八年级数学竞赛例题专题讲解23面积的计算.docx

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八年级数学竞赛例题专题讲解23面积的计算

专题23面积的计算

计算图形的面积是几何问题中一种重要题型，计算图形的面积必须掌握如下与面积有关的重要知识：

1.常见图形的面积公式；

2．等积定理：

等底等高的两个三角形面积相等；

3.等比定理：

（1）同底（或等底）的两个三角形面积之比等于等于对应高之比；同高（或等高）的两个三角形面积之比等于等于对应底之比.

（2）相似三角形的面积之比等于对应线段之比的平方.

熟悉下列基本图形、基本结论：

例题与求解

【例1】如图，△ABC内三个三角形的面积分别为5，8，10，四边形AEFD的面积为

，则

＝________.（黄冈市竞赛试题）

解题思路：

图中有多对小三角形共高，所以可将面积比转化为线段之比作为解题突破口.

例1图

【例2】如图，在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD＝4，CE＝6，那么△ABC的面积等于（）（全国初中数学联赛）

A．12B．14C．16D．18

解题思路：

由中点想到三角形中位线，这样△ABC与四边形BCDE面积存在一定的关系.

例2图

【例3】如图，依次延长四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA至E，F，G，H，使

＝

＝

＝

＝

，若S四边形EFGH＝2S四边形ABCD，求

的值.

解题思路：

添加辅助线将四边形分割成三角形，充分找出图形面积比与线段比之间的关系，建立关于

的方程.

例3图

【例4】如图，P，Q是矩形ABCD的边BC和CD延长线上的两点，PA与CQ相交于点E，且∠PAD＝∠QAD，求证：

S矩形ABCD＝S△APQ.

解题思路：

图形含全等三角形、相似三角形，能得到相等的线段、等积式，将它们与相应图形联系起来，促使问题的转化.

例4图

【例5】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝8，AC＝6，若动点D从点B出发，沿线段BA运动到点A为止，移动速度为每秒2个单位长度.过点D作DE∥BC交AC于点E，设动点D运动的时间为

秒，AE的长为y.

（1）求出y关于

的函数关系式，并写出自变量

的取值范围；

（2）当

为何值时，△BDE的面积S有最大值，最大值为多少？

（江西省中考试题）

解题思路：

对于

（1）利用△ADE∽△ABC可得y与

的关系式；对于

（2）先写出S关于

的函数关系式，再求最大值.

例5图

【例6】如图，设P为△ABC内任意一点，直线AP，BP，CP交BC，CA，AB于点D，E，F.

求证：

（1）

＋

＋

＝1；

（2）

＋

＋

＝2

解题思路：

过点A，P分别作BC的垂线，这样既可得到平行线，产生比例线段，又可以与面积联系起来，把

转化为面积比，利用面积法证明.

例6图

A级

1．如图，ABCD中，AE∶BE＝1∶2，S△AEF＝6cm2，则S△CDF的值为________.（济南市中考试题）

2．如图，正六边形ABCDEF的边长为2

cm，P为正六边形内任一点，则点P到各边距离之和为_______.

第1题图

第2题图

第3题图

3．如图，P是边长为8的正方形ABCD外一点，PB＝PC，△PBD的面积等于48，则△PBC的面积为_____________.（北京市竞赛试题）

4．如图，已知△BOF，△AOF，△BOD，△COE的面积分别为30，40，35，84，则△ABC的面积为________.（浙江省竞赛试题）

5．如图，已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高，DE是Rt△ADC斜边上的高，如果DC∶AD＝1∶2，S△DCE＝a，那么S△ABC等于（）（金华市中考试题）

A．4aB．9aC．16aD．25a

第4题图

第5题图

第6题图

6．如图，已知M是ABCD边AB的中点，CM交BD于点E，则图中阴影部分面积与ABCD的面积之比为（）（山西省中考试题）

A．

B．

C．

D．

7．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别交AB，AC于点D，E，若S△ADE＝2S△DCE，则

等于（）

（浙江省宁波市中考试题）

A．

B．

C．

D．

8．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分面积面积为（）cm2.（广东省竞赛试题）

A．4B．2

C．3

D．4

第7题图

第8题图

第9题图

9．如图，平面上有两个边长相等的正方形ABCD和A′B′C′D′，且正方形A′B′C′D′的顶点A′在正方形ABCD的中心，当正方形A′B′C′D′绕A′转动时，两个正方形重合部分的面积必然是一个定值.这个结论对吗？

证明你的判断.（“希望杯”邀请赛试题）

10．如图，设凸四边形ABCD的一组对边AB，CD的中点分别为K，M.求证：

S四边形ABCD＝S△ABM＋S△DCK..

第10题图

11．如图1，AB，CD是两条线段，M是AB的中点，S△DMC，S△DAC，S△DBC分别表示△DMC，△DAC，△DBC的面积，当AB∥CD时，有S△DMC＝

………..①.

（1）如图2，若图1中AB与CD不平行时，①式是否成立？

请说明理由.

（2）如图3，若图1中AB与CD相交于点O时，问S△DMC与S△DAC和S△DBC有何相等关系？

试证明你的结论.（安徽省中考试题）

12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A′B′C′.

（1）如图1，当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D，证明：

△A′CD是等边三角形；

（2）如图2，连接A′A，B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′.求证：

S△ACA′∶S△BCB′＝1∶3.

（3）如图3，设AC的中点为E，A′B′的中点为P，AC＝a，连接EP，当θ＝_____时，EP长度最大，最大值是____________.（安徽省中考试题）

B级

1．如图，A在线段BG上，ABCD和DEFG都是正方形，面积分别为7cm2和11cm2，则△CDE的面积等于___________cm2.（武汉市竞赛试题）

2．如图，P为正方形ABCD内一点，PA＝PB＝10，并且P到CD边的距离也等于10，那么正方形ABCD的面积是_______________.（北京市竞赛试题）

3．如图，四边形ABCD中，点E，F分别在BC，DC上，

＝1，

＝2，若△ADF的面积为m，四边形AECF的面积为n（n＞m），则四边形ABCD的面积为___________.（全国初中数学联赛试题）

第1题图

第2题图

第3题图

第4题图

4．如图，图形ABCD中，AB∥CD，AC和BD相交于点O，若AC＝5，BD＝12，中位线长为

，△AOB的面积为S1，△OCD的面积为S2，则

＋

＝_________.（山东省竞赛试题）

5．如图，分别延长△ABC的三边AB，BC，CA至A′，B′，C′，使得AA′＝3AB，BB′＝3BC，CC′＝3AC，若S△ABC＝1，则S△A′B′C′等于（）.

A．18B．19C．24D．27

（山东省竞赛试题）

6．如图，若ABCD是2×2的正方形，E是AB的中点，F是BC的中点，AF与DE相交于点I，BD和AF相交于点H，那么四边形BEIH的面积是（）

A．

B．

C．

D．

（江苏省竞赛试题）

第5题图

第6题图

第7题图

7．如图，矩形ABCD中，E是BC上的一点，F是CD上的点，已知S△ABE＝S△ADF＝

SABCD，则

的值等于（）（北京市竞赛试题）

A．2B．3C．4D．5

8．

（1）探究：

如图1，在ABCD的形外分别作等腰直角三角形ABF和等腰直角三角形ADE，∠FAB＝∠EAD＝90°，连接AC，EF.在图中找一个与△FAE全等的三角形，并加以证明.

（2）应用：

以ABCD的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图2，连接EF，GH，IJ，KL，若ABCD的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积之和为____________.（长春市中考试题）

9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝DC＝2cm，BC＝4cm，在等腰△PQR中，∠QPR＝120°，底边QR＝6cm，点B，C，Q，R在同一条直线l上，且C，Q两点重合，如果等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为Scm2.

（1）当t＝4时，求S的值；

（2）当4≤t≤10时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值.（广州市中考试题）

第9题图

10．有一根直尺的短边长为2cm，长边长为10cm，还有一块锐角为45°的直角三角纸板，它的斜边长为12cm，如图1将直尺的短边DE放置与直角三角纸板的斜边AB重合，且点D与点A重合将直尺沿AB方向平移，如图2，设平移的长为

cm（0≤

≤10），直尺与三角形纸板重叠部分（图中阴影部分）的面积Scm2.

（1）当

＝0时，S＝________，当

时，S＝________；

（2）当0＜

≤4时，求S关于

的函数关系式；

（3）当4＜

＜10时，求S关于

的函数关系式，并求出S的最大值.（徐州市中考试题）

11．如图，设H是等腰三角形ABC的三边上的高线的交点，在底边BC保持不变的情况下，让顶点A至底边BC的距离变小（仍保持三角形为等腰三角形），这时

的值变大、变小、还是不变?

证明你的结论.（全国初中数学联赛试题）

第11题图

12．

（1）请你在图1中作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；

（2）如图2，点M是矩形ABCD内一定点，请你在图2中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；

（3）如图3，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB，OB＝6，BC＝4，CD＝4.开发区综合服务管理会（其占地面积不计）设在点P（4，2）处.为了方便驻区单位，准备过点P修一条笔直的道路（路的宽不计），并且使这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分.你认为直线l是否存在?

若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由.（陕西省中考试题）