个人的年龄随着时间、年份的变化而增加（减少）同一个自然数。
3.两个人年龄的倍数关系随着年龄的变化而变化，一般是随着年龄的增加倍数关系反而变小。
4.年龄问题一般可以转化为和倍、差倍、和差问题解答。
大年龄=（两人年龄和+两人年龄差）÷2
小年龄=（两人年龄和-两人年龄差）÷2
知道今年大小年龄各是多少
几年前，大年龄是小年龄的几倍
年数=小年龄-两人的年龄差÷（倍数-1）
几年后，大年龄是小年龄的几倍
年数=两人年龄差÷（倍数-1）-小年龄
二.经典例题
例1.儿子今年16岁，父亲今年48岁，几年前父亲的年龄是儿子年龄的9倍？
分析：
要抓住父亲与儿子年龄差不变，以此来解决问题。
可知父亲与儿子的年龄差：
48-16=32（岁）
当父亲的年龄是儿子的9倍时，
那时儿子的年龄是32÷（9-1）=4（岁）
今年儿子16岁，那年儿子4岁，
所以16-4=12（年）
答：
12年前父亲的年龄是儿子的9倍。
练一练：
父亲今年47岁，儿子21岁，多少年前父亲的年龄是儿子年龄的3倍？
例2.5年前，爷爷的年龄比孙子大60岁，今年祖孙年龄和是100岁，求爷爷今年是多少岁？
分析：
5年前爷爷年龄比孙
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