北师大版七年级下册第2讲 整式的乘法与除法 尖子班.docx

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北师大版七年级下册第2讲整式的乘法与除法尖子班

第2讲整式乘法与除法

知识点1单项式乘单项式

单项式乘单项式

（1）单项式乘法法则：

单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

注意：

①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；

②注意按顺序运算；

③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；

④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．

（2）单项式乘单项式的“三点规律”：

①利用乘法交换律、结合律转化为数与数相乘，同底数幂相乘的形式，单独一个字母照抄；

②不论几个单项式相乘，都可以用这个法则；

③单项式乘单项式的结果仍是单项式．

【典例】

1.（﹣3x2）•（﹣x3m•yn）（﹣ym）的结果是____

【答案】﹣2x3m+2ym+n

【解析】解：

（﹣3x2）•（﹣x3m•yn）（﹣ym）

=（﹣3）×（）×（﹣1）（x2）•（x3m•yn）•ym

=﹣2x3m+2ym+n．

【方法总结】

本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．

【随堂练习】

1.（﹣3a2）•（2ab2）•（﹣b）2的计算结果是____

【答案】﹣6a3b4

【解析】解：

（﹣3a2）•（2ab2）•（﹣b）2

=（﹣3a2）•（2ab2）•b2

=（-3）×2×a2•a•b2•b2

=﹣6a3b4．

故选：

C

2.（﹣ab3）3•（﹣ab）•（﹣8a2b2）2等于_____

【答案】2a8b14

【解析】解：

原式=（﹣a3b9）•（﹣ab）•（64a4b4）

=（﹣）×（﹣）×64×a3•a•a4•b9•b•b4

=××64a8b14

=2a8b14．

【典例】

1.已知（a2mb4）（an+2b）=a9bm+2，求m+n2的值．

【答案】略．

【解析】解：

∵（a2mb4）（an+2b）=a2m+n+2b4+1，

（a2mb4）（an+2b）=a9bm+2，

∴2m+n+2=9，4+1=m+2，

解得m=3，n=1，

当m=3，n=1时，m+n2=3+1=4．

【方法总结】

本题考查了单项式乘单项式，根据单项式的乘法，可得同类项，根据同类项是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，列方程并解出m，n，将m，n的值代入m+n2．

【随堂练习】

1.已知单项式9am+1bn+1与﹣2a2m﹣1b2n﹣1的积与5a3b6是同类项，求mn的值是_____

【答案】1

【解析】解：

9am+1bn+1•（﹣2a2m﹣1b2n﹣1）=-18a3mb3n

∵单项式9am+1bn+1与﹣2a2n﹣1b2n﹣1的积与5a3b6是同类项，

∴3m=3,3n=6

∴m=1,n=2，

故mn=12=1．

2.已知3an﹣6b﹣2﹣n和﹣a3m+1b2n的积与﹣a4b是同类项，则mn+nm等于____

【答案】17

【解析】解：

∵（3an﹣6b﹣2﹣n）×（﹣a3m+1b2n）=﹣a3m+n﹣5bn﹣2，

3an﹣6b﹣2﹣n和﹣a3m+1b2n的积与﹣a4b是同类项，

∴3m+n﹣5=4，n﹣2=1，

解得：

m=2，n=3，

∴mn+nm=23+32=17．

【典例】

1.“三角”

表示3xyz，“方框”

表示﹣4abdc，求

×

的值．

【答案】略．

【解析】解：

∵三角”

表示3xyz，“方框”

表示﹣4abdc，

∴

×

，

=（3mn•3）×（﹣4n2m5），

=[3×3×（﹣4）]•（m•m5）•（n•n2），

=﹣36m6n3．

故

×

的值为﹣36m6n3．

【方法总结】

本题考查了利用单项式的乘法解新定义中的有关计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．

【随堂练习】

1.如果“三角”

表示4xyz，“方框”

表示abdc，则

×

的结果为____

【答案】﹣8m6n3

【解析】解：

根据题意得：

×

=（4mn•2）•（n2m5）

=﹣8m6n3．

知识点2单项式乘多项式

单项式乘多项式

（1）单项式与多项式相乘的运算法则：

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：

①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；

②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；

③注意确定积的符号．

【典例】

1.计算：

（﹣a2bc+2ab2﹣ac）•（﹣ac）2．

【答案】略．

【解析】解：

（﹣a2bc+2ab2﹣ac）•（﹣ac）2

=（﹣a2bc+2ab2﹣ac）•a2c2

=（﹣a2bc）•a2c2+2ab2•a2c2+（﹣ac）•a2c2

=﹣a4bc3+a3b2c2﹣a3c3．

【方法总结】

本题考查了单项式与多项式相乘，先算积的乘方，再根据单项式与多项式相乘，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可．计算时要注意符号的处理．

【随堂练习】

1.化简（ab2﹣a2b﹣6ab）•（﹣6ab）的结果为_____

【答案】﹣3a2b3+2a3b2+36a2b2

【解析】解：

原式=ab2•（﹣6ab）+（﹣a²b）•（﹣6ab）+（﹣6ab）•（﹣6ab）

=﹣3a2b3+2a3b2+36a2b2．

【典例】

1.已知xy2=﹣2，则﹣xy（x2y5﹣xy3﹣y）的值为____

【答案】10

【解析】解：

∵xy2=﹣2，

∴﹣xy（x2y5﹣xy3﹣y）=﹣x3y6+x2y4+xy2

=﹣（xy2）3+（xy2）2+xy2

=﹣（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）

=8+4﹣2

=10；

【方法总结】

此题考查了单项式乘多项式，解题的关键是运用积的乘方的逆运算，使化简后的式子中出现xy2的因式，再整体代入xy2=﹣2计算即可．

【随堂练习】

1.已知pq2=1，则pq（p2q5﹣pq3﹣q）的值等于____

【答案】-1

【解析】解：

∵pq2=1，

∴原式=p³q6-p²q4-pq2

=（pq2）3-（pq2）2-pq2

=1-1﹣1

=-1，

【典例】

1.当m、n为何值时，y[y（y+m）+ny（y+1）+m]的展开式中，不含有y2和y3的项？

【答案】略．

【解析】解：

y[y（y+m）+ny（y+1）+m]

=y（y2+my+ny2+ny+m）

=（1+n）y3+（m+n）y2+my，

根据结果中不含y2和y3的项，得到1+n=0，m+n=0，

解得：

m=1，n=﹣1．

【方法总结】

此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．y[y（y+m）+ny（y+1）+m]去括号得到最简结果，根据结果中不含y2和y3的项，可令y2和y3的系数为0，列出方程，求出m与n的值即可．

【随堂练习】

1.若（mx2﹣nx+2）•（﹣2x2）﹣4x3的结果中不含x4项和x3项，则m，n的值分别为____

【答案】m=0，n=2

【解析】解：

（mx2﹣nx+2）•（﹣2x2）﹣4x3

=﹣2mx4+2nx3﹣4x2﹣4x3

=﹣2mx4+（2n﹣4）x3﹣4x2，

∵（mx2﹣nx+2）•（﹣2x2）﹣4x3的结果中不含x4项和x3项，

∴﹣2m=0，2n﹣4=0，

解得：

m=0，n=2，

故答案为：

0，2．

知识点3多项式乘多项式

多项式乘多项式

（1）多项式与多项式相乘的法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

（2）运用法则时应注意以下两点：

①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；

②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．

【典例】

1.如果（x2+px+q）（x2+7）的展开式中不含x2与x3的项，那以p，q的值是___

【答案】p=0，q=﹣7

【解析】解：

（x2+px+q）（x2+7）=x4+px3+（7+q）x2+7px+7q，

∵（x2+px+q）（x2+7）的展开式中不含x2与x3的项，

∴p=0，7+q=0，

解得：

p=0，q=﹣7．

【方法总结】

本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0，列方程，求出p、q的值．

【随堂练习】

1.如果多项式x+1与x2﹣bx+c的乘积中既不含x2项，也不含x项，则b、c的值是___

【答案】b=c=1

【解析】解：

根据题意得：

（x+1）（x2﹣bx+c）=x3﹣bx2+cx+x2﹣bx+c

=x3+（1﹣b）x2+（c﹣b）x+c，

∵多项式x+1与x2﹣bx+c的乘积中既不含x2项，也不含x项，

∴1﹣b=0，c﹣b=0，

解得：

b=1，c=1，

【典例】

1.已知（x+2）（x-3）=x2+mx+n，则nm=_________．

【答案】﹣．

【解析】解：

（x+2）（x﹣3）=x2﹣3x+2x﹣6

=x2﹣x﹣6，

∵（x+2）（x﹣3）=x2+mx+n，

∴m=﹣1、n=﹣6，

则nm=（﹣6）﹣1

=

=﹣，

故答案为：

﹣．

【方法总结】

本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及负整数指数幂．已知等式左边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m与m的值，代入nm，从而求出nm的值．

【随堂练习】

1.已知（x+m）（x﹣n）=x2﹣3x﹣4，则m﹣n+mn的值为____

【答案】1

【解析】解：

（x+m）（x﹣n）

=x2﹣nx+mx﹣mn，

=x2+（m﹣n）x﹣mn

∵（x+m）（x﹣n）=x2﹣3x﹣4，

∴x2+（m﹣n）x﹣mn=x2﹣3x﹣4，

∴m﹣n=﹣3，mn=4，

∴m﹣n+mn=﹣3+4

=1，

【典例】

1.对于任意的代数式a，b，c，d，我们规定一种新运算：

=ad﹣bc，根据这一规定，计算=___________．

【答案】-5x+19．

【解析】解：

依题意得：

=（x﹣5）2﹣（x﹣2）（x﹣3）

=-5x+19．

故答案是：

-5x+19．

【方法总结】

本题考查了多项式乘多项式和新定义．解题的关键是弄清楚新定义运算法则．

【随堂练习】

1.对于实数a，b，c，d，规定一种运算=ad﹣bc，如=4×（﹣2）﹣0×2=﹣8，那么当=27时，则x等于_____

【答案】22

【解析】解：

∵=27，

∴根据新定义运算法则可得，（x+1）（x﹣1）﹣（x+2）（x﹣3）=27，

整理得：

x²-x+x-1-x²+3x-2x+6=27

解得：

x=22．

知识点4单项式除以单项式

单项式相除，把它们的系数相除，同底数幂的指数相减，作为商的一个因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

【典例】

1.已知（﹣2x3y2）3÷（

﹣xnyp）=mx7yp，求m，n，p的值．

解：

∵原式=（﹣8x9y6）÷（

﹣xnyp）=16x9﹣ny6﹣p=mx7yp，

∴m=16，9﹣n=7，6﹣p=p，

∴m=16，n=2，p=3．

【方法总结】

（1）法则包括三个方面：

①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出

现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.

（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组

合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.

【随堂练习】

1．计算10a3÷5a的结果是____．

【解答】解：

10a3÷5a＝2a2，

故答案为：

2a2．

2．计算：

（﹣6a2b2c）2÷4ac2＝____

【解答】解：

原式＝（36a4b4c2）÷（4ac2）＝9a3b4，

故答案为：

9a3b4．

知识点5多项式除以单项式

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

【典例】

1．已知2a﹣b=5，求[a2+b2+2b（a﹣b）﹣（a﹣b）2]÷4b的值

解：

∵2a﹣b=5，

∴原式=（a2+b2+2ab﹣2b2﹣a2+2ab﹣b2）÷4b

=（﹣2b2+4ab）÷4b

=﹣

b+a=

（2a﹣b）

=

．

【方法总结】

（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实

质是将它分解成多个单项式除以单项式.。

（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化。

【随堂练习】

1．已知多项式2x3﹣4x2﹣1除以一个多项式A，得商式为2x，余式为x﹣1，求这个多项式．

【解答】解：

A＝[（2x3﹣4x2﹣1）﹣（x﹣1）]÷（2x），

＝（2x3﹣4x2﹣x）÷（2x），

＝x2﹣2x﹣

．

2．化简下列各式

（1）﹣5a2（3ab2﹣6a3）

（2）[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y．

【解答】解：

（1）原式＝﹣15a3b2+30a5；

（2）原式＝（x3y2﹣x2y﹣x2y+x3y2）÷3x2y

＝（2x3y2﹣2x2y）÷3x2y

＝

xy﹣

．

综合运用

【填空题】

计算（﹣2x3y2）3•4xy2=___________．

【答案】﹣32x10y8．

【解析】解：

（﹣2x3y2）3•4xy2

=（﹣8x9y6）•4xy2

=﹣32x10y8

若（x2+ax+1）•（﹣x3）的展开式中，不含有x4项，则的值为_________．

【答案】0．

【解析】解：

原式=﹣x5﹣ax4﹣x3，

∵（x2+ax+1）•（﹣6x3）的展开式中，不含有x4项，

∴a=0，

则3a﹣1=30﹣1

=0．

故答案为：

0

（x2﹣mx+1）（x﹣1）的积中x的二次项系数为零，则m的值是________．

【答案】﹣1．

【解析】解：

x3﹣x2﹣mx2+mx+x﹣1=x3﹣（1+m）x2+（1+m）x﹣1

∵（x2﹣mx+1）（x﹣1）的积中x的二次项系数为零，

∴﹣（1+m）=0，

解得：

m=﹣1．

故m的值是﹣1．

【解答题】

若关于x，y（x≠0，x≠1，y≠0，y≠1）的单项式x4ya与（﹣xby）2的乘积为x16y4，求ab的值．

【答案】略．

【解析】解：

∵单项式x4ya与（﹣xby）2的乘积为x16y4，

∴x4ya×（﹣xby）2=x16y4，

∴x4ya×x2by2=x16y4，

∴x4+2by2+a=x16y4，

则4+2b=16，2+a=4，

解得：

a=2，b=8，

故ab=2×8=16．

化简：

（1）（﹣a2b2）（a2+ab﹣0.6b2）

（2）12ab[2a﹣（a﹣b）+b]．

【答案】略．

【解析】解：

（1）（﹣a2b2）（a2+ab﹣0.6b2）

=（﹣a2b2）•a2+（﹣a2b2）•ab+（﹣a2b2）•（﹣0.6b2）

=﹣2a4b2﹣a3b3+a2b4；

（2）12ab[2a﹣（a﹣b）+b]

=12ab•2a+12ab•[﹣（a﹣b）]+12ab•（b）

=24a2b﹣9ab（a﹣b）+8ab2

=24a2b﹣9a2b+9ab2+8ab2

=15a2b+17ab2．

已知将（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展开的结果不含x2项，并且x3的系数为2．

（1）求m、n的值；

（2）当m、n取第

（1）小题的值时，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．

【答案】略．

【解析】解：

（1）（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）

=x5﹣3x4+4x3+mx3﹣3mx2+4mx+nx2﹣3nx+4n

=x5﹣3x4+（4+m）x3+（﹣3m+n）x2+（4m﹣3n）x+4n．

∵（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展开的结果不含x2项，并且x3的系数为2，

∴4+m=2，﹣3m+n=0，

解得m=﹣2，n=﹣6；

（2）当m=﹣2，n=﹣6时，

（m+n）（m2﹣mn+n2）

=（﹣2﹣6）×（4﹣12+36）

=﹣8×28

=﹣224．