高中数学 必修1第一章 集合与函数概念 131第1课时.docx

1、高中数学 必修1 第一章 集合与函数概念 131 第1课时1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性学习目标1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性.知识点一函数的单调性思考画出函数f(x)x、f(x)x2的图象，并指出f(x)x、f(x)x2的图象的升降情况如何？答案两函数的图象如下：函数f(x)x的图象由左到右是上升的；函数f(x)x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的.梳理一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则函数在该区间上为增函数，该区间称为增区间.反之则为减函数，相应区间称为减区间.

2、因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙.所以有以下定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.知识点二函数的单调区间思考我们已经知道f(x)x2的减区间为(，0，f(x)的减区间为(，0)，这两个减区间能不能交换？答案f(x)x2的减区间可以写成(，0)，而f(x)的减区间(，0)不能写成(，0，因

3、为0不属于f(x)的定义域.梳理一般地，有下列常识：(1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开.(2)单调区间D定义域I.(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大.类型一求单调区间并判断单调性例1如图是定义在区间5,5上的函数yf(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解yf(x)的单调区间有5，2，2,1，1,3，3,5，其中yf(x)在区间5，2，1,3上是减函数，在区间2,1，3,5上是增函数.反思与感悟函数的单调性是在定义域内的某个区间上的

4、性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有.跟踪训练1写出函数y|x22x3|的单调区间，并指出单调性.解先画出f(x)的图象，如图.所以y|x22x3|的单调区间有(，1，1,1，1,3，3，)，其中单调减区间是(，1，1,3；单调增区间是1,1，3，).类型二证明单调性命题角度1证明具体函数的单调性例2证明f(x)在其定义域上是增函数.证明f(x)的定义域为0，).设x1，x2是定义域0，)上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)f(x2).0x1x2，

5、x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在它的定义域0，)上是增函数.反思与感悟运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x1x2的条件下，转化为确定f(x1)与f(x2)的大小，要牢记五大步骤：取值作差变形定号小结.跟踪训练2求证：函数f(x)x在1，)上是增函数.证明设x1，x2是实数集R上的任意实数，且1x1x2，则f(x1)f(x2)x1(x2)(x1x2)()(x1x2)(x1x2)(1)(x1x2)( ).1x1x2，x1x20,10，故(x1x2)( )0，即f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，f(x)1.

6、求证：函数f(x)在R上是增函数.证明方法一设x1，x2是实数集上的任意两个实数，且x1x2.令xyx1，yx2，则xx1x20.f(x1)f(x2)f(xy)f(y)f(x)f(y)1f(y)f(x)1.x0，f(x)1，f(x)10，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).函数f(x)在R上是增函数.方法二设x1x2，则x1x20，从而f(x1x2)1，即f(x1x2)10.f(x1)fx2(x1x2)f(x2)f(x1x2)1f(x2)，故f(x)在R上是增函数.反思与感悟因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f(x1)f(x2)，但可以借助题目提供的函数性质来确定f(x1)f

7、(x2)的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值.跟踪训练3已知函数f(x)的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f(mn)f(m)f(n)，且当x0时，0f(x)1.求证：f(x)在R上是减函数.证明对于任意实数m，n，恒有f(mn)f(m)f(n)，令m1，n0，可得f(1)f(1)f(0)，当x0时，0f(x)1，f(1)0，f(0)1.令mx0，nx0，则f(mn)f(0)f(x)f(x)1，f(x)f(x)1，又x0时，0f(x)1，f(x)1.对任意实数x，f(x)恒大于0.设任意x10，0f(x2x1)1，f(x2)f(x1)f(x2x1)x1f(x1)f(x2x1)f(

8、x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)10，f(x)在R上是减函数.类型三单调性的应用命题角度1利用单调性求参数范围例4若函数f(x)是定义在R上的减函数，则a的取值范围为()A. ，)B.(0，)C. ，)D.(，)答案A解析要使f(x)在R上是减函数，需满足：解得a.反思与感悟分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要接口处不能反超.另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的.跟踪训练4已知函数f(x)x22ax3在区间1,2上单调，则实数a的取值范围为_.答案a1或a2解析由于二次函数开口向上，故其增区间为a，)，减区间为(，a，而f(x)在区间1,2上单调，所以1,2a

9、，)或1,2(，a，即a1或a2.命题角度2用单调性解不等式例5已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(2a1)，求a的取值范围.解f(1a)f(2a1)等价于解得0a，即所求a的取值范围是0a.反思与感悟若已知函数f(x)的单调性，则由x1，x2的大小，可得f(x1)，f(x2)的大小；由f(x1)，f(x2)的大小，可得x1，x2的大小.跟踪训练5在例5中若函数yf(x)的定义域为R，且为增函数，f(1a)f(2a1)，则a的取值范围又是什么？解yf(x)的定义域为R，且为增函数，f(1a)f(2a1)，1a，所求a的取值范围是(，).1.函数yf(x)在区间2,2上的

10、图象如图所示，则此函数的增区间是()A.2,0 B.0,1C.2,1 D.1,1答案C2.函数y的减区间是()A.0，) B.(，0C.(，0)，(0，) D.(，0)(0，)答案C3.在下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2(0，)，当x1f(x2)的是()A.f(x)x2 B.f(x)C.f(x)|x| D.f(x)2x1答案B4.已知函数yf(x)满足：f(2)f(1)，f(1)f(1)，则x的取值范围是()A.x1C.1x1 D.x1答案C1.若f(x)的定义域为D，AD，BD，f(x)在A和B上都单调递减，未必有f(x)在AB上单调递减.2.对增函数的判断，对任意x1x2，都有f(

11、x1)0或0.对减函数的判断，对任意x1f(x2)，相应地也可用一个不等式来替代：(x1x2)f(x1)f(x2)0或0B.(x1x2)f(x1)f(x2)0C.若x1x2，则f(a)f(x1)f(x2)0答案C解析因为f(x)在a，b上是增函数，对于任意的x1，x2a，b(x1x2)，x1x2与f(x1)f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x1x2，则f(a)f(x1)f(x2)f(b).3.已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，1)，B(3,1)是其图象上的两点，那么1f(x)1的解集是()A.(3,0)B.(0,3)C.(，13，)D.(，01，)答案B解析由已知f(0)1，f(3)1，1f(x)1