八年级数学竞赛例题专题讲解23面积的计算.docx
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八年级数学竞赛例题专题讲解23面积的计算
专题23面积的计算
计算图形的面积是几何问题中一种重要题型,计算图形的面积必须掌握如下与面积有关的重要知识:
1.常见图形的面积公式;
2.等积定理:
等底等高的两个三角形面积相等;
3.等比定理:
(1)同底(或等底)的两个三角形面积之比等于等于对应高之比;同高(或等高)的两个三角形面积之比等于等于对应底之比.
(2)相似三角形的面积之比等于对应线段之比的平方.
熟悉下列基本图形、基本结论:
例题与求解
【例1】如图,△ABC内三个三角形的面积分别为5,8,10,四边形AEFD的面积为
,则
=________.(黄冈市竞赛试题)
解题思路:
图中有多对小三角形共高,所以可将面积比转化为线段之比作为解题突破口.
例1图
【例2】如图,在△ABC中,已知BD和CE分别是两边上的中线,并且BD⊥CE,BD=4,CE=6,那么△ABC的面积等于()(全国初中数学联赛)
A.12B.14C.16D.18
解题思路:
由中点想到三角形中位线,这样△ABC与四边形BCDE面积存在一定的关系.
例2图
【例3】如图,依次延长四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA至E,F,G,H,使
=
=
=
=
,若S四边形EFGH=2S四边形ABCD,求
的值.
解题思路:
添加辅助线将四边形分割成三角形,充分找出图形面积比与线段比之间的关系,建立关于
的方程.
例3图
【例4】如图,P,Q是矩形ABCD的边BC和CD延长线上的两点,PA与CQ相交于点E,且∠PAD=∠QAD,求证:
S矩形ABCD=S△APQ.
解题思路:
图形含全等三角形、相似三角形,能得到相等的线段、等积式,将它们与相应图形联系起来,促使问题的转化.
例4图
【例5】如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=8,AC=6,若动点D从点B出发,沿线段BA运动到点A为止,移动速度为每秒2个单位长度.过点D作DE∥BC交AC于点E,设动点D运动的时间为
秒,AE的长为y.
(1)求出y关于
的函数关系式,并写出自变量
的取值范围;
(2)当
为何值时,△BDE的面积S有最大值,最大值为多少?
(江西省中考试题)
解题思路:
对于
(1)利用△ADE∽△ABC可得y与
的关系式;对于
(2)先写出S关于
的函数关系式,再求最大值.
例5图
【例6】如图,设P为△ABC内任意一点,直线AP,BP,CP交BC,CA,AB于点D,E,F.
求证:
(1)
+
+
=1;
(2)
+
+
=2
解题思路:
过点A,P分别作BC的垂线,这样既可得到平行线,产生比例线段,又可以与面积联系起来,把
转化为面积比,利用面积法证明.
例6图
A级
1.如图,ABCD中,AE∶BE=1∶2,S△AEF=6cm2,则S△CDF的值为________.(济南市中考试题)
2.如图,正六边形ABCDEF的边长为2
cm,P为正六边形内任一点,则点P到各边距离之和为_______.
第1题图
第2题图
第3题图
3.如图,P是边长为8的正方形ABCD外一点,PB=PC,△PBD的面积等于48,则△PBC的面积为_____________.(北京市竞赛试题)
4.如图,已知△BOF,△AOF,△BOD,△COE的面积分别为30,40,35,84,则△ABC的面积为________.(浙江省竞赛试题)
5.如图,已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高,DE是Rt△ADC斜边上的高,如果DC∶AD=1∶2,S△DCE=a,那么S△ABC等于()(金华市中考试题)
A.4aB.9aC.16aD.25a
第4题图
第5题图
第6题图
6.如图,已知M是ABCD边AB的中点,CM交BD于点E,则图中阴影部分面积与ABCD的面积之比为()(山西省中考试题)
A.
B.
C.
D.
7.如图,在△ABC中,DE∥BC,DE分别交AB,AC于点D,E,若S△ADE=2S△DCE,则
等于()
(浙江省宁波市中考试题)
A.
B.
C.
D.
8.如图,△ABC是边长为6cm的等边三角形,被一平行于BC的矩形所截,AB被截成三等分,则图中阴影部分面积面积为()cm2.(广东省竞赛试题)
A.4B.2
C.3
D.4
第7题图
第8题图
第9题图
9.如图,平面上有两个边长相等的正方形ABCD和A′B′C′D′,且正方形A′B′C′D′的顶点A′在正方形ABCD的中心,当正方形A′B′C′D′绕A′转动时,两个正方形重合部分的面积必然是一个定值.这个结论对吗?
证明你的判断.(“希望杯”邀请赛试题)
10.如图,设凸四边形ABCD的一组对边AB,CD的中点分别为K,M.求证:
S四边形ABCD=S△ABM+S△DCK..
第10题图
11.如图1,AB,CD是两条线段,M是AB的中点,S△DMC,S△DAC,S△DBC分别表示△DMC,△DAC,△DBC的面积,当AB∥CD时,有S△DMC=
………..①.
(1)如图2,若图1中AB与CD不平行时,①式是否成立?
请说明理由.
(2)如图3,若图1中AB与CD相交于点O时,问S△DMC与S△DAC和S△DBC有何相等关系?
试证明你的结论.(安徽省中考试题)
12.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,将△ABC绕顶点C顺时针旋转,旋转角为θ(0°<θ<180°),得到△A′B′C′.
(1)如图1,当AB∥CB′时,设A′B′与CB相交于点D,证明:
△A′CD是等边三角形;
(2)如图2,连接A′A,B′B,设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′.求证:
S△ACA′∶S△BCB′=1∶3.
(3)如图3,设AC的中点为E,A′B′的中点为P,AC=a,连接EP,当θ=_____时,EP长度最大,最大值是____________.(安徽省中考试题)
B级
1.如图,A在线段BG上,ABCD和DEFG都是正方形,面积分别为7cm2和11cm2,则△CDE的面积等于___________cm2.(武汉市竞赛试题)
2.如图,P为正方形ABCD内一点,PA=PB=10,并且P到CD边的距离也等于10,那么正方形ABCD的面积是_______________.(北京市竞赛试题)
3.如图,四边形ABCD中,点E,F分别在BC,DC上,
=1,
=2,若△ADF的面积为m,四边形AECF的面积为n(n>m),则四边形ABCD的面积为___________.(全国初中数学联赛试题)
第1题图
第2题图
第3题图
第4题图
4.如图,图形ABCD中,AB∥CD,AC和BD相交于点O,若AC=5,BD=12,中位线长为
,△AOB的面积为S1,△OCD的面积为S2,则
+
=_________.(山东省竞赛试题)
5.如图,分别延长△ABC的三边AB,BC,CA至A′,B′,C′,使得AA′=3AB,BB′=3BC,CC′=3AC,若S△ABC=1,则S△A′B′C′等于().
A.18B.19C.24D.27
(山东省竞赛试题)
6.如图,若ABCD是2×2的正方形,E是AB的中点,F是BC的中点,AF与DE相交于点I,BD和AF相交于点H,那么四边形BEIH的面积是()
A.
B.
C.
D.
(江苏省竞赛试题)
第5题图
第6题图
第7题图
7.如图,矩形ABCD中,E是BC上的一点,F是CD上的点,已知S△ABE=S△ADF=
SABCD,则
的值等于()(北京市竞赛试题)
A.2B.3C.4D.5
8.
(1)探究:
如图1,在ABCD的形外分别作等腰直角三角形ABF和等腰直角三角形ADE,∠FAB=∠EAD=90°,连接AC,EF.在图中找一个与△FAE全等的三角形,并加以证明.
(2)应用:
以ABCD的四条边为边,在其形外分别作正方形,如图2,连接EF,GH,IJ,KL,若ABCD的面积为5,则图中阴影部分四个三角形的面积之和为____________.(长春市中考试题)
9.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC=2cm,BC=4cm,在等腰△PQR中,∠QPR=120°,底边QR=6cm,点B,C,Q,R在同一条直线l上,且C,Q两点重合,如果等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动,t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为Scm2.
(1)当t=4时,求S的值;
(2)当4≤t≤10时,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值.(广州市中考试题)
第9题图
10.有一根直尺的短边长为2cm,长边长为10cm,还有一块锐角为45°的直角三角纸板,它的斜边长为12cm,如图1将直尺的短边DE放置与直角三角纸板的斜边AB重合,且点D与点A重合将直尺沿AB方向平移,如图2,设平移的长为
cm(0≤
≤10),直尺与三角形纸板重叠部分(图中阴影部分)的面积Scm2.
(1)当
=0时,S=________,当
时,S=________;
(2)当0<
≤4时,求S关于
的函数关系式;
(3)当4<
<10时,求S关于
的函数关系式,并求出S的最大值.(徐州市中考试题)
11.如图,设H是等腰三角形ABC的三边上的高线的交点,在底边BC保持不变的情况下,让顶点A至底边BC的距离变小(仍保持三角形为等腰三角形),这时
的值变大、变小、还是不变?
证明你的结论.(全国初中数学联赛试题)
第11题图
12.
(1)请你在图1中作一条直线,使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分;
(2)如图2,点M是矩形ABCD内一定点,请你在图2中过点M作一条直线,使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分;
(3)如图3,在平面直角坐标系中,直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图,其中DC∥OB,OB=6,BC=4,CD=4.开发区综合服务管理会(其占地面积不计)设在点P(4,2)处.为了方便驻区单位,准备过点P修一条笔直的道路(路的宽不计),并且使这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分.你认为直线l是否存在?
若存在,求出直线l的表达式;若不存在,请说明理由.(陕西省中考试题)