八年级数学竞赛例题专题讲解23面积的计算.docx

1、八年级数学竞赛例题专题讲解23面积的计算专题23 面积的计算 计算图形的面积是几何问题中一种重要题型，计算图形的面积必须掌握如下与面积有关的重要知识：1.常见图形的面积公式；2等积定理：等底等高的两个三角形面积相等；3.等比定理：(1) 同底（或等底）的两个三角形面积之比等于等于对应高之比；同高（或等高）的两个三角形面积之比等于等于对应底之比.(2) 相似三角形的面积之比等于对应线段之比的平方.熟悉下列基本图形、基本结论：例 题 与 求 解【例1】如图，ABC内三个三角形的面积分别为5，8，10，四边形AEFD的面积为，则_. （黄冈市竞赛试题）解题思路：图中有多对小三角形共高，所以可将面积比

2、转化为线段之比作为解题突破口. 例1图【例2】如图，在ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BDCE，BD4，CE6，那么ABC的面积等于 ( ) (全国初中数学联赛) A12 B14 C16 D18 解题思路：由中点想到三角形中位线，这样ABC与四边形BCDE面积存在一定的关系. 例2图【例3】如图，依次延长四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，使，若S四边形EFGH2S四边形ABCD，求的值. 解题思路：添加辅助线将四边形分割成三角形，充分找出图形面积比与线段比之间的关系，建立关于的方程. 例3图【例4】如图，P，Q是矩形ABCD的边BC和CD延长线上的两点，

3、PA与CQ相交于点E，且PADQAD，求证：S矩形ABCDSAPQ.解题思路：图形含全等三角形、相似三角形，能得到相等的线段、等积式，将它们与相应图形联系起来，促使问题的转化. 例4图【例5】如图，在RtABC中，A90，AB8，AC6，若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，移动速度为每秒2个单位长度. 过点D作DEBC交AC于点E，设动点D运动的时间为秒，AE的长为y.(1) 求出y关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2) 当为何值时，BDE的面积S有最大值，最大值为多少？ (江西省中考试题)解题思路：对于(1)利用ADEABC可得y与的关系式；对于(2)先写出S关于的函数关

4、系式，再求最大值. 例5图【例6】如图，设P为ABC内任意一点，直线AP，BP，CP交BC，CA，AB于点D，E，F.求证：(1) 1；(2)2解题思路：过点A，P分别作BC的垂线，这样既可得到平行线，产生比例线段，又可以与面积联系起来，把 转化为面积比，利用面积法证明. 例6图 A 级1如图， ABCD中，AEBE12，SAEF6cm2，则SCDF的值为_. (济南市中考试题)2如图，正六边形ABCDEF的边长为2cm，P为正六边形内任一点，则点P到各边距离之和为_. 第1题图第2题图第3题图3如图，P是边长为8的正方形ABCD外一点，PBPC，PBD的面积等于48，则PBC的面积为_. (

5、北京市竞赛试题)4如图，已知BOF，AOF，BOD，COE的面积分别为30，40，35，84，则ABC的面积为_. (浙江省竞赛试题)5如图，已知AD是RtABC斜边BC上的高，DE 是RtADC斜边上的高，如果DCAD12， SDCEa，那么SABC等于 ( ) (金华市中考试题)A4a B9a C16a D25a 第4题图第5题图第6题图6如图，已知M是 ABCD边AB的中点，CM交BD于点E，则图中阴影部分面积与 ABCD的面积之比为（ ） （山西省中考试题）A B C D 7如图，在ABC中，DEBC，DE分别交AB，AC于点D，E，若SADE2SDCE，则等于( ) (浙江省宁波市中

6、考试题)A B C D 8如图，ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分面积面积为（ ）cm2. (广东省竞赛试题)A4 B2 C3 D4 第7题图 第8题图 第9题图9如图，平面上有两个边长相等的正方形ABCD和 ABCD，且正方形ABCD的顶点A在正方形ABCD的中心，当正方形ABCD绕A 转动时，两个正方形重合部分的面积必然是一个定值. 这个结论对吗？证明你的判断. （“希望杯”邀请赛试题）10如图，设凸四边形ABCD的一组对边AB，CD的中点分别为K，M.求证：S四边形ABCDSABMSDCK. 第10题图11如图1，AB，CD是两条

7、线段，M是AB的中点，SDMC，SDAC，SDBC分别表示DMC，DAC，DBC的面积，当ABCD时，有SDMC.(1) 如图2，若图1中AB与CD不平行时，式是否成立？请说明理由.(2) 如图3，若图1中AB与CD相交于点O时， 问SDMC与SDAC和SDBC有何相等关系？试证明你的结论. （安徽省中考试题） 12如图，在ABC中，ACB90，ABC30，将ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为（0180），得到ABC.(1) 如图1，当ABCB时，设AB与CB相交于点D，证明：ACD是等边三角形；(2) 如图2，连接AA，BB，设ACA和BCB的面积分别为SACA和SBCB.求证：SACASB

8、CB13.(3) 如图3，设AC的中点为E，AB的中点为P，ACa，连接EP，当_时，EP长度最大，最大值是_. （安徽省中考试题）B 级1如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7cm2和11cm2，则CDE的面积等于_cm2. （武汉市竞赛试题）2如图，P为正方形ABCD内一点，PAPB10，并且P到CD边的距离也等于10，那么正方形ABCD的面积是_. (北京市竞赛试题) 3如图，四边形ABCD中，点E，F分别在BC，DC上，1，2，若ADF的面积为m，四边形AECF的面积为n (nm)，则四边形ABCD的面积为_. (全国初中数学联赛试题)第1题图第2题图第3题图

9、第4题图4如图，图形ABCD中，ABCD，AC和BD相交于点O，若AC5，BD12，中位线长为，AOB的面积为S1，OCD的面积为S2，则_. (山东省竞赛试题)5如图，分别延长ABC的三边AB，BC，CA至A，B，C，使得AA3AB，BB3BC，CC3AC，若SABC1，则SABC等于 ( ). A18 B19 C24 D27 (山东省竞赛试题)6如图，若ABCD是22的正方形，E是AB的中点，F是BC的中点，AF与DE相交于点I，BD和AF相交于点H，那么四边形BEIH的面积是 ( ) A B C D (江苏省竞赛试题) 第5题图 第6题图 第7题图7如图，矩形ABCD中，E是BC上的一点

10、，F是CD上的点，已知SABESADFSABCD，则的值等于 ( ) (北京市竞赛试题)A2 B3 C4 D58(1) 探究：如图1，在 ABCD的形外分别作等腰直角三角形ABF和等腰直角三角形ADE，FABEAD90，连接AC，EF. 在图中找一个与FAE全等的三角形，并加以证明. (2) 应用：以 ABCD的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图2，连接EF，GH，IJ，KL，若 ABCD的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积之和为_. （长春市中考试题） 9如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABADDC2cm，BC4cm，在等腰PQR中，QPR120，底边QR6cm， 点B，C，Q，

11、R在同一条直线l上，且C，Q两点重合，如果等腰PQR以1cm/s的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰PQR重合部分的面积记为Scm2.(1) 当t4时，求S的值；(2) 当4t10时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值. (广州市中考试题) 第9题图10有一根直尺的短边长为2cm，长边长为10cm，还有一块锐角为45的直角三角纸板，它的斜边长为12cm，如图1将直尺的短边DE放置与直角三角纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合 将直尺沿AB方向平移，如图2，设平移的长为cm(010)，直尺与三角形纸板重叠部分（图中阴影部分）的面积Scm2. (1) 当0时，S_，当时

12、，S_；(2) 当04时，求S关于的函数关系式；(3) 当410时，求S关于的函数关系式，并求出S的最大值. (徐州市中考试题) 11如图，设H是等腰三角形ABC的三边上的高线的交点，在底边BC保持不变的情况下，让顶点A至底边BC的距离变小（仍保持三角形为等腰三角形），这时的值变大、变小、还是不变?证明你的结论. (全国初中数学联赛试题) 第11题图12(1) 请你在图1中作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；(2) 如图2，点M是矩形ABCD内一定点，请你在图2中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；(3) 如图3，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DCOB，OB6，BC4，CD4. 开发区综合服务管理会(其占地面积不计)设在点P(4，2)处. 为了方便驻区单位，准备过点P修一条笔直的道路(路的宽不计)，并且使这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分. 你认为直线l是否存在?若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由. (陕西省中考试题)