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1、完整word版误差分析与数据处理word文档良心出品误差理论与数据处理 一.绪论当你能对世界进行测屋的时候，就可以把世界变成数据來了解。1研丸误差的意义分析误差产生原因，从而消除误差:正确处理所得数据，从而接近真值:选择合理的方法，设计合理的系统。2误差的基本概念误差二测最值一真值约定真值：对于给定用途具有适当不确定度的、赋予特定量的值。绝对误差=1测量值一真值I相对误差二绝对误差/I真值I二绝对误差/I测帚值I修正值：与误差大小近似相等，但方向相反。修正值本身还有误差。引用误差=示值误差/测量范围上限3谋差来源测暈装置误差：标准量具的误差、一起误差、附件误差环境误差：温度.湿度、气圧、振动、

2、照明.加速度、电磁场等。方法误差人员误差4误差分类系统误差：在相同条件下，多次测a同一量值时，该误差的绝对值和符号保 持不变，或者在条件改变时，按某一确定规律变化的误差。（均值和真值之差）系统误差分类：已定系统谋差.未定系统误差.不变系统误差.变化系统误 差（线性、周期性、fi杂规律）随机误差：大小.方向均随机不定，不可预见，不可修正。（抑制、统计分 布规律）粗大误差：明显超出统计规律预期值的误差.（异常因素或疏忽）5精度准确度：系统误差的大小（偏移程度）精密度：随机谋差的大小（分散程度）精确度：测量结果与被测量真值之间的一致程度精确度（精度）在数值上一般多用相对谋差来表示，但不用百分数。如某

3、一 测帚结果的相对误差为0,001%,则其精度为10%重复性：指在相同条件下在短时间内对同一个量进行多次测量所得测量结果 之间的一致程度，一般用测量结果的分散性來定量表示。复现性：指在变化条件下，对同一个最进行多次测最所得测最结果之间的一 致程度，一般用测屋结果的分散性來定量表示。稳定性：测最仪器保持其计最特性随时间恒定的能力。示值误差：指测量仪器的加值与对应输入的真值之差。由于真值不能确定.故在实际应用中常釆用约定真值。偏移：指系统误差最大允许误差：给定的测S仪器，规范、规程等所允许的误差极限值。有时 也称为允许误差限。不确定度：与测量结果郴关联的.用于合理表征被测量值分散性大小的参数。6有

4、效数字最末一位数字是不可鼎的，而倒数第二位数字是可幕的。在进行重要的测量 时，测量结果和测量误差可再多取一位数字作为参考。二误差基本性质与处理1随机误差产生原因测a装買、环境因素、人为因素。随机误差整体具有统计学规律，多数随机误差服从正态分布。（单峰.对称、 有界.均值趋于零）2算术平均值由于实际上都是有限次测最，因此，我们只能把算术半均值近似地作为被测一般悄况下，被测量的真值为未知，这时可用算术平均值代替被测量的真 值进行计算。此时的随机误差称为残余误差，简称残差残余误差代数和対零这一性质，可用來校核算术平均值及其残余误差计算的正确性。但当实际得到的为经过凑整的非准确数，存在舍入课差。当n为

5、偶数时，v.A*n/2：当 n 为奇数时，v.A*(n+l)/2o式中的A为实际求得的算术平均值末位数的一个单位。3测量的标准差均方根误差。（标准偏差人或然误差P、算术平均谋差0（1）高斯参数h为精密度。由于h值无法以实验中得到，故以。值代之。（2） P将整个测量列分为两半。一半落在区间卜P，+PZ内。P = 0 *2/3（3） 0是随机偏差的绝对值的算术平均值1。的半方恰好是随机变量的数字特征之一（方差），O本身乂恰好是髙斯 谋差方gf（6）式中的一个参数，所以采用正好符合概率论原理，又与最小二 乘法最切合；6是随机误差2。对大的随机误差很敏感，能更准确地说明测量列的精度;3极限误差与标准偏

6、差的关系简单6=3o.标准偏差的儿种算法：（1）贝塞尔公式(2)极差法3n=XmXniin. O =COn/dn（3）最大误差法0= I引maxU/kn贝塞尔公式的计算精度较高，但计算麻烦;极差法非常方便，可用来作为校对公式，当ndO时可用来计算O,此时计算精度高于贝氏公式：用最大误差法计 算。更为简捷，当n50)用30准则最简单方便，虽然这种判别准则的可幕性 不高，但它使用简便，不需要査表，故在要求不髙时经常使用；30vnW50情形, 用格拉布斯准则效果较好；3Wn30情形，用格拉布斯准则适于剔除一个异常值, 用狄克逊准则适于剔除一个以上异常值。当测量次数比较小时也可根据情况采 用罗曼诺夫斯

7、基准则O2在较为精密的实验场合，可以选用二、三种准则同时判断，当一致认为 某值应剔除或保留时，则可以放心地加以剔除或保留。当儿种方法的判断结果有 矛盾时，则应慎重考虑，一般以不剔除为妥。因为留下某个怀疑的数据后算出的 。只是偏大一点，这样较为安全。另外，可以再增添测量次数，以消除或减少它 对平均值的影响。6三种误差的性质 随机误差具有抵偿性，这是它最本质的特性，算术均值和标准差是表示 测a结果的两个主要统计量；系统误差则违背抵偿性，因而会影响算术均值，变 化的系统误差还影响标准差；粗大误差则存在于个别的可疑数据中，也会影响算 术均值和标准差。 随机误差服从统计规律，是无法消除的，但通过适当增加

8、测量次数可提 高测帚精度；系统误差则是有确定性规律，在常握这个规律后，可以采取适当的 措施消除或减小它：粗人误差既违背统计规律，乂违背确定性规律，可用物理或 统计的方法判断后剔除。3为处理一组测量数据，往往先找出个别可疑数据，经统计判断确认无粗 大误差后，再用适当的方法检验数拥中是否含有明显的系统误差，如确认己无系 统误差，最后处理随机误差，统计算术平均值、标准差及极限误差，以正确的表 达方式给出测量结果。三-误差合成与分配1函数误差通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测最，称为间接测量。由此所得误差称为函数误差。2函数随机误差函数1般形式：f(Xl,X2, ,Xa)变量只含随机误差

9、：y+5y=f(Xi+6Xi,X2+6X2, ,Xn+6Xn)卒丿 - 1%若簿测最值的随机误差是相互越立的，肖各个测量值的随机误差都为正态分布时，标准 差用极限误差代替.Pm反映了孑随机误差分量相互间的线性关联对函数总谋差的影响.3随机误差介成合成方式：标准差合成、极限误差合成（误差传播系数、误差相关性影响）标准差合成:b jNab,X+2 乏2 才 /i 丿误差传播系数：由间接测量的显函数模型求得.根据实际经验给出、5y=a.CT.极限误差介成:单项极限误差：&=kg（k为单项极限误差的信系数）合成极限误差：6=ka4系统误差合成已定系统误差合成:未定系统误差合成：服从一定的概论分布，W有

10、随机误差的特性。只需估计出其不致超 过某一范南+e的系统误差介成方法和随机误差介成相似。标准差合成:-J土（ W 尸 + 2 士 产WNNj V 4/V /极限误差合成；e=t*uj $ 再J乏）2 + 2 乏2 QifjWj V1 y5随机和系统课差合成合成方式：标准差合成、极限误差合成极限误差介成（单次测量）：（R为各个误差之间的协方差之和） B类评定基于经脸或其他信息所认定的概率分布来评定a,当估计值受多个独立因素的影响，且影响大小相近时町假设为正态分布U产a/kpb.当估计值取自相关资料，所给出的测量不确定度Ux为标准差的k倍时U产Ux/kC.置信区间的半宽为6宣信概率为P则Ux=a/

11、kp(3)自由度自由度:将不确定度计算表达式屮总和所包含的项数减去各项之间存在的约束条件数所 得的差值，用U表示.A类评定的自由度:Bessel公式：u=n-lB类评定的自由度：-孑茅(4)合成标准不确定度(“丿+ 2亡等黒列忖怜/O叫 OXj结果农示Y=yuc(5)展伸不确定度U=k*uc k=tp(u) P为给定的宣信概率当各不确定度分最相互独立时:当自由度无法按上式计算时.取* = 23结果：Y=yU(6)不确定度报告注意：令效数字一般不超过两位：不确定度数值与被测量的估计值末位对齐：“三分Z 一准则修约五-线性参数的最小一乘处理 1最小-乘原理加町信赖值应使加权残余误差平方和故小。必叮

12、+ PVJ +A +几气=込P,v-=最小Y=APXV=L-APX正规方程：误差方程按址小二乘法原理转化得到的令确定解的代数方程组；APV=O;待测量的无偏估计：X=A汎瑕小一乘原理与算术平均值原理是一致的，算术平均值原理是故小一乘原理的特例。2.W度估计给出估计S的精度测量数据的精度估计:敲小二集估计屋的瑕小估计:3.组介测最的最小二乘估计组合测量：通过直接测量待测参数的组介量（一般是等梢度），然后对这些测量数据进 行处理，从而求得待测参数的估计量，求其精度估计.六回归方程 1回归分析基础函数关系：町以用明确的函数关系式精确地表示出來相关关系：这些变最之何既存在着密切的关系，又不能由一个（或

13、几个）自变最的数值 梢确地求出另一个因变量的数值而是要通过试验和调査研究才能确定它们Z间的关系。回归分析思路：由数据确定变量之间的数学表达式一回归方程或经验公式：对回归方程 的可信度进行统计检验；因素分折。2元线性回归确定两个变鼠之间的线性关系，即H线拟介问题 $ = % +床回归方程的稳定性是指回归偵的波动人小CT； bp = CT厲疋尹I（1）回归方程的方差分析及显著性检验方差分析法一分解N个观测值与其算术平均值之差的平方和；从量值上区别多个影响 因索用F检验法对所求回归方程进行显著性检验。（2）方差分析引起变差的原因：自变量X取值的不同；其它W素（包括试验误差）的彫响总的离差平方和（即N

14、个观测值之间的变差）：（S二U+Q）U 22 yy v_ = TV 1 ,1 s回归平方和：反映总变差中由于X和y的线性关系而引起y变化的部分。U 谷 y) = 1残余平方和：反映所令观测点到回归直线的残余误差，即其它因素对y变差的於响。（3）显著性检验（F检验法）方程是否显著取决于U和Q的人小，U越人Q越小说明y与X的线性关系愈密切。统计最F:資F分布表根据给定的显著性水平Q和已知的自由度进行检验:仑/%Fo,o5(1.N-2) F Fo.oi(VN-2) 回归在 0.05 的水平上显著Fojo(1.N-2)FFo.O5(VN-2) 回归在 0.1 的水平上显著回归不显著F2)(4)残余方差

15、与残余标准差排除了 X对y的线性彫响后，衡量y随机波动的特征量。越小，O回归直线的精度越高。Z _2(5)Hi试验惰况“回归方程显著m只表明因素X的一次项对y的影响显苦；难以确定影响y的足否还 有W它不可忽略的W素，X和y是否线性，不表明该方程拟合得很好。为检验一个回归方e拟合的好坏，町通过fflfi试验，获得误差平方和QE和失拟平方和QL,然后用QE对QL进行F检验设N个试验点,巫复试验回归直线的求法:每个试验点ffl复m次试脸，则将 这m次试验取平均值，然后再按照前面的方法进行拟合方差分析来源平方和 自由方sF显着性回归C； = wW % =1吃凡仇宀)失拟Ql 叭 7 二 N-2误S-1

16、 MQJv.F . 0 5 Q仏总计S = U4Q八 Ql 与=方差检验(6)回归1线的简便求法最小二乘法(误差小，计算fi杂)、分组法和图解法(计算简便精度低)分组法一平均值法：将自变量按由小到人次序排列，分成个数相等或近于相等的两个组(分组数等于未知数个数人则可建立相应的两组观测方程将两组观测方程分别相加，求 b 和 boo图解法一紧绳法 3元非线性回归(1)求収思路确定函数类型并检验。求解未知参数。町化曲线回归为直线回归，用小二乘法求解；町化曲线冋归为多项式回归。(2)回归曲线函数类型得选取和检验n接判断法作图观察法与典型曲线比较，确定其属于何种类型，然后检验。直线检脸法（适用丁待求参数

17、不多的情况）表差法（适用于多项式回归，含有常数项多于两个的情况） 七.动态测试数据处理基本方法 1 基木概念柑对干静态测试，被测最随时间或空间而变化.测最系统处于动态情况2测最误差其 竹相关性。一一动态测试动态测最误差特点：时空性：随机性；相关性；动态性动态测试数折：确定性数据.随机过程数据确定性数据：周期数据（正眩.fi杂周期）、非周期数据（准周期、瞬态数据）随机过程数据：半稳过程（各态历经.非各态历经人非平稳过程 2随机过程及特点随机函数：对于自变量的每一个给定值，该函数都是一个随机变量。随机过程的特征最：表现为一个函数（1） 概率密度函数一描述某一时刻随机数据落在给定区间的概率。I叫 x

18、r) 卄4 lim 小 S X + 乂V A/ fx） bm 円XgHd 叫 -t+Av- limX W）*】 Um 旦八，-T A 一 7 ，十 7（2） 均值函数是随机函数的屮心趋势；方差函数是相对与均值函数的分散度。/) = %(/)随机函数的强度:0门)-1曲)订-/：(0+-(t)=nix(t)+g(t), Ry(t,t)=Rx(t,t)若乘匕随机惭数：y(tf(t)x(t); m/t)=f(t)m.(t), R、(tf )=坦)鉅JR/tf)（4）谱密度函数：反映随机数据的频率分布情况确定性数据频谱图;随机数据“谱密度说明：(1) 6(/)反映了随机过稈强度在各个频率变化的快慢(2

19、)(3)/)(/)(4)6(/)的特性是非负实偶函数傅立叶变换3随机过程特征量估计平稳随机过程：所冇特征量与t无关平稳随机过稈的条件:() =4 = C Qx(f) = Dx = CAd+ r)=町根据某一时刻的样本值计算该随机过程的均值、方差。件.flWJA a(/J C r R.(0) - Z(Fj A - U町由任意间隔为T的两时刻样本值估计自相关值&(T)R(r)=Ext)xt + r) p(r) = R(r)/T=0, Rx(t)=Dx 绘人,px(O)=lR心 R4)mx=0,T-ooaj, Rx(t)-0：若x(t)有周期T.则Rdt)也有周期Tr判别平稳随机过程是否含右周期涪号.平稳随机过程特征量的实验估计(总体平均法)：1 N1 NQ y)肓_r X 兀(“)-也 K Z 1 dI N亠 尺4 各态历经随机过程及其特征量各态历经随机过程：一个现实代表所有样本集合的特性判别各态历经随机过程的充分条件：Rx(t)-0 (i)特征最估计公式一时间平均法 nm= E瓦召3心(j心5非平稳过程的随机函数(平稳化)对于非平稳过程的随机怖数：y(t)=f(t)x(t)+g(t)严心0)5 + r) = + r)&a)获得g(t)的方法:作图估计、域小二乘拟合、低通滤波传统谱估计.现代谱估计、动态测量误差及其评定