第四章傅里叶变换和系统的频域分析.docx
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第四章傅里叶变换和系统的频域分析
二t
（1）确定并画出H1（）
1如图所示的四个LTI系统中
.2-jvvh
d「sin（ct）j「
hi（t）[c],出（J=ec
dt2rt
h3（t）二^^^也⑴二；（t）
（2）复合系统的冲激响应h（t）为?
所以H1（j•）=2j02c（「）
其图像如下图所示
（2）由图像可知，复合系统的冲激响应为h（t^h1（t）*[^h2（t）]*h3（t）*h4（t）
由时域卷积定理，得H（j）汀心）H3（j）H4（j）[1-H2（j）]
又帥邛3"出仃「叭H4（j'+"）
所以
j2r-■
11
H（jJ=j•1[二（）][1-ec]
2jo
1d—'
=；[1—ec],■
h（t）
sinjt）sin['c（t：
c）]
2n
sin（泣）
t（2二_•吐）
（3）
f（t）
F（j0=■2c）-、（‘-2c）］二［、（■上）、（c）］
22
所以
Y（jJ^H（j）F（j）［1—ec］二［、（」）、（，
2-
［、.（c）］［ej、（c）e（‘
2222
=呱、（•寸）、（c）］
22
■-”t
可得输出为y（t）=cos（』）
2
2、求周期信号ej100t的基波角频率门和周期T。
解：
角频率鳥-100rad/s,周期T=—
Q100
兀
s
50
3、求周期信号cos（^：
t）cos（^：
t）cos（5t）的基波角频率门和周期
T。
解：
cos（2「t）、cos（3「：
t）、cos（5「：
t）的角频率分别为1^=2二，门2-3~，/'3=5二，取三者
2兀2兀
的最大公约数为二，即其三项的和信号的基波角频率；」-二rad/s,周期T=22
n
4、用直接计算傅里叶系数的方法，求下图所示周期函数的傅里叶系数（三角形式或指数形式）。
二2s
兀
解：
由f（t）波形，如周期T=4，角频率门
数傅里叶系数
2■:
■:
■，根据指数傅里叶系数定义式，得指
2
Fn
12
—2rf（t）eTT
1_jn•t1
2dt=_
4
Jn2
1（e2-e2）
e
-jn■:
-1
^sin（）,n=1,_1,_2…
2
5、求下图所示信号的傅里叶变换。
1丁
解：
由f（t）波形写出表达式f（t）t,^：
t：
：
[0,其他
根据傅里叶变换定义，得f（t）的傅里叶变换为
1
卩（「）=」（啊葩0-”『jj
e”1
6•、利用对称性求函数f（t）二Sin[2（t「2）],」：
:
:
:
t：
：
：
：
：
的傅里叶变换。
■:
（t_2）
解：
f（t）」n0（t-2）]
二（t-2）
=2sa[2：
（t-2）]
g4-（t）i4：
Sa（2z;）利用对称性有4：
Sa（2z;）i2~.g4_.（--）
TlTl
故2Sa（2二t），2g4-.（-）
根据傅里叶变换的时移特性，得f（t）的傅里叶变换为
f（t）=2SaL2（t-2）].g-（）e」2•
7、求信号f（t）二e（t-2）的傅里叶变换。
解：
基本信号j（t）的傅里叶变换为；.（t^-1
由时移特性，有、；（t-2）「e」2'
又由频移特性，得f（t）的傅里叶变换为f（t）二e』：
（t-2）「6」（=
一1
8、求信号f（t）=；（t「1）的傅里叶变换。
2
1
解：
由常见信号;（t）的傅里叶变换；（t）_'3^■）-
1e"
根据傅里叶变换的时移特性，有；（t-1）尸[二、（）]e‘-二、（■）■
jo
再根据傅里叶变换尺度变换特性，即可得f（t）的傅里叶变换为
11e」2*^
f（t）=；（tT）i2［二、（2，）e^2］二二、.（）
2j2国j«
1
解：
由f（t）波形，可写出其表达式为f（t）二一tg2.（t）
X
根据傅里叶变换的时移特性和线性性质，有
f'（t）二_、.（t.）仝（t7）1tg2（t）ie」—e〉'2Sa（.J二2sin（―-2cos（.）
TTO
于是，由傅里叶变换的时域积分特性，得f（t）的频谱为
10、若已知f（t）「F（j），试求下列函数的频谱。
（1）
tf（2t）
（2）
（t-2）f（t）
（3）严⑴
dt
（4）
f（1_t）
（5）
（1-t）f（1-t）
（6）f（2t_5）
（7）
2f（）d
（8）
ejtf（3-2t）
df（tk1
（9）*—
dt毗
1CC
解：
（1）由尺度变换特性，有f（2t）F（j）
22
再根据频域的微分特性，得（-jt）f（2t）「1dF（j）
2d⑷2
所以，有tf（2thj-—F（j-）
2d灼2
（2）由频域微分特性，得（-jt）f（t）*—F（j）
do
则tf（th-j—F（j）
de
根据线性性质，有（t-2）f（thj—F（j0-2F（j）d®
-J
（3）由时域微分特性，可知f（t）「j「F（j「）
t
再根据频域的微分特性，得（-jt）Qf（t）「—[jF（j）]
t
所以，有t-f（thj—[jF（j）^-[F（j0■—F（j）]
t
（4）由时移特性，得f（1thF（j）ej■
再根据尺度变换特性（a=-1），有f（1—t）㈠F（—jB）e"^
-J
（5）由第二问知，tf（thjF（j）
d①
再根据时移特性，有（t1）f（t1）jer—F（j■）
Qt
fC）d*-fi（1_[t）
2
根据傅里叶变换的积分特性，得
再根据反转特性，得
d.d
（1_t）f（1_t）,jeF（—j‘）-一je」F（—j‘）
d（-©）d«
（6）由时移特性，有
f（t-5），F（jJe」5'
再根据尺度变换特性，得f（2t-5^丄F（j二）
22
t
（7）设f,（t）二f（）d.则
——^0
tF（jco）
f1（t）f（.）d*F（0）（）
fj■
再由时移特性，得f1（t1^[二F（0）"・）•F（j^]ej：
F（0^（）F（j）ej'
joj怕
1■
应用尺度变化特性，有fi（—3+1）㈠存tfG）d£㈠2[肝（0疋（-2灼）+"72町「2勻2皿-j2
1■
即[方^⑴肛㈠jiF（0疋©）+F（_j2豹）e*
j-
（8）由时移特性，有f（3thF（j）ej3■
3
1
再根据尺度变换特性，得
蛍一參
f（3-2t）F（-j）e2
22
（9）根据时域微分特性，得jF（j）
dt
1
又有jsgn（J
珥
利用时域卷积定理，得df（t）*1㈠jaF（ja）Ljsgn（a）l=asgn（m）F（jm）F（jm）
dt珥
由于g^0（th20Sa（0），则利用对称性，得20Sa（0t^-2：
g^0（'）
故0Sa（，ot）尸g2.0（J
兀w
则可知F（jJ的傅里叶逆变换为F*F（j•）]=-°Sa（「0t）二」Sin（ot）二Sin（ot）
二二，0t二t
12、求函数F（j）二'（门亠门0）仝（；：
.；：
o）的傅里叶逆变换。
解：
由于仁2二、（•）
1
根据线性性质，得——「「（J
2兀
11
根据频移特性，得——ej0tr秆心亠心0）,——ef，'（；•-；•；讥）
2兀2兀
则由线性性质，得F（j•）=>'（；「：
心）--（•5）的傅里叶逆变换为
F[F（j•）]二丄/Q^—ejot
2-2-j二
13、求函数F（j「）=2cos（3「）的傅里叶逆变换。
解：
由于（th1，则利用时移特性：
.（t3^ej3；：
（t-3）「e"'
故有2cos（3o）=ej3豹+e」3豹㈠6（t+3）+6（t_3）
即得2cos（3）的傅里叶逆变化为FJ[F（j）^F」[2cos（3J]-・（t-3）（^3）
14、禾U用傅里叶变换性质，求下图所示的函数的傅里叶逆变换。
«
解：
由图所示的F（j.）1的幅频特性F（jj1和相频特性（■），可得
由于g2®（t）㈠2%Sa（w），可利用对称性，得
©0
2，°Sa（yt），2二g2°（‘）,〒Sa（，°t），g?
°（J
再根据时移特性，得F（j-）1的傅里叶逆变换为
FJ[F（j）]二F」[Aejt0g2。
（「）]=A^Sag（tt。
）]n
解：
将f（t）的门函数表示为f（t）二g2（t2）g2（t-2）
由于g2（t）—2Sa（■）
根据时移特性，有g2（t2^-2SaC,g2（t-2），-2Sa^）^j2'
再由线性性质，则可得f（t）的频谱F（j）1为
F（j■）l-2Sa（）ej2'2Sa（归十'~4sincos
（2）
o
16、一个周期为T的周期信号f（t），已知其指数形式的傅里叶系数为Fn,求周期信号
f（t）二f（t-t。
）的傅里叶系数。
解：
将周期信号展开为傅里叶级数为f（t）-'〔：
Fnej^tl
n=3
qQ
其傅里叶变换为F（「）=2.•.二Fn-：
（y-n=）
n^jQO
由时移特性，知f（t）的傅里叶变换为
oOO0
F（j・•）=e」t0F（j•）=e」t02^'斤、（一n「」）=2二、（ej’Fn）、。
一n"）
n-；n二二
由此可知f（t）的傅里叶系数为e』MFn
17、一个周期为T的周期信号f（t），已知其指数形式的傅里叶系数为Fn,求周期信号
f（t）二f（—t）的傅里叶系数。
解：
根据反转特性，知f（t）的傅里叶变换为
oCoOO0
F（j・•）二F（—j）=2二Fn、•（一一n「）=2二、Fn、（一n「）=2二'卩』、（一2）
n二；n=:
二n=:
】
由此可知f（t）的傅里叶系数为F」
18、一个周期为T的周期信号f（t），已知其指数形式的傅里叶系数为Fn,求周期信号
f（t）=业9的傅里叶系数。
dt
解：
根据时域微分特性，得f（t）的傅里叶变换为
□0Q0
F（j•）二jF（jJ=j・2二'Fn、（，一n「」）=2二'（jn门Fn）、（■—n"）
n二；n二二
由此可知f（t）的傅里叶系数为jn1Fn
19、一个周期为T的周期信号f（t），已知其指数形式的傅里叶系数为Fn,求周期信号
f（t）二f（at）,a0的傅里叶系数。
根据尺度变换特性，知f（t）的傅里叶变换为
7F“a、（，-na」）=2八F,（，-na1）
nn
由此可知f（t）的傅里叶系数仍为Fn,但基波角频率由「变为a1。
20、求微分方程y''（t）3y'（t）2y（t^f'（t）所描述系统的频率响应H（j「）
解：
对方程两边去傅里叶变换，根据时域微分特性及线性性质有
j丫j■3（j■）Y（j■）2Y（j0-（j-）F（j■）
经整理，得系统的频率响应H（j「）为日（「.）=耳丄
F（jw）（jw）+3jo+2
21、某LTI系统的频率响应Hj申i=2_j•，若系统输入f（t）二COS（2t），求该系统的输
2十jco
出y（t）。
解：
F（j「）=F[f（t）]=F[cos（2t）]=二[「（「2）•2）]故系统的输出的傅里叶变换
丫j=Hj，Fj=二[、（•2）、（一2）]2匸
2+j®
二[（•2）乞」2、（•-2）2一j2]
2+j22+j2
=j二[、（■2）-、（一2）]
取其傅里叶逆变换，即得系统的输出为y（t）二sin（2t）
（a）
22、如图（a）所示的系统，带通滤波器的频率响应如图（b）所示，其相频特性「（’）=0,
（b）
解：
由于g4-（t）r4二Sa（2二），根据对称性，有4Sa（2t）^2g^.（）
由线性性质，可得f（t）/n（2t）=sa（2：
t）i1g^C）
2毗2
1
即f（t）的傅里叶变换为F（j・）=3g4_（J
1
由频移特性，得f（t）s（t）=Sa（2二t）cos（IOOOt）[gj，-1000）g「（•1000）]
4
由图（b），知带通滤波器的响应为H（jco）=g2（①-1000）+g2（①+1000）
系统输出y（t）的频谱为
丫（「）=F[f（t）s（t）]H（「）
1
二I[g,（.-1000）g4-（「1000）][g2（・-1000）g2（'1000）]
4
1
[g2（■-100°）g2（■1000）]
4
1
由一Sa（thg2（「）和频移特性，求Y（「）的傅里叶逆变换，则可得
y（t）二1Sa（t）[ej1000te^1000tH1Sa（t）cos（1000t）
4兀2兀
23、有限频带信号f（t）的最高频率为100Hz,若对下列信号进行时域取样，求最小取样频
率fs。
（1）f（3t）
（2）f2（t）（3）f（t）*f（2t）（4）f（t）f2（t）
解：
（1）设f（t）「F（j）
1©
由尺度变换特性，有f（3t）F（j）
33
则f（3t）的最高频率为f1m=3fm=300Hz
由时域取样定理可知，最小取样频率为fs=2fjm=600Hz
（2）设f（t）,-F（j‘）
21
由频域卷积定理得f2（t）=f（t）f（t）Fj-Fj■
2兀
•亠1亠
F（j■）的最咼频率为100Hz，贝UF（jF（j■）的最咼频率为200Hz，记为
2兀
f2m=200Hz
由时域取样定理可知，最小取样频率为fs=2f2m=400Hz
（3）由尺度变换特性，有f（2t）「
22
1时
由频域卷积定理得f（t）*f（2t）「F（jO-F（j-
22
1■:
■-
因为F（j「）的最高频率为100Hz,而F（j—）的最高频率为200Hz，故F（「）一F（j）的
222
最高频率为f3m=100Hz
由时域取样定理可知，最小取样频率为fs=2f3m=200Hz
1
（4）由第
（2）问可知f（t）•f2（t）「FjFj■*Fj■
2兀
（a）
s（j2二f）二F［s（t）］二F［rs（t）］=2兀'、（2二f—2n二fs）
n-..:
:
由卷积定理，可得fs（t）频谱为
1
Fsgf）亍F（j2"S（j2f）
［10二、（2f）2二、（2f2二fi）2二、（2二f-2二fi）二、（2二f4：
fi）
2二
QO
二、（2二f-4：
f1）］*［^：
f^（^：
f-2n二fs）］
n=joO
QO
=f「［10二、（2二f-2n二fs）2二、（2二f2苗-2n二fs）2二、（2二f-2^-2n二fs）
n:
二、（2二f4苗-2n二fs）亠门（2二f-4茁-2n二fs）］
由题知，f^1kHz,fs=5kHz,而f（t）的最高频率臨=2£=2kHz,故f22fm,取样信号
fs（t）的频谱不发生混叠，其在（-10KHz，10KHz）的频谱如图（b）所示。
（2）若由取样信号fs（t）恢复信号，理想低通滤波器的截止频率fc应满足fm：
：
：
f「：
fs-fm
即2kHz：
：
fc:
:
3kHz
升级会员 