第四章傅里叶变换和系统的频域分析.docx

1、第四章傅里叶变换和系统的频域分析二 t(1)确定并画出H1()1如图所示的四个 LTI系统中.2-jvvhdsin( ct) jhi(t) c ,出(J =e cdt 2rth3(t)二也二；(t)(2)复合系统的冲激响应 h(t)为?所以 H1(j ) =2 j 02 c()其图像如下图所示(2)由图像可知，复合系统的冲激响应为 h(t h1(t)*h2(t)* h3(t)*h4(t)由时域卷积定理，得 H(j )汀心)H3(j )H4(j )1 -H2(j )又帥邛3出仃叭H4（j+ ）所以j2r- 1 1H（j J = j 1 二（）1-e c 2 jo1 d = ；1e c , h（t

2、）sinjt） sinc（t：c）2nsin（泣）t（2二 _吐）（3）f（t）F（ j 0 = 2 c） -、（ -2 c）二、（ 上）、（ c）2 2所以Y（j JH（j ）F（j ） 1 e c 二、（）、（，2 -、.（ c） ej、（ c） e（ 2 2 2 2=呱、（寸）、（ c）2 2- ” t可得输出为y（t）=cos（）22、求周期信号ej100t的基波角频率 门和周期T。解：角频率鳥-100rad /s,周期T =Q 100兀s503、求周期信号cos（：t） cos（：t） cos（5t）的基波角频率门和周期T。解：cos（2t）、cos（3：t）、cos（5：t）的角频

3、率分别为 1=2二，门 2-3，/ 3 =5二，取三者2兀 2兀的最大公约数为 二，即其三项的和信号的基波角频率 ；-二rad /s,周期T = 2 2n4、用直接计算傅里叶系数的方法，求下图所示周期函数的傅里叶系数（三角形式或指数形 式）。二 2s兀解：由f(t)波形，如周期 T=4，角频率门数傅里叶系数2 : :，根据指数傅里叶系数定义式，得指2Fn1 22r f(t)e T T1 _jn t 12 dt =_4Jn21 (e 2 -e 2)e-jn :-1sin( ), n =1,_1,_225、求下图所示信号的傅里叶变换。1 丁解：由f (t)波形写出表达式f(t) t,： t ：0,

4、其他根据傅里叶变换定义，得 f (t)的傅里叶变换为1卩()=(啊葩0-”j je” 16、利用对称性求函数 f (t)二 Sin2(t2),：:t ：的傅里叶变换。:(t _2)解：f(t)n0(t-2)二(t - 2)= 2sa2：(t-2)g4-(t) i 4：Sa(2z;)利用对称性有 4：Sa(2z;)i 2.g4_.(-)Tl Tl故 2Sa(2 二t)，2g4-.(-)根据傅里叶变换的时移特性，得f(t)的傅里叶变换为f(t) =2SaL2 (t-2). g-( )e2 7、求信号f (t)二e(t - 2)的傅里叶变换。解：基本信号j (t)的傅里叶变换为；.(t - 1由时移

5、特性，有、；(t -2)e2 又由频移特性，得 f(t)的傅里叶变换为f(t)二e：(t-2)6(=一 18、求信号f (t) = ；( t1)的傅里叶变换。21解：由常见信号;(t)的傅里叶变换；(t)_ 3 )-1e根据傅里叶变换的时移特性，有 ；(t-1)尸二、() e -二、() jo再根据傅里叶变换尺度变换特性，即可得 f(t)的傅里叶变换为11 e2*f(t) = ；( tT)i2二、(2，) e2 二二、.()2j2国 j1解：由f(t)波形，可写出其表达式为 f(t)二一tg2.(t)X根据傅里叶变换的时移特性和线性性质，有f(t)二 _、.(t .)仝(t 7) 1tg2 (

6、t) i ee 2Sa(. J 二 2sin( -2cos(.)T TO于是，由傅里叶变换的时域积分特性，得 f(t)的频谱为10、若已知f(t)F( j )，试求下列函数的频谱。(1)tf(2t)(2)(t -2)f (t)(3)严dt(4)f(1_t)(5)(1-t)f(1 -t)(6) f(2t_5)(7)2 f( )d(8)ejt f (3 - 2t)df (tk 1(9) * dt 毗1CC解：(1 )由尺度变换特性，有 f(2t) F( j )22再根据频域的微分特性，得 (-jt)f(2t)1 d F(j )2 d 2所以，有 tf (2th j- F( j -)2 d灼 2(2

7、 )由频域微分特性，得(-jt)f(t)* F(j )do则 tf (th - j F(j )de根据线性性质，有(t -2)f(th j F(j 0-2F(j ) d-J(3) 由时域微分特性，可知 f(t)jF(j)t再根据频域的微分特性，得 (-jt)Qf(t)j F(j )t所以，有 t - f(th jj F(j )-F(j 0 F(j )t(4)由时移特性，得 f(1 th F(j )ej 再根据尺度变换特性(a=-1)，有f(1t)F( jB)e-J(5)由第二问知，tf (th j F( j )d再根据时移特性，有(t 1) f (t 1) jer F( j )Qtf C)d*

8、 - fi(1 _t)2根据傅里叶变换的积分特性，得再根据反转特性，得d . d(1 _t)f(1 _t), jeF( j )- 一 je F( j )d (-) d(6)由时移特性，有f (t -5)， F(j Je5 再根据尺度变换特性，得 f(2t -5 丄F(j二)2 2t(7)设 f,(t)二 f ( )d .则0t F ( jco)f1 (t) f(.)d* F(0)()f j 再由时移特性，得 f1(t 1 二 F(0) F( j ej ：F(0 ( ) F( j )ej jo j怕1 应用尺度变化特性，有fi(3+1) 存tfG)d2肝(0疋(-2灼)+ 72町2勻 2 皿 -

9、j 21 即方肛jiF(0疋) + F(_j2豹)e*j -(8)由时移特性，有 f(3 th F(j )ej3 31再根据尺度变换特性，得蛍一參f(3-2t) F(-j )e 222 (9)根据时域微分特性，得 j F(j )dt1又有 jsgn( J珥利用时域卷积定理， 得 df(t)* 1 jaF(ja)Ljsg n(a)l=asg n(m)F (jm) F (jm)dt 珥由于 g0(th 2 0Sa( 0 )，则利用对称性，得 2 0Sa( 0t - 2：g0()故 0 Sa(，ot)尸 g2.0( J兀 w则可知 F( j J 的傅里叶逆变换为 F *F( j ) =-Sa(0t)

10、二Sin( ot)二 Sin( ot)二 二，0t 二 t12、 求函数F (j )二 (门亠门0)仝(；：.；：,o)的傅里叶逆变换。解：由于仁 2二、()1根据线性性质，得(J2兀1 1根据频移特性，得 ej0tr 秆心亠心0),ef，(；-； ；讥)2兀 2兀则由线性性质，得 F( j ) =(；：心)-( 5)的傅里叶逆变换为F F(j )二丄/ Q ej ot2- 2- j 二13、 求函数F(j)= 2cos(3)的傅里叶逆变换。解：由于(th 1，则利用时移特性：.(t 3 ej3；：(t-3)e故有 2cos(3o) =ej3豹+e3豹 6(t +3) +6(t _3)即得2c

11、os(3 )的傅里叶逆变化为 F JF(j )F2cos(3 J -(t - 3) (3)14、 禾U用傅里叶变换性质，求下图所示的函数的傅里叶逆变换。解：由图所示的 F(j.) 1的幅频特性F(jj 1和相频特性 ()，可得由于g2(t)2%Sa(w)，可利用对称性，得02，Sa( yt)，2二g2 ( ),Sa(，t)， g? ( J再根据时移特性，得 F(j- ) 1的傅里叶逆变换为F JF(j )二 FAej t0g2。() = ASa g(t t。) n解：将f (t)的门函数表示为f(t)二g2(t 2) g2(t -2)由于 g2(t) 2Sa( )根据时移特性，有 g2(t 2

12、 - 2SaC ,g2(t-2)，- 2Sa )j2 再由线性性质，则可得 f (t)的频谱F(j ) 1为F(j ) l-2Sa( )ej2 2Sa(归十4sin cos(2 )o16、一个周期为 T的周期信号f (t)，已知其指数形式的傅里叶系数为 Fn ,求周期信号f(t)二f(t -t。)的傅里叶系数。解：将周期信号展开为傅里叶级数为 f(t) - ： Fnejtln =3qQ其傅里叶变换为F()=2.二Fn-：(y-n=)njQO由 时 移 特 性， 知 f (t) 的 傅 里 叶 变 换 为oO O0F(j )=et0F(j ) =et0 2斤、(一 n)=2二、(ejFn)、。一

13、 n)n-； n 二二由此可知f(t)的傅里叶系数为eMFn17、 一个周期为 T的周期信号f (t)，已知其指数形式的傅里叶系数为 Fn ,求周期信号f(t)二f(t)的傅里叶系数。解：根据反转特性，知 f (t) 的傅里叶变换为oC oO O0F( j)二 F(j ) =2 二Fn、(一一 n)=2 二、Fn、(一 n)=2 二 卩、(一2)n 二； n =:二 n =:】由此可知f(t)的傅里叶系数为F18、 一个周期为 T的周期信号f (t)，已知其指数形式的傅里叶系数为 Fn ,求周期信号f(t)=业9的傅里叶系数。dt解：根据时域微分特性，得 f(t)的傅里叶变换为0 Q0F( j

14、 )二 j F(j J = j 2 二 Fn、(，一 n)=2 二 (jn 门 Fn)、( n)n二； n 二二由此可知f(t)的傅里叶系数为jn1 Fn19、 一个周期为 T的周期信号f (t)，已知其指数形式的傅里叶系数为 Fn ,求周期信号f (t)二f (at), a 0的傅里叶系数。根据尺度变换特性，知 f(t)的傅里叶变换为7 F“a、(，- na)=2八 F, (，- na1)n n由此可知f (t)的傅里叶系数仍为 Fn,但基波角频率由 变为a1。20、求微分方程y(t) 3y(t) 2y(tf(t)所描述系统的频率响应 H(j)解：对方程两边去傅里叶变换，根据时域微分特性及线

15、性性质有j 丫 j 3( j )Y( j ) 2Y(j 0 -(j -)F(j )经整理，得系统的频率响应 H(j)为日(.)=耳丄F(jw) (jw) +3jo +221、某LTI系统的频率响应H j申i= 2 _ j ，若系统输入f(t)二COS(2t)，求该系统的输2 十 jco出 y(t)。解：F(j)=Ff(t) =Fcos(2t)=二(2) 2)故系统的输出的傅里叶变换丫 j = H j，F j =二、( 2) 、( 一 2) 2 匸2+ j二( 2)乞2 、( - 2) 2 一 j22 + j2 2+j2=j 二、( 2) -、( 一 2)取其傅里叶逆变换，即得系统的输出为 y(

16、t)二sin(2t)(a)22、如图(a)所示的系统，带通滤波器的频率响应如图( b)所示，其相频特性 ()=0,(b)解：由于 g4-(t) r 4二Sa(2二)，根据对称性，有 4 Sa(2 t) 2 g.()由线性性质，可得 f (t) /n(2 t) =sa(2：t)i 1 gC )2毗 21即f (t)的傅里叶变换为F(j)=3g4_( J1由频移特性，得 f(t)s(t) =Sa(2二t)cos(IOOOt) gj，-1000) g( 1000)4由图(b)，知带通滤波器的响应为 H(jco) = g2(-1000)+g2(+1000)系统输出y(t)的频谱为丫()=Ff(t)s(

17、t)H()1二 Ig,( .-1000) g4-(1000)g2( -1000) g2( 1000)41g2( -100) g2( 1000)41由一Sa(th g2()和频移特性，求 Y()的傅里叶逆变换，则可得y(t)二 1 Sa(t)ej1000t e1000tH 1 Sa(t) cos(1000t)4兀 2兀23、有限频带信号 f(t)的最高频率为100Hz,若对下列信号进行时域取样，求最小取样频率fs。(1) f (3t) ( 2)f 2(t) ( 3)f(t)* f(2t) ( 4)f (t) f 2(t)解：(1 )设 f (t)F( j )1 由尺度变换特性，有 f(3t) F

18、(j )33则f (3t)的最高频率为f1m =3fm =300Hz由时域取样定理可知，最小取样频率为 fs =2fjm =600Hz(2)设 f(t), - F(j )2 1由频域卷积定理得 f 2(t) = f (t)f (t) F j- F j 2兀 亠 1 亠F (j )的最咼频率为100Hz，贝U F (j F (j )的最咼频率为200Hz，记为2兀f2m =200Hz由时域取样定理可知，最小取样频率为 fs =2f2m =400Hz(3 )由尺度变换特性，有 f(2t)2 21时由频域卷积定理得 f(t)*f(2t)F(j O-F(j-221 :-因为F(j)的最高频率为100H

19、z,而F(j)的最高频率为200Hz，故F()一F(j )的2 2 2最高频率为f3m =100Hz由时域取样定理可知，最小取样频率为 fs =2f3m =200Hz1(4)由第(2)问可知 f (t) f2(t)F j F j * F j 2兀（a）s（j2二f）二 Fs（t）二 Frs（t） =2兀 、（2二f 2n二fs）n-.:由卷积定理，可得 fs(t)频谱为1Fsgf）亍 F（j2S（j2f）10二、（2 f ） 2二、（2 f 2二fi） 2二、（2二f -2二fi）二、（2二f 4：fi）2 二QO二、（2二f -4：f1）*：f （：f -2n二fs）n =joOQO=f10二、（2二f -2n二fs） 2二、（2二f 2苗-2n二fs） 2二、（2二f -2-2n二fs）n :二、（2二f 4苗 -2n二fs）亠门（2二f -4茁 -2n二fs）由题知，f1kHz, fs =5kHz,而f (t)的最高频率 臨=2 = 2kHz,故f2 2fm ,取样信号fs (t)的频谱不发生混叠，其在(-10KHz，10KHz )的频谱如图(b)所示。(2)若由取样信号fs(t)恢复信号，理想低通滤波器的截止频率 fc应满足fm ： f： fs- fm即 2kHz ： fc : 3kHz