傅里叶变换公式47844.docx
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傅里叶变换公式47844
第2章信号分析
本章提要信号分类周期信号分析--傅里叶级数非周期信号分析--傅里叶变换脉冲函数及其性质信号：
反映研究对象状态和运动特征的物理量信号分析：
从信号中提取有用信息的方法和手段
§2－1信号的分类
两大类：
确定性信号，非确定性信号确定性信号：
给定条件下取值是确定的。
进一步分为：
周期信号，非周期信号。
质量—弹簧系—
统的力学模型x（t）=AcosJ—t+®o
m
非确定性信号（随机信号）：
给定条件下取值是不确定的
按取值情况分类：
模拟信号，离散信号数字信号：
属于离散信号，幅值离散,并用二进制表示。
信号描述方法
时域描述
如简谐信号
频域描述
以信号的频率结构来描述信号的方法：
将信号看成许多谐波（简谐信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。
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§2-2周期信号与离散频谱一、周期信号傅里叶级数的三角函数
形式
周期信号时域表达式
x（t）二x（tT）=x（t2T）…=x（tnT）
（n…1，2，-）
T:
周期。
注意n的取值：
周期信号无始无终”
#
傅里叶级数的三角函数展开式
X：
x（t）二a。
'（ancosn0tbnsinn0t）
n=1
（n=1,2,3,…）
傅立叶系数：
a。
1:
x（t）dt
TT
2
T
bn
22
—JTx（t）sinn^0tdt
T石
式中T--周期；，o--基频,■o=2/T
三角函数展开式的另一种形式:
N次谐波的幅值N次谐波的频率
Q0
X（t）=ao+£
/心
1—11AnCOS（n级gP9n）一丁1
、|N次谐波
信号的均值，直流分量N次谐波的相角
bn
arctg
一bn
an
1,2,3,
周期信号可以看作均值与一系列谐波之和--谐波分析法
频谱图
A4
1
㊂02o‘
]
周期信号的频谱三个特点：
离散性、谐波性、收敛性
例1:
求周期性非对称周期方波的傅立叶
级数并画出频谱图
解：
非对称周期方波
細周期方波
解：
信号的基频
奇函数：
a。
傅里叶系数
an=
bnT
12
4T
=
To
!
4An为奇数
t的偶函数tx（t）sinn0tdt
2A
2Asinn0tdt1cosn
00n
n
0n为偶数
n次谐波的幅值和相角
bF=b^4A
n
（n=1,3,5/）
最后得傅立叶级数
An」
4A
14A4a"n|
30
3
330530
…3
2
n
频谱图
幅频谱图相频谱图
二、周期信号傅里叶级数的复指数形
式
欧拉公式
±2t丄・・丄
e=cos®t±jsin®t
或
1
cost二
sint=
-itjt
ee
2
■
je~ji-ejt
2
傅立叶级数的复指数形式
二\1
QO
Vjn%t
X（t）二送Cne
n=—00
（n=0,±1,士2,士3,）
复数傅里叶系数的表达式
12
co二a°二一2rx（t）dt
T-
anjbn
2
T
12TX（t）ejnotdt
其中an,bn的计算公式与三角函数形式相同，只是n包括全部整数。
—般Cn是个复数。
因为an是n的偶函数，bn是n的奇函数,因此#
ana-n
b-nbn
即：
实部相等，虚部相反，Cn与C-n共轭。
Cn的复指数形式
Cn=
Cne
共轭性还可以表示为
c-n
♦=
-*
n
_n
jn
即：
Cn与C-n模相等，相角相反。
傅立叶级数复指数也描述信号频率结构。
它与三角函数形式的关系
对于n>0
22
an（bn）_An
2
（等于三角
函数模的一半）
c心
忙n_-arctgn_arctgn
anan
-bn
an
相角相等）
用Cn画频谱：
双边频谱
第一种：
幅频谱图：
|Cn|-，相频谱
图：
n-•
#
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§2-3非周期信号与连续频谱
分两类：
a.准周期信号
定义：
由没有公共周期（频率）的周期信号组成
频谱特性：
离散性，非谐波性
判断方法：
周期分量的频率比（或周期比）不是有理数
b.瞬变非周期信号
x（t）』
x（t）」
Ix（t）h
J-厂、
t
t
t
几种瞬变非周期信号
数学描述：
傅里叶变换
一、傅里叶变换
演变思路：
视作周期为无穷大的周期信号式（2.22）借助（2.16）演变成：
x（t）的傅里叶变换X（3）
旳1
x（t）-f
~7^
fx（t）e_""tdt
2兀-
—oO
定义x（t）的傅里叶变换X（3）
X（）=x（t）ejtdt
—cd
X（3）的傅里叶反变换x（t）：
x（t）二
Xf）ejtd
—oC
对应关系:
X（）d
1jn，ot
CnJe
X（）描述了x（t）的频率结构
X（）的指数形式为
Xf）=Xf）ej3
以频率f（Hz）为自变量，因为f=w/（2p），
得
X（f「x（t）e—sftdt
—oo
x（t）=j[x（f）ej2Edf
X（f）的指数形式
X（f）=|x（f）|ej"⑴
频谱图
幅值频谱图和相位频谱图：
幅值频谱图相位频谱图
如果X（）是实函数，可用一张X（）图表示负值理解为幅值为X（）的绝对值，相角为7或」。
二、傅里叶变换的主要性质
（1）叠加性
a1x1（t）+a2x2（t）-a1X1（f）+a2X2（f）
（2）对称性
X（t）-乩x（f）
（注意翻转）
（三）时移性质
x（t±t0）—6x（f）e"ft0
（幅值不变，相位随f改变i2fto）
（四）频移性质
x（t）e±j2rfto-戸tx（f千f0）
（注意两边正负号相反）
（五）时间尺度改变特性
1fx（at）=—X（—）aa
（六）微分性质
dnx（t）dtn
（j2f）nX（f）
（七）卷积性质
（1）卷积定义
CO
x（tTy（t）丄x£）y（t八妙
（2）卷积定理
x（t）”y（t）-戸-x（f）Y（f）
x（t）y（t）-乩x（f）”Y（f）
脉冲函数及其频谱
（一
）
脉冲函数：
x（ty‘
x（t）
L
—
-1/s
6（t）,
\
1
kA$（t_to）
，/2
U2
t
tot
定义•函数（要通过函数值和面积两方面定
义）函数值:
（t）=0
脉冲强度
_:
=（t）dt=1
（二）脉冲函数的样质
1.脉冲函数的采性（相乘）样质：
foC
x（t）（t30
强度：
j：
x（t）$（t-to）dt=x（to）1（t-to）dt=x（to）
结论：
1.结果是一个脉冲，脉冲强度是x（t）
在脉冲发生时刻的函数值
2.脉冲函数与任意函数乘积的积分等于该函数在脉冲发生时刻的的值。
2.脉冲函数的卷积性质：
（a）禾I
O0
x（t『6（i）=ix（）d（t八妙
—oO
=X（t）j「（t八）d
=x（t）
（b）利用结论2
QO
x（t）（t-t0）=x（）（t-t0-）d
—oQ
=x（t-to）」（t-to-）d
=x（t-to）
结论：
平移
（三）脉冲函数的频谱
（t）F「
（f）=：
（t）ej2"dt=1
均匀幅值谱
由此导出的其他3个结果
（tt°）「ej2ft0
（利用时移性
质）
1FTf=f
质）
（利用对称性
e"f°tft「（厂f°）
再用频移性质）
（对上式,
（四）正弦函数和余弦函数的频谱
cos2ft
1-\2ftj2二ftIFT11,
=—e+e（ff0）（f一fj
222
sin2ft
e-j2二ft
2
ej2“fj
fo）-
fo）
余弦函数的频谱
正弦函数的频谱
（f）（f）
1/2a
11/2
1/2]
fo
to-
-fo
fof
-fo
f
T-1/2
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