一元二次方程培优备课例题.docx

1、一元二次方程培优备课例题备课例题20（2013上海市）解方程组：考点：高次方程分析：先由得x+y=0或x2y=0，再把原方程组可变形为：或，然后解这两个方程组即可解答：解：，由得：（x+y）（x2y）=0，x+y=0或x2y=0，原方程组可变形为：或，解得：，点评：此题考查了高次方程，关键是通过把原方程分解，由高次方程转化成两个二元一次方程，用到的知识点是消元法解方程组21（2013山西省）解方程：（2x1）2=x（3x+2）7考点：解一元二次方程-配方法分析：根据配方法的步骤先把方程转化成标准形式，再进行配方即可求出答案解答：解：（2x1）2=x（3x+2）7，4x24x+1=3x2+2x7

2、，x26x=8，（x3）2=1，x3=1，x1=2，x2=4点评：此题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方是解题的关键，是一道基础题21（2013太原）解方程：（2x1）2=x（3x+2）7考点：解一元二次方程-配方法分析：根据配方法的步骤先把方程转化成标准形式，再进行配方即可求出答案解答：解：（2x1）2=x（3x+2）7，4x24x+1=3x2+2x7，x26x=8，（x3）2=1，x3=1，x1=2，x2=4点评：此题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤：（1）把

3、常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方是解题的关键，是一道基础题21（2013淄博）关于x的一元二次方程（a6）x28x+9=0有实根（1）求a的最大整数值；（2）当a取最大整数值时，求出该方程的根；求的值考点：根的判别式；解一元二次方程-公式法分析：（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式得到=644（a6）90且a60，解得a且a6，然后在次范围内找出最大的整数；（2）把a的值代入方程得到x28x+9=0，然后利用求根公式法求解；由于x28x+9=0则x28x=9，然后把x28x=9整体代入所求的代数式中得到原式=2x2=2x216x+

4、，再变形得到2（x28x）+，再利用整体思想计算即可解答：解：（1）根据题意=644（a6）90且a60，解得a且a6，所以a的最大整数值为7；（2）当a=7时，原方程变形为x28x+9=0，=6449=28，x=，x1=4+，x2=4；x28x+9=0，x28x=9，所以原式=2x2=2x216x+=2（x28x）+=2（9）+=点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了一元二次方程的定义和解法以及整体思想19（2013枣庄）先化简，再求值：（m+2）其中m是方

5、程x2+3x1=0的根考点：分式的化简求值；一元二次方程的解分析：先通分计算括号里的，再计算括号外的，化为最简，由于m是方程x2+3x1=0的根，那么m2+3m1=0，可得m2+3m的值，再把m2+3m的值整体代入化简后的式子，计算即可解答：解：原式=；m是方程x2+3x1=0的根m2+3m1=0，即m2+3m=1，原式=点评：本题考查了分式的化简求值、一元二次方程的解，解题的关键是通分、约分，以及分子分母的因式分解、整体代入23（2013威海）要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路下面分别是小亮和小颖的设计方案（1）求小亮设计方案中甬路的宽度x；（2）求小颖设

6、计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的与小亮设计方案中的取值相同）考点：一元二次方程的应用；解直角三角形的应用；几何图形问题；方案型分析：（1）根据小亮的方案表示出矩形的长和宽，利用矩形的面积公式列出方程求解即可；（2）求得甬道的宽后利用平行四边形的面积计算方法求得两个阴影部分面积的和即可；解答：解：（1）根据小亮的设计方案列方程得：（52x）（48x）=2300解得：x=2或x=98（舍去）小亮设计方案中甬道的宽度为2m；（2）作AICD，HJEF，垂足分别为I，J，ABCD，1=60，ADI=60，BCAD，四边形ADCB为平行四边形，BC=AD由（1）得x=2，BC=HE=

7、2=AD在RtADI中，AI=2sin60=小颖设计方案中四块绿地的总面积为5248522482+（）2=2299平方米点评：本题考查了一元二次方程的应用，特别是图形的面积问题更是近几年中考中考查一元二次方程的应用的主要题型27（2013泰安）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元

8、，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？考点：一元二次方程的应用；销售问题专题：销售问题分析：根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即可解答：解：由题意得出：200（106）+（10x6）（200+50x）+（46）（600200（200+50x）=1250，即800+（4x）（200+50x）2（20050x）=1250，整理得：x22x+1=0，解得：x1=x2=1，101=9，答：第二周的销售价格为9元点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知表示出两周的利润是解题关键18（2013日照）已知，关于x的方程x22mx=m2+2x的两个实数根x1、

9、x2满足|x1|=x2，求实数m的值考点：根的判别式分析：将方程整理为一般形式，根据方程有解得到根的判别式的值大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集得到m的范围，根据两根满足的关系式，利用绝对值的代数意义化简，即可求出满足题意m的值解答：解：原方程可变形为：x22（m+1）x+m2=0，x1、x2是方程的两个根，0，即4（m+1）24m20，8m+40，解得：m，又x1、x2满足|x1|=x2，x1=x2或x1=x2，即=0或x1+x2=0，由=0，即8m+4=0，得m=，由x1+x2=0，即：2（m+1）=0，得m=1，（不合题意，舍去），则当|x1|=x2时，m的值为点评：此题考

10、查了根的判别式，弄清题意是解本题的关键17（2013日照）计算：考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；根与系数的关系；特殊角的三角函数值分析：原式第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用特殊角的三角函数值化简，最后一项利用零指数幂法则计算，即可得到结果解答：解：原式=+（2）2+1=1点评：此题考查了实数的运算，弄清题意是解本题的关键24（2013青岛）在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图1和图2发现并验证了平方差公式和完全平方公式这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化【研究速算】提出问题：4743，5654，7971，是一些十位数字相同，且

11、个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以4743为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图3，将这个4743的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形上面（2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式：4743的矩形面积或（40+7+3）40的矩形与右上角37的矩形面积之和，即4743=（40+10）40+37=54100+37=2021用文字表述4743的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方

12、法是（用文字表述） 【研究方程】提出问题：怎样图解一元二次方程x2+2x35=0（x0）？几何建模：（1）变形：x（x+2）=35（2）画四个长为x+2，宽为x的矩形，构造图4（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，（x+x+2）2或四个长x+2，宽x的矩形面积之和，加上中间边长为2的小正方形面积即（x+x+2）2=4x（x+2）+22x（x+2）=35（x+x+2）2=435+22（2x+2）2=144x0x=5归纳提炼：求关于x的一元二次方程x（x+b）=c（x0，b0，c0）的解要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并注明相关线段的长）

13、【研究不等关系】提出问题：怎样运用矩形面积表示（y+3）（y+2）与2y+5的大小关系（其中y0）？几何建模：（1）画长y+3，宽y+2的矩形，按图5方式分割（2）变形：2y+5=（y+3）+（y+2）（3）分析：图5中大矩形的面积可以表示为（y+3）（y+2）；阴影部分面积可以表示为（y+3）1，画点部分部分的面积可表示为y+2，由图形的部分与整体的关系可知（y+3）（y+2）（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）2y+5归纳提炼：当a2，b2时，表示ab与a+b的大小关系根据题意，设a=2+m，b=2+n（m0，n0），要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或

14、圆珠笔画图并注明相关线段的长）考点：一元二次方程的应用；整式的混合运算；一元一次不等式组的应用；数形结合；阅读型；探究型分析：【研究速算】十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；【研究方程】画四个长为x+b，宽为x的矩形，构造答图1，则图中的大正方形面积有两种不同的表达方式，由此建立方程求解即可；【研究不等关系】画长为2+m，宽为2+n的矩形，并按答图2方式分割图中大矩形面积可表示为（2+m）（2+n），阴影部分面积可表示为2+m与2+n的和由图形的部分与整体的关系可知，（2+m）（2+n）（2+m）+（2+n），即aba+b解答：解：【研究速算】归纳

15、提炼：十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果【研究方程】归纳提炼：画四个长为x+b，宽为x的矩形，构造答图1，则图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式：（x+x+b）2或四个长为x+b，宽为x的矩形面积之和，加上中间边长为b的小正方形面积即：（x+x+b）2=4x（x+b）+b2x（x+b）=c，（x+x+b）2=4c+b2（2x+b）2=4c+b2x0，x=【研究不等关系】归纳提炼：（1）画长为2+m，宽为2+n的矩形，并按答图2方式分割（2）变形：a+b=（2+m）+（2+n）（3）分析：图中大矩形面积可表示为（2+m）（2+n），阴影部分面积

16、可表示为2+m与2+n的和由图形的部分与整体的关系可知，（2+m）（2+n）（2+m）+（2+n），即aba+b点评：本题考查了数形结合的数学思想，利用数形结合思想建立了代数（速算、方程与不等式等）与几何图形之间的内在联系，体现了数学的魅力，是一道好题试题立意新颖，构思巧妙，对于学生的学习大有裨益；不足之处在于题干篇幅过长，学生读题并理解题意需要花费不少的时间，影响答题的信心19（2013济宁）人教版教科书对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分

17、式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解”请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x的方程=0无解，方程x2+kx+6=0的一个根是m（1）求m和k的值；（2）求方程x2+kx+6=0的另一个根考点：解分式方程；根与系数的关系；阅读型专题：阅读型分析：（1）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，故将x=1代入整式方程，即可求出m的值，将m的值代入已知方程即可求出k的值；（2）利用根与系数的关系即可求出方程的另一根解答：解：（1）分式方程去分母得：m1x=0，由题意将x=1代入得：m11=0，即m=2，将m=2代入方程得：4+2k+6=0，即k=5；（2）设方程另一根为a，则有2

18、a=6，即a=3点评：此题考查了解分式方程，以及根与系数的关系，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根23（2013菏泽）已知：关于x的一元二次方程kx2（4k+1）x+3k+3=0 （k是整数）（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1x2），设y=x2x1，判断y是否为变量k的函数？如果是，请写出函数解析式；若不是，请说明理由考点：根的判别式；解一元二次方程-公式法专题：证明题分析：（1）根据一元二次方程定义得k0，再计算=（4k+1）24k（3k+3），配方得=（2k1）2，而k是整数，则2k

19、10，得到=（2k1）20，根据的意义即可得到方程有两个不相等的实数根；（2）先根据求根公式求出一元二次方程kx2（4k+1）x+3k+3=0 的解为x=3或x=1+，而k是整数，x1x2，则有x1=1+，x2=3，于是得到y=3（1+）=2解答：（1）证明：k0，=（4k+1）24k（3k+3）=（2k1）2，k是整数，k，2k10，=（2k1）20，方程有两个不相等的实数根；（2）解：y是k的函数解方程得，x=，x=3或x=1+，k是整数，1，1+23又x1x2，x1=1+，x2=3，y=3（1+）=2点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=b24ac：当0，

20、方程有两个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了利用公式法解一元二次方程21（2013盐城）先化简，再求值：（x1）（1），其中x为方程x2+3x+2=0的根考点：分式的化简求值；解一元二次方程-因式分解法；分类讨论分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可解答：解：原式=（x1）=（x1）=（x1）=x1由x为方程x2+3x+2=0的根，解得x=1或x=2当x=1时，原式无意义，所以x=1舍去；当x=2时，原式=（2）1=21=1点评：本题考查的是分式的化简求值及实数的运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键21（201

21、3徐州）解方程：x22x=1；考点：解一元二次方程-配方法专题：计算题分析：方程两边都加上1，配成完全平方的形式，然后求解即可；解答：解： x22x+1=2，（x1）2=2，所以，x1=1+，x2=1点评：考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数21（2013无锡）解方程：x2+3x2=0考点：解一元二次方程-公式法分析：求出b24ac的值，代入公式求出即可解答：解： x2+3x2=0，b24ac=3241（

22、2）=17，x=，x1=，x2=点评：本题考查了解一元二次方程，主要考查学生的计算能力23（2013连云港）小林准备进行如下操作实验；把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，小林该怎么剪？（2）小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2”他的说法对吗？请说明理由考点：一元二次方程的应用；几何图形问题分析：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40x）cm就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40m

23、）cm就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明小峰的说法错误，否则正确解答：解：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40x）cm，由题意，得（）2+（）2=58，解得：x1=12，x2=28，当x=12时，较长的为4012=28cm，当x=28时，较长的为4028=1228（舍去）较短的这段为12cm，较长的这段就为28cm；（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40m）cm，由题意，得（）2+（）2=48，变形为：m240m+416=0，=（40）24416=640，原方程无解，小峰的说法正确，这两个正方形的

24、面积之和不可能等于48cm2点评：本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，解答本题时找到等量关系建立方程和运用根的判别式是关键26（2013淮安）小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元请问她购买了多少件这种服装？考点：一元二次方程的应用分析：根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出等式方

25、程求出即可解答：解：设购买了x件这种服装，根据题意得出：802（x10）x=1200，解得：x1=20，x2=30，当x=30时，802（3010）=40（元）50不合题意舍去；答：她购买了30件这种服装点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知得出每件服装的单价是解题关键24（2013孝感）已知关于x的一元二次方程x2（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由考点：根与系数的关系；根的判别式；存在型 分析：（1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式0，据此列出关于k的

26、不等式（2k+1）24（k2+2k）0，通过解该不等式即可求得k的取值范围；（2）假设存在实数k使得0成立利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式0，通过解不等式可以求得k的值解答：解：（1）原方程有两个实数根，（2k+1）24（k2+2k）0，4k2+4k+14k28k014k0，k当k时，原方程有两个实数根 （2）假设存在实数k使得0成立x1，x2是原方程的两根， 由0，得0 3（k2+2k）（2k+1）20，整理得：（k1）20，只有当k=1时，上式才能成立 又由（1）知k，不存在实数k使得0成立点评：本题综合考查了根的判别式和根

27、与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系20（2013襄阳）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？考点：一元二次方程的应用分析：（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出x，（2）进而求出第三轮过后，又被感染的人数解答：解：（1）设每轮传染中平均每人传染了x人，1+x+x（x+1）=64x=7或x=9（舍去）答：每轮传染中平均一个人传染了7个人；（2）647=448（人）答：第三轮将又有448人被传染点评：本题考查了一元二次方程的应

28、用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键22（2013荆州）已知：关于x的方程kx2（3k1）x+2（k1）=0（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1x2|=2，求k的值考点：根的判别式；根与系数的关系分析：（1）确定判别式的范围即可得出结论；（2）根据根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，继而根据题意可得出方程，解出即可解答：（1）证明：当k=0时，方程是一元一次方程，有实数根；当k0时，方程是一元二次方程，=（3k1）24k2（k1）=（k1）20，无论k为何实数，方程总有实数根（2）解：此方程有两个实数根x1，x2，x1+x2=，x1x2=，|x1x2|=2，（x1x2）2=4，（x1+x2）24x1x2=4，即4=4，解得：=2，即k=1或k=点评：本题考查了根的判别式及根与系数的关系，属于基础题，这些用到的知识点是需要我们熟练记忆的内容20（2013黄石）解方程组：考点：高次方程分析：先由第二个方程得：x= ，再把代入得：2（）2y2=，求出y1、y2，再代入即可解答：解：，由得：x= ，把