离散数学图论与关系中有图题目.docx
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离散数学图论与关系中有图题目
图论中有图题目
一、
4个结点、6个结点和8个结点的三次正则图
没有一个简单的方法能确定图的色数以及用尽可能少的颜色给图的节点着色。
Welch-Powell
给出了一个使颜色数尽可能少（不用然最少）的结点着色方法，在本质使用中比较有效：
第1步、将图的结点按度数的非增序次排列；第
2步、用第
1种颜色给第1个结点着色，
并依照结点排列序次，用同一种颜色给每个与前面已着色的结点不毗邻的结点着色；第
3
步、换一种颜色对还没有着色的结点按上述方法着色，
这样下去，直到全部结点全部着色为止。
例1分别求右边两图的色数
（1）由于
（1）中图G中无奇数长的基
本回路，由定理可知
G
2。
（2）由于
（2）中图G含子图轮图W4，
（1）
（2）
由于
W4
4，故
G
4。
又因
为此图的最大度
G
4，G不是完好图，也不是奇数长的基本回路，由定理可知
G
G
4，所以
G
4。
（对n阶轮图Wn，n为奇数时有
Wn
3，n为偶
数时有
Wn
4；对n阶零图Nn，有
Nn
1；完好图Kn，有
Kn
n；对于二
部图G
V1,V2,E,E
时即
Nn
1，E
时即
G2
；在彼得森图G中，
存在奇数长的基本回路，所以G3，又彼得森图既不是完好图也不是长度为奇数的基
本回路，且G3，由定理G3，故G3）
例2给右边三个图的极点正常着色，每个图最少需要几种颜色。
答案：
（1）
G
2；（2
）
G
3；（3）
G
4
例3
有8种化学品A,B,C,D,P,R,S,T
（2）
（3）
要放进储蓄室保留。
出于安全原因，
（1）
以下各组药品不能够贮在同一个室内：
A-R,A-C,A-T,R-P,P-S,S-T,T-B,B-D,D-C,R-S,R-B,
P-D,S-C,S-D，问储蓄这8种药品最少需要多少个房间？
S
S
TRP
CT
解以8种药品作为结点，若两种药品不能够贮在同一个室
RP
C
内，则它们之间有一条边，这样得右图，转变成图的正常着
D
D
B
B
色问题。
（1）对各结点按度数的递减序次排列为
SRDPCTAB；
A
A
（2）对S及不与之相邻点A，B着c色；（3）对R及不与之
K1
K2
1
K9
J2
J3
J4
J1
相邻点D着c2色；（4）对P和C着c3色。
故着色数
G3；K8
K3
K4
K7
B1
B2
B3
B4
B5
又由于因S,D,P为K3子图，故着色数
G
3，从而
K6
K5
G3。
所以储蓄这8种药品最少需要
3个房间。
储蓄方式之一为
SAB,RDT,PC。
（考试排考或老师排课让选修的学生防备矛盾的问题近似办理！
）
二、强连通必然单向连通，单向连通必然弱连通！
弱连通图单向连通图单向连通图
强连通图强连通图强连通图
弱连通图、单向连通图和强连通图
三、
哈密顿图欧拉图
同构的无向图
欧拉图
哈密顿图
均不是
同构的有向图
1、设G为无向欧拉图，求G中一条欧拉回路的Fleury算法以下：
第1步，任取G中的一
个结点v0，令P0v0；第2步，假设Pi
v0e1v1e2Lviei已选好，按下面方法从
E
e1,e2,L,ei
中选ei1：
（1）ei1与ei相关系，
（2）除非无其余边可供选择，否则
ei1不
应该是GiG
e1,e2
L,ei的断边；第3步，当第2步不能够执行时，算法停止。
（有向欧拉图的欧拉回路可近似求出，可用于解决邮路问题）
邮路问题用图论的看法描述以下：
在一个带权图
G中，怎样找到一条回路
C，使得C包括
G中的每一条边最少一次，而且回路
C拥有最小权。
C分以下三种情况：
（1）若是G是欧
拉图，必然有欧拉回路，
C即可找到；
（2）若是G是拥有从vi到vj的欧拉通路的半欧拉图，
C
的构造以下：
找到从
vi到vj的欧拉通路及vi到vj的最小权通路（即最短路径）
--这两条
通路和并在一起就是最小权回路；
（3）若是G不是半欧拉图，一般说来，
G中包括多条边
的回路，其中夫的边数与奇数结点数目相关，若奇数结点多于
2，则回路中会出现更多的重
复的边。
问题是怎样使重复边的权综合最小。
在理论上已证明：
一条包括
G的全部边的回
路C拥有最小权当且仅当：
（1，每条边最多重复一次，（2，在G的每个回路上，有重复边的权之和小于回路权的一半。
例：
求右图所示的带权图中最优送到路线，
邮局
B
40
E
在D点。
50
6
8G
E,F两个。
用标
35
解先观察奇度结点，此图中有
A
19
号法求出此间最短路径
EGF，其权为28。
尔后
12D
23
20
将最短路径上的边重复一次，
于是得欧拉图G*，
30
C
10
F
求从D
出的一条欧拉回路，如
DEGFGEBACBDCFD
，其权为281=35+8+20+20+8+40+50+30+19+6+12+10+23
。
2、求凑近最小权哈密顿回路的“最周边”算法：
设
G
V,E,W
是有n个极点的无向完
全图，
（1）任取v0
V作为始点，令L
为v0
，k
0；
（2）令
wvk,x
min
wvk,vv不在L中，置vk1
x。
置Lv0v1Lvk
1,k
k
1；（3）若
k
n1，转
（2）；（4）置Lv0v1Lvkv0
，结束。
（可近似解决货郎担问题）
例1
用最周边算法求以下列图的最短哈密尔顿回路。
a
8
a
a
8
e
e
e
14
14
b
6
b
6
5
6
b
6
5
14
5
5
5
7
7
7
c
d
c
10
d
c
d
10
所得长度为14+6+5+5+7=37，与最短7+8+5+10+6=36很凑近了！
例2求以下列图的最短哈密尔顿回路。
b
10
12
7
18
14
c
a
d
11
三条比较，最小权为47。
例3已知A,B,C,D,E,F,G7
b
b
b
7
10
7
10
12
12
18
18
14
14
c
a
dc
a
dc
a
d
11
11
个人中，A会讲英语，B会讲英语和汉语，B
C会讲英语、意大利语和俄语，D会讲日语和汉语，E会讲意大利语A和德语，F会讲俄语，G会讲俄语、日语和法语。
能否将他们的座位
G
安排在圆桌旁，使得每个人都能与他身边的人讲话？
（按哈密尔顿回路安排就是了！
）FE例411个学生要共进晚餐，他们将坐成一个圆桌，计划要求每次晚
11
1
餐上每个学生有完好不同样的邻座，这样能攻进晚餐几天？
（
K11共有10
9
1111
1
8
55条边，每条哈密尔顿回路有
11条边，所以共有
5条没有公
2
7
6
共边的哈密尔顿回路，可吃
5天！
分别用
2，3，4，5与11互素，以它们为步长能找到！
半哈密顿图与哈密顿图补例：
C
D
2
3
4
5
）
彼德森图
补充内容：
设G是无向完好图，若对G的每条边指定一个方向，所得的图称为竞赛图。
证明：
在无又
向回路（或有向圈）的竞赛图D
VD,ED中，对任意u,vVD,dudv
（用反证法，见于《失散数学习题与剖析》胡辛启清华第
2版）
能够证明：
对于每个竞赛图
D，至多改变一条边的方向后就可以变成哈密尔顿图。
四、求最小生成树
1、破圈法过程演示
（1）令EE；
（2）采用E中的一条简单回路C,设C中权最大的边为e，令EE{e}；
（3）重复步骤
（2）,直到EV1为止。
1224
91113
5
8
6
107
2
9
1
3
5
8
6
题目最后结果
2
4
2
2
11
2
11
1
11
9
1
3
9
3
1
9
11
1
3
9
5
3
5
8
5
8
5
8
6
8
6
6
6
7
10
10
7
10
2、Kruskal算法过程演示
（1）第一将边按权值由小到大排成序列
S,
令i
1,E
{S[1]}；
（2）令i
i
1,采用边S[i]与
E中的边不组成简单回路，
则令E
E
U{S[i]}；（3）重复步骤
（2）,直到E
V
1为止。
2
2
1
2
13
1
3
2
2
1
3
5
8
5
1
13
5
6
6
3、Prim算法过程演示
（1）从V
中任意采用结点
v0，令V
{v0}；
（2）在V与V
V之间选一条权最小的边
e（vi,vj
），其中viV,vjV
V
而且令E
E
U{e},V
VU{vj}；（3）重复步骤
（2）,
直到V
V为止。
9
9
5
2
8
2
2
9
1
9
1
9
1
9
1
3
9
3
8
5
5
8
5
5
8
6
8
8
增加破圈法一例演示：
1
1
1
1
1
6
7
7
6
6
3
5
4
3
4
3
3
5
3
8
5
4
5
4
5
2
2
2
2
2
4、求以下最小生成树的权值
1
22
3
4
C（T）=1+2+3=6
3
1
2
5
4
6
3
1
C（T）=1+2+3+1=7
20
23
1
4
9
15
36
28
8
17
16
3
C（T）=1+3+4+8+9+23=48
1
9
2
8
7
5
6
4
10
3
C（T）=1+2+3+5+7=18
617
17
716
86
1312
3
C（T）=3+6+6+7=22
16
6
8
5
7
911
64
13
C（T）=4+5+6+7=22
v2
2
v5
9
v1
10
v3
3
6
3
10v7
4
7
8
v6
12
5
11
v4
C（T）=2+3+4+5+6+10=30
1
2
2
3
3
100
5
6
4
7
C（T）=2+2+3+5+6+100=118
487
910
8
2012
15
C（T）=8+9+4+7=28
1
3
5
5
7
3
6
2
4
1
C（T）=1+3+3+2+1=10
12
4
5
5
8
716
98
12
4
5
5
8
716
98
9
5
4
5
1
1
9
4
4
5
4
3
6
3
2
3
6
6
5
32
6
1
11
6
9
2
1
11
3
8
10
7
6
9
2
3
4
5
10
8
7
C（T）=1+2+3+5+7=18
4
5
5、在右图所示的带权图中，
共有多少棵生成树，他们的权各为多少？
，
其中哪些是图中的最小生成树？
a1b
322
d4c
a
1
b
a
1
b
a
1
b
a
b
3
w=8
3
w=6
2
w=7
2
3
w=9
2
d
4
c
d
c
d
4
c
d
4
c
a
1
b
a
b
a
1
b
a
b
3
2
2
2
2
2
2
w=8
w=7
3
d
w=6
c
d
4
c
d
c
d
w=7
c
4
五、求最优二叉树
对给定的实数序列
w1w2
L
wt，构造最优r元树的递归算法：
1、求最优二元树的
Huffman
算法：
第一步，连接以
w1,w2
为权的两片树叶，得一个分支点
及其所带的权w1
w2；第二步，在w1
w2,w3,L,wt中选出两个最小的权，连接它们对应
的结点（不用然都是树叶），又得分支结点及其所带的权；重复第二步，直到形成
t
1个分
支点，t片树叶为止。
2、求最优rr
3
元树的Huffman算法：
（1）若t
1为整数，则求法与求最优二元树的
r
1
Huffman算法近似，可是每次取
r个最小的权；
（2）若t
1
不为整数，得余数
s
[1,r
1），
r
1
将s
1个较小的权对应的树叶为兄弟放在最长的路径上，尔后算法同（
1）。
1、找出叶的权分别为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41的最优叶加权二
叉树，并求其加权路径的长度。
（
wvLv789）
vV
313741
29
14
23
17
7
11
13
5
2
3
2、求带权为2，3，5，7，8的最优二元树T，并给出T对应的二元前缀码会集。
（B={00,010,011,10,11},W（T）=253233272855）
578
23
3、求带权为1，2，3，4，5，6，7，8的最优二元树T，并给出T对应的二元前缀码会集。
（B={000,001,01000,01001,0101,011,10,11},W（T）=102）
78
456
3
12
12
578
345623
4、
（1）求带权为1，1，2，3，3，4，5，6，7的最优三元树；
（2）求带权为1，1，2，3，
3，4，5，6，7，8的最优三元树
32
40
20
12
10
15
7
8
4
7
7
6
3
4
5
3
3
4
5
6
2
2
3
1
1
2
1
1
C（T1）=61,C（T2）=81
六、如图G
v2b
v3
e
c
a
f
gv5
d
v1v4
图中的边割集有S1{
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