傅里叶变换公式47844.docx

1、傅里叶变换公式47844第 2章 信号分析本章提要 信号分类 周期信号分析 - 傅里叶级数 非周期信号分析 - 傅里叶变换 脉冲函数及其性质 信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量 信号分析 ：从信号中提取有用信息的方法 和手段2 1 信号的分类两大类： 确定性信号，非确定性信号 确定性信号 ： 给定条件下取值是确定 的。进一步分为：周期信号， 非周期信号。质量弹簧系 统的力学模型 x(t)= Acos Jt + om非确定性信号(随机信号)：给定条件下 取值是不确定的按取值情况分类：模拟信号，离散信号 数字信号：属于离散信号，幅值离散, 并用二进制表示。信号描述方法时域描述如简谐信号频域描

2、述以信号的频率结构来描述信号的方 法：将信号看成许多谐波（简谐信号）之 和，每一个谐波称作该信号的一个频率 成分，考察信号含有那些频率的谐波， 以及各谐波的幅值和相角。vpage break 2-2 周期信号与离散频谱 一、 周期信号傅里叶级数的三角函数形式周期信号时域表达式x(t)二 x(t T)= x(t 2T)=x(t nT)(n 1， 2，-)T:周期。注意n的取值：周期信号无始无 终”#傅里叶级数的三角函数展开式X：x(t)二 a。 (an cosn 0t bn sin n 0t)n=1 (n=1,2, 3,)傅立叶系数：a。1 : x(t)dtT T2Tbn2 2 J T x(t)

3、sinn 0tdtT石式中T -周期；，o-基频, o=2 /T三角函数展开式的另一种形式:N次谐波的幅值 N次谐波的频率Q0X（t）= ao + /心111 An COS（n级 gP 9 n） 一 丁 1、| N次谐波信号的均值，直流分量 N次谐波的相角bnarctg一 bnan1, 2, 3,周期信号可以看作均值与一系列谐波之和 -谐波分析法频谱图A41 0 2 o 周期信号的频谱三个特点： 离散性、谐 波性、收敛性例1 :求周期性非对称周期方波的傅立叶级数并画出频谱图解：非对称周期方波細 周期方波解：信号的基频奇函数：a。傅里叶系数an = bn T1 24 T= To! 4A n为奇数

4、t的偶函数 t x(t)sin n 0tdt2A2 Asin n 0tdt 1 cosn0 0 nn0 n为偶数n次谐波的幅值和相角bF= b4An(n = 1,3,5/ )最后得傅立叶级数An4A1 4A 4a n |3 033 3 0 5 3 0 32n频谱图幅频谱图 相频谱图二、 周期信号傅里叶级数的复指数形式欧拉公式2 t 丄 丄e = cos t j sin t或1cos t 二sin t=-it j te e2j eji- ej t2傅立叶级数的复指数形式二 1QOV jn%tX(t)二送 Cnen=00(n= 0, 1, 士 2, 士 3,)复数傅里叶系数 的表达式1 2co 二

5、 a 二一2rx(t)dtT -an jbn2T1 2TX(t)ejnotdt其中an, bn的计算公式与三角函数形式相 同，只是n包括全部整数。般Cn是个复数。因为an是n的偶函数，bn是n的奇函数, 因此 #an a-nb-n bn即：实部相等，虚部相反，Cn与C-n共轭。Cn的复指数形式Cn =Cne共轭性还可以表示为c- n =-*n_nj n即：Cn与C-n模相等，相角相反。傅立叶级数复指数也描述信号频率结 构。它与三角函数形式的关系对于n02 2an ( bn) _ An2（等于三角函数模的一半）c心忙n _ - arctg n _ arctg nan an- bnan相角相等）用

6、Cn画频谱：双边频谱第一种：幅频谱图：| Cn|-，相频谱图：n - #vpage break 2-3非周期信号与连续频谱分两类：a.准周期信号定义：由没有公共周期（频率）的周期 信号组成频谱特性：离散性，非谐波性判断方法：周期分量的频率比（或周期 比）不是有理数b.瞬变非周期信号x(t)x(t)I x(t)hJ -厂、ttt几种瞬变非周期信号数学描述：傅里叶变换一、 傅里叶变换演变思路：视作周期为无穷大的周期信号 式（2.22）借助（2.16）演变成：x(t)的傅里叶变换X( 3 )旳1x(t) - f7f x(t)e_tdt2 兀-oO定义x(t)的傅里叶变换X(3 )X( )= x(t)

7、e j tdt cdX( 3 )的傅里叶反变换x(t)：x(t)二Xf )ej tdoC对应关系:X ( )d1 jn，otCn JeX()描述了 x(t)的频率结构X()的指数形式为Xf ) = Xf )ej3以频率f (Hz)为自变量，因为f =w/(2p)，得 X ( f x(t)e sftdtoox(t)= jx(f)ej2EdfX( f )的指数形式X(f)= |x(f )|ej频谱图幅值频谱图和相位频谱图：幅值频谱图 相位频谱图如果X()是实函数，可用一张X()图表示 负值理解为幅值为X()的绝对值，相角为 7或。二、傅里叶变换的主要性质(1)叠加性a1x1(t)+ a2x2(t)

8、 - a1X1(f)+ a2X 2( f)(2)对称性X(t)-乩 x( f)(注意翻转)（三） 时移性质x（tt0）6 x（f）eft0（幅值不变，相位随f改变i2fto）（四） 频移性质x（t）ej2rfto -戸t x（f 千 f0）（注意两边正负号相反）（五） 时间尺度改变特性1 f x（at）= X（） a a（六）微分性质dnx(t) dtn(j2 f)nX(f)（七）卷积性质(1)卷积定义COx(tT y(t)丄 x )y(t 八妙(2)卷积定理x(t)” y(t)-戸-x(f)Y(f)x(t)y(t)-乩 x(f)”Y(f)脉冲函数及其频谱（一）脉冲函数：x(ty x(t)L-

9、1/s6 (t),1k A$ (t_ to)，/2U2 tto t定义函数（要通过函数值和面积两方面定义） 函数值:(t)= 0脉冲强度_:= (t)dt = 1（二）脉冲函数的样质1.脉冲函数的采性（相乘）样质：f oCx(t)(t3 0强度：j：x(t)$ (t - to)dt= x(to)1 (t - to)dt= x(to)结论：1.结果是一个脉冲，脉冲强度是x（t）在脉冲发生时刻的函数值2.脉冲函数与任意函数乘积的积分 等于该函数在脉冲发生时刻的的值。2.脉冲函数的卷积性质：(a)禾I O0x(t6 (i)= i x( )d (t 八妙oO=X(t)j(t 八)d=x(t)(b)利用

10、结论2QOx(t) (t - t0) = x( ) (t - t0 - )doQ=x(t- to)(t - to - )d=x(t- to)结论：平移（三）脉冲函数的频谱(t) F(f)= ： (t)ej2 dt= 1均匀幅值谱由此导出的其他3个结果(t t) ej2ft0（利用时移性质）1 FT f = f质)（利用对称性eft ft（厂 f）再用频移性质）（对上式,（四）正弦函数和余弦函数的频谱cos2 ft1-2 ft j2二 ft I FT 1 1 ,=e + e (f f0) (f 一 fj22 2sin 2 fte-j2二 ft2ej2“ fjfo)-fo)余弦函数的频谱正弦函数的频谱(f) (f)1/2a11/21/2foto-fofo f-fo fT -1/2vpage break