离散数学图论与关系中有图题目.docx

1、离散数学图论与关系中有图题目图论中有图题目一、4个结点、 6个结点和 8个结点的三次正则图没有一个简单的方法能确定图的色数以及用尽可能少的颜色给图的节点着色。Welch-Powell给出了一个使颜色数尽可能少（不用然最少）的结点着色方法，在本质使用中比较有效：第 1 步、 将图的结点按度数的非增序次排列；第2 步、用第1 种颜色给第 1 个结点着色，并依照结点排列序次，用同一种颜色给每个与前面已着色的结点不毗邻的结点着色；第3步、换一种颜色对还没有着色的结点按上述方法着色，这样下去， 直到全部结点全部着色为止。例 1 分别求右边两图的色数（1）由于（ 1）中图 G 中无奇数长的基本回路，由定理

2、可知G2 。（2）由于（ 2）中图 G 含子图轮图 W4 ，(1)(2)由于W44 ，故G4 。又因为此图的最大度G4 ， G 不是完好图，也不是奇数长的基本回路，由定理可知GG4 ，所以G4 。（对 n 阶轮图 Wn ， n 为奇数时有Wn3 ， n 为偶数时有Wn4 ；对 n 阶零图 N n ，有Nn1；完好图 K n ，有K nn ；对于二部图 GV1 ,V2 , E , E时即Nn1 ， E时即G 2；在彼得森图 G 中，存在奇数长的基本回路，所以 G 3 ，又彼得森图既不是完好图也不是长度为奇数的基本回路，且 G 3 ，由定理 G 3 ，故 G 3 ）例2 给右边三个图的极点正常着色

3、，每个图最少需要几种颜色。答 案 ：（ 1 ）G2 ；（ 2）G3 ；（ 3）G4例 3有 8 种化学品 A,B,C,D,P,R,S,T(2)(3)要放进储蓄室保留。出于安全原因，(1)以下各组药品不能够贮在同一个室内： A-R, A-C, A-T, R-P, P-S, S-T, T-B, B-D, D-C, R-S, R-B,P-D, S-C ,S-D ，问储蓄这 8 种药品最少需要多少个房间？SST R PC T解 以 8 种药品作为结点，若两种药品不能够贮在同一个室R PC内，则它们之间有一条边，这样得右图，转变成图的正常着DDBB色问题。（ 1）对各结点按度数的递减序次排列为SRDPC

4、TAB ；AA（2）对 S 及不与之相邻点 A ，B 着 c 色；（ 3）对 R 及不与之K1K 21K9J 2J 3J 4J1相邻点 D 着 c2 色；（4）对 P 和 C 着 c3 色。故着色数G 3 ； K 8K3K 4K 7B 1B2B 3B4B5又由于 因 S,D,P 为 K3 子图，故着色数G3 ，从 而K6K 5G 3 。所以储蓄这 8 种药品最少需要3 个房间。储蓄方式之一为SAB, RDT, PC 。(考试排考或老师排课让选修的学生防备矛盾的问题近似办理！ )二、强连通必然单向连通，单向连通必然弱连通！弱连通图 单向连通图 单向连通图强连通图 强连通图 强连通图弱连通图、单向

5、连通图和强连通图三、哈密顿图 欧拉图同构的无向图欧拉图哈密顿图均不是同构的有向图1、设 G 为无向欧拉图，求 G 中一条欧拉回路的 Fleury 算法以下：第 1 步，任取 G 中的一个 结 点 v0 ， 令 P0 v0 ； 第 2 步 ， 假 设 Piv0e1v1e2 L viei 已 选 好 ， 按 下 面 方 法 从Ee1, e2 ,L , ei中选 ei 1 ：（ 1） ei 1 与 ei 相关系，（ 2）除非无其余边可供选择，否则ei 1 不应该是 Gi Ge1, e2,L , ei 的断边；第 3 步，当第 2 步不能够执行时，算法停止。（有向欧拉图的欧拉回路可近似求出，可用于解决

6、邮路问题）邮路问题用图论的看法描述以下：在一个带权图G 中，怎样找到一条回路C，使得 C 包括G 中的每一条边最少一次，而且回路C 拥有最小权。 C 分以下三种情况： （1）若是 G 是欧拉图，必然有欧拉回路，C 即可找到；（ 2）若是 G 是拥有从 vi 到 v j 的欧拉通路的半欧拉图，C的构造以下：找到从vi 到 vj 的欧拉通路及 vi 到 v j 的最小权通路（即最短路径）-这两条通路和并在一起就是最小权回路；（ 3）若是 G 不是半欧拉图，一般说来，G 中包括多条边的回路，其中夫的边数与奇数结点数目相关，若奇数结点多于2，则回路中会出现更多的重复的边。问题是怎样使重复边的权综合最小

7、。在理论上已证明：一条包括G 的全部边的回路C 拥有最小权当且仅当： （1，每条边最多重复一次， （ 2，在 G 的每个回路上，有重复边的权之和小于回路权的一半。例：求右图所示的带权图中最优送到路线，邮局B40E在 D 点。5068 GE,F 两个。用标35解 先观察奇度结点，此图中有A19号法求出此间最短路径EGF，其权为 28。尔后12 D2320将最短路径上的边重复一次，于是得欧拉图 G* ，30C10F求 从 D出 的 一 条 欧 拉 回 路 ， 如DEGFGEBACBDCFD，其权为 281=35+8+20+20+8+40+50+30+19+6+12+10+23。2、求凑近最小权哈密

8、顿回路的“最周边”算法：设GV , E,W是有 n 个极点的无向完全 图 ，（ 1 ） 任 取 v0V 作 为 始 点 ， 令 L为 v0， k0 ；（ 2 ） 令w vk , xminw vk , v v不在 L中 ，置 vk 1x 。置 L v0 v1 L vk1 , kk1 ；（ 3）若kn 1 ，转（ 2）；（ 4）置 L v0v1 L vk v0，结束。（可近似解决货郎担问题）例 1用最周边算法求以下列图的最短哈密尔顿回路。a8aa8eee1414b6b656b6514555777cdc10dcd10所得长度为 14+6+5+5+7=37 ，与最短 7+8+5+10+6=36 很凑近

9、了！例 2 求以下列图的最短哈密尔顿回路。b101271814cad11三条比较，最小权为 47。例3 已知 A,B,C,D,E,F,G7bbb710710121218181414cad cad cad1111个人中， A 会讲英语， B 会讲英语和汉语， BC 会讲英语、意大利语和俄语， D 会讲日语和汉语， E 会讲意大利语 A 和德语， F 会讲俄语， G 会讲俄语、日语和法语。能否将他们的座位G安排在圆桌旁，使得每个人都能与他身边的人讲话？（按哈密尔顿回路安排就是了！ ） F E 例 4 11 个学生要共进晚餐，他们将坐成一个圆桌，计划要求每次晚111餐上每个学生有完好不同样的邻座，这

10、样能攻进晚餐几天？（K11 共有 10911 111855 条边，每条哈密尔顿回路有11 条边，所以共有5 条没有公276共边的哈密尔顿回路，可吃5 天！分别用2， 3， 4， 5 与 11 互素，以它们为步长能找到！半哈密顿图与哈密顿图补例：CD2345）彼德森图补充内容：设 G 是无向完好图，若对 G 的每条边指定一个方向，所得的图称为竞赛图。证明：在无又向回路（或有向圈） 的竞赛图 DV D , E D 中，对任意 u, v V D , d u d v（用反证法，见于失散数学习题与剖析胡辛启清华第2 版）能够证明：对于每个竞赛图D，至多改变一条边的方向后就可以变成哈密尔顿图。四、求最小生

11、成树1、破圈法过程演示(1) 令 E E ； (2)采用 E 中的一条简单回路 C, 设 C 中权最大的边为 e，令 E E e ；(3) 重复步骤 (2), 直到 E V 1 为止。12 2 49 11 1 358610 72913586题目 最后结果2422112111119139319111395358585868666710107102、 Kruskal 算法过程演示(1) 第一将边按权值由小到大排成序列S,令 i1, E S1 ； (2) 令 ii1, 采用边 Si 与E 中的边不组成简单回路，则令 EEU S i ；(3)重复步骤 (2), 直到 EV1 为止。22121 3132

12、21358511 35663、 Prim 算法过程演示(1) 从 V中任意采用结点v0 ，令 V v0 ； (2) 在 V 与 VV 之间选一条权最小的边e (vi ,v j) ，其中 vi V , v j VV而且令 EEU e, VV U v j ； (3)重复步骤 (2),直到 VV 为止。9952822919191913938558558688增加破圈法一例演示：1111167766354343353854545222224、求以下最小生成树的权值12 234C(T)=1+2+3=631254631C(T)=1+2+3+1=72023149153628817163C(T)=1+3+4+

13、8+9+23=4819287564103C(T)=1+2+3+5+7=186 17177 168 613 123C(T)=3+6+6+7=221668579 116 413C(T)=4+5+6+7=22v22v59v110v336310v7478v612511v4C(T)=2+3+4+5+6+10=30122331005647C(T)=2+2+3+5+6+100=1184 8 79 10820 1215C(T)=8+9+4+7=281355736241C(T)=1+3+3+2+1=101245587 169 81245587 169 895451194454363236653 26111692

14、111381076923451087C(T)=1+2+3+5+7=18455、在右图所示的带权图中，共有多少棵生成树， 他们的权各为多少？，其中哪些是图中的最小生成树？a 1 b3 2 2d 4 ca1ba1ba1bab3w=83w=62w=723w=92d4cdcd4cd4ca1baba1bab3222222w=8w=73dw=6cd4cdcdw=7c4五、求最优二叉树对给定的实数序列w1 w2Lwt ，构造最优 r 元树的递归算法：1、求最优二元树的Huffman算法：第一步，连接以w1 , w2为权的两片树叶，得一个分支点及其所带的权 w1w2 ；第二步，在 w1w2 , w3 ,L ,

15、 wt 中选出两个最小的权，连接它们对应的结点（不用然都是树叶） ，又得分支结点及其所带的权；重复第二步，直到形成t1个分支点， t 片树叶为止。2、求最优 r r3元树的 Huffman 算法：（ 1）若 t1 为整数，则求法与求最优二元树的r1Huffman 算法近似，可是每次取r 个最小的权；（ 2）若 t1不为整数，得余数s1,r1) ，r1将 s1个较小的权对应的树叶为兄弟放在最长的路径上，尔后算法同（1）。1、找出叶的权分别为 2，3，5，7，11，13，17， 19， 23，29，31，37，41 的最优叶加权二叉树，并求其加权路径的长度。（w v L v789 ）v V31 3

16、7 4129142317711135232、求带权为 2， 3，5， 7， 8 的最优二元树 T ，并给出 T 对应的二元前缀码会集。（B=00,010,011,10,11,W(T)= 2 5 3 2 3 3 2 7 2 8 55 ）5 7 82 33、求带权为 1， 2，3， 4， 5， 6， 7， 8 的最优二元树 T，并给出 T 对应的二元前缀码会集。（B=000,001,01000,01001,0101,011,10,11,W(T)=102 ）784 5 631 2125 7 83 4 5 6 2 34、（ 1）求带权为 1， 1， 2， 3， 3， 4，5， 6， 7 的最优三元树； （ 2）求带权为 1， 1，2， 3，3， 4， 5， 6， 7， 8 的最优三元树3240201210157847763453345622311211C(T1)=61,C(T2)=81六、如图 Gv2 bv3ecafgv5dv1 v4图中的边割集有 S1