北师大版七年级下册第2讲 整式的乘法与除法 尖子班.docx

1、北师大版七年级下册 第2讲 整式的乘法与除法 尖子班第2讲 整式乘法与除法 知识点1 单项式乘单项式单项式乘单项式（1）单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式注意：在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；注意按顺序运算；不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；此性质对于多个单项式相乘仍然成立（2）单项式乘单项式的“三点规律”：利用乘法交换律、结合律转化为数与数相乘，同底数幂相乘的形式，单独一个字母照抄；不论几个单项式相乘，都可以用这个法则；单项式乘单项式的结果仍是单项式【典例】1.（3x

2、2）（x3myn）（ym）的结果是_【答案】2x3m+2ym+n【解析】解：（3x2）（x3myn）（ym）=（3）（）（1）（x2）（x3myn）ym=2x3m+2ym+n【方法总结】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可【随堂练习】1.（3a2）（2ab2）（b）2 的计算结果是_【答案】6 a3b4 【解析】解：（3a2）（2ab2）（b）2=（3a2）（2ab2）b2=(-3)2a2a b2 b2=6a3b4故选：C2.（ab3）3（ab）（8a2b2

3、）2等于_【答案】2a8b14 【解析】解：原式=（a3b9）（ab）（64a4b4）=（）（）64a3a a4 b9b b4=64a8b14=2a8b14【典例】1.已知（a2mb4）（an+2b）=a9bm+2，求m+n2的值【答案】略【解析】解：（a2mb4）（an+2b）=a2m+n+2b4+1，（a2mb4）（an+2b）=a9bm+2，2m+n+2=9，4+1=m+2，解得m=3，n=1，当m=3，n=1时，m+n2=3+1=4【方法总结】本题考查了单项式乘单项式，根据单项式的乘法，可得同类项，根据同类项是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，列方程并解出m，n，将m，n的值代入

4、m+n2【随堂练习】1.已知单项式9am+1bn+1与2a2m1b2n1的积与5a3b6是同类项，求mn的值是_【答案】1【解析】解：9am+1bn+1（2a2m1b2n1）=-18 a3m b3n单项式9am+1bn+1与2a2n1b2n1的积与5a3b6是同类项，3m=3, 3n=6m=1, n=2，故mn=12=12.已知3an6b2n和a3m+1b2n的积与a4b是同类项，则mn+nm等于_【答案】17【解析】解：（3an6b2n）（a3m+1b2n）=a3m+n5bn2，3an6b2n和a3m+1b2n的积与a4b是同类项，3m+n5=4，n2=1，解得：m=2，n=3，mn+nm=

5、23+32=17【典例】1.“三角” 表示3xyz，“方框”表示4abdc，求 的值【答案】略【解析】解：三角” 表示3xyz，“方框”表示4abdc，=（3mn3）（4n2m5），=33（4）（mm5）（nn2），=36m6n3故的值为36m6n3【方法总结】本题考查了利用单项式的乘法解新定义中的有关计算，熟练掌握运算法则是解题的关键根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可【随堂练习】1.如果“三角”表示4xyz，“方框”表示abdc，则的结果为_【答案】8m6n3【解析】解：根据题意得：=(4mn2)（n2m5）=

6、8m6n3知识点2 单项式乘多项式单项式乘多项式（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；注意确定积的符号【典例】1.计算：（a2bc+2ab2ac）（ac）2【答案】略【解析】解：（a2bc+2ab2ac）（ac）2=（a2bc+2ab2ac）a2c2=（a2bc）a2c2+2ab2a2c2+（ac）a2c2=a4bc3+a3b2c2a3c3【方法总结】本题考查了单项式与多项式相乘，先算积的乘

7、方，再根据单项式与多项式相乘，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可计算时要注意符号的处理【随堂练习】1. 化简（ab2a2b6ab）（6ab）的结果为_【答案】3a2b3+2a3b2+36a2b2 【解析】解：原式=ab2（6ab）+（ab）（6ab）+（6ab）（6ab）=3a2b3+2a3b2+36a2b2【典例】1.已知xy2=2，则xy（x2y5xy3y）的值为_【答案】10【解析】解：xy2=2，xy（x2y5xy3y）=x3y6+x2y4+xy2=（xy2）3+（xy2）2+xy2=（2）3+（2）2+（2）=8+42=10；【方法总结】此题考查了单项式乘多项式，解题

8、的关键是运用积的乘方的逆运算，使化简后的式子中出现xy2的因式，再整体代入xy2=2计算即可【随堂练习】1.已知pq2=1，则pq（p2q5pq3q）的值等于_【答案】-1【解析】解：pq2=1，原式=pq6-pq4-pq2=（pq2）3-（pq2）2-pq2=1-11=-1，【典例】1.当m、n为何值时，yy（y+m）+ny（y+1）+m的展开式中，不含有y2和y3的项？【答案】略【解析】解：yy（y+m）+ny（y+1）+m=y（y2+my+ny2+ny+m）=（1+n）y3+（m+n）y2+my，根据结果中不含y2和y3的项，得到1+n=0，m+n=0，解得：m=1，n=1【方法总结】此

9、题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键yy（y+m）+ny（y+1）+m去括号得到最简结果，根据结果中不含y2和y3的项，可令y2和y3的系数为0，列出方程，求出m与n的值即可【随堂练习】1.若（mx2nx+2）（2x2）4x3的结果中不含x4项和x3项，则m，n的值分别为_【答案】m=0，n=2【解析】解：（mx2nx+2）（2x2）4x3=2mx4+2nx34x24x3=2mx4+（2n4）x34x2，（mx2nx+2）（2x2）4x3的结果中不含x4项和x3项，2m=0，2n4=0，解得：m=0，n=2，故答案为：0，2知识点3 多项式乘多项式多项式乘多项式（1）多项式与

10、多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加（2）运用法则时应注意以下两点：相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积【典例】1.如果（x2+px+q）（x2+7）的展开式中不含x2与x3的项，那以p，q的值是_【答案】p=0，q=7 【解析】解：（x2+px+q）（x2+7）=x4+px3+（7+q）x2+7px+7q，（x2+px+q）（x2+7）的展开式中不含x2与x3的项，p=0，7+q=0，解得：p=0，q=7【方法总结】本题主要考查了多项式乘多

11、项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0，列方程，求出p、q的值【随堂练习】1.如果多项式x+1与x2bx+c的乘积中既不含x2项，也不含x项，则b、c的值是_【答案】b=c=1【解析】解：根据题意得：（x+1）（x2bx+c）=x3bx2+cx+x2bx+c=x3+（1b）x2+（cb）x+c，多项式x+1与x2bx+c的乘积中既不含x2项，也不含x项，1b=0，cb=0，解得：b=1，c=1，【典例】1.已知（x+2）（x-3）=x2+mx+n，则nm=_【答案】【解析】解：（x+2）（x3）=x23x+2x6=x2x6，（x+2）（x3）=x2+mx+n，m=1

12、、n=6，则nm=（6）1=，故答案为：【方法总结】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及负整数指数幂已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m与m的值，代入nm，从而求出nm的值【随堂练习】1.已知（x+m）（xn）=x23x4，则mn+mn的值为_【答案】1【解析】解：（x+m）（xn）=x2nx+mxmn，=x2+（mn）xmn（x+m）（xn）=x23x4，x2+（mn）xmn=x23x4，mn=3， mn=4，mn+mn=3+4=1，【典例】1.对于任意的代数式a，b，c，d，我们规定一种新运算：=adbc，根据这一规定，计

13、算=_【答案】-5x+19【解析】解：依题意得：=（x5）2（x2）（x3）=-5x+19故答案是：-5x+19【方法总结】本题考查了多项式乘多项式和新定义解题的关键是弄清楚新定义运算法则【随堂练习】1.对于实数a，b，c，d，规定一种运算=adbc，如=4（2）02=8，那么当=27时，则x等于_【答案】22【解析】解：=27，根据新定义运算法则可得，（x+1）（x1）（x+2）（x3）=27，整理得：x-x+x-1- x+3x-2x+6=27解得：x=22知识点4 单项式除以单项式单项式相除，把它们的系数相除，同底数幂的指数相减，作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数

14、作为商的一个因式。【典例】1.已知（2x3y2）3（xnyp）=mx7yp，求m，n，p的值解：原式=（8x9y6）（xnyp）=16x9ny6p=mx7yp，m=16，9n=7，6p=p，m=16，n=2，p=3【方法总结】（1）法则包括三个方面：系数相除；同底数幂相除；只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式. （2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.【随堂练习】1计算10a35a的结果是_【解答】解：10a35a2a2，故答案为：2a22计算：（6a2b2c）24ac2_【解答】解：原式（36a4b4c2）（4

15、ac2）9a3b4，故答案为：9a3b4知识点5 多项式除以单项式多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。【典例】1 已知2ab=5，求a2+b2+2b（ab）（ab）24b的值解：2ab=5，原式=（a2+b2+2ab2b2a2+2abb2）4b=（2b2+4ab）4b=b+a=（2ab）=【方法总结】（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.。（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化。【随堂练习】1已知多项式2x34x21除以一个多项式A，得商式为2x，余式为x1，

16、求这个多项式【解答】解：A（2x34x21）（x1）（2x），（2x34x2x）（2x），x22x2化简下列各式（1）5a2（3ab26a3） （2）x（x2y2xy）y（x2x3y）3x2y【解答】解：（1）原式15a3b2+30a5；（2）原式（x3y2x2yx2y+x3y2）3x2y（2x3y22x2y）3x2yxy 综合运用【填空题】 计算（2x3y2）34xy2=_【答案】32x10y8【解析】解：（2x3y2）34xy2=（8x9y6）4xy2=32x10y8 若（x2+ax+1）（x3）的展开式中，不含有x4项，则的值为_【答案】0【解析】解：原式=x5ax4x3，（x2+ax+

17、1）（6x3）的展开式中，不含有x4项，a=0，则3a1=301=0故答案为：0 （x2mx+1）（x1）的积中x的二次项系数为零，则m的值是_【答案】1【解析】解：x3x2mx2+mx+x1=x3（1+m）x2+（1+m）x1（x2mx+1）（x1）的积中x的二次项系数为零，（1+m）=0，解得：m=1故m的值是1 【解答题】 若关于x，y（x0，x1，y0，y1）的单项式x4ya与（xby）2的乘积为x16y4，求ab的值【答案】略【解析】解：单项式x4ya与（xby）2的乘积为x16y4，x4ya（xby）2=x16y4，x4yax2by2=x16y4，x4+2by2+a=x16y4，则

18、4+2b=16，2+a=4，解得：a=2，b=8，故ab=28=16 化简：（1）（a2b2）（a2+ab0.6b2）（2）12ab2a（ab）+b【答案】略【解析】解：（1）（a2b2）（a2+ab0.6b2）=（a2b2）a2+（a2b2） ab+（a2b2）（0.6b2）=2a4b2a3b3+a2b4；（2）12ab2a（ab）+b=12ab 2a+ 12ab （ab）+ 12ab（b）=24a2b9ab（ab）+8ab2=24a2b9a2b+9ab2+8ab2=15a2b+17ab2 已知将（x3+mx+n）（x23x+4）展开的结果不含x2项，并且x3的系数为2（1）求m、n的值；（2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m+n）（m2mn+n2）的值【答案】略【解析】解：（1）（x3+mx+n）（x23x+4）=x53x4+4x3+mx33mx2+4mx+nx23nx+4n=x53x4+（4+m）x3+（3m+n）x2+（4m3n）x+4n（x3+mx+n）（x23x+4）展开的结果不含x2项，并且x3的系数为2，4+m=2，3m+n=0，解得m=2，n=6；（2）当m=2，n=6时，（m+n）（m2mn+n2）=（26）（412+36）=828=224