七升八暑假衔接学习讲义.docx

1、七升八暑假衔接学习讲义图形的全等1.定义：能够完全重合的两个图形称为全等图形观察右面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？2.由全等图形类比得出：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。比如，在图中， ABWA DEF能够完全重合，它们是全等的。 其中顶点A, D重合，它们是对应顶点； AB边与DE边重合, 它们是对应边；.A与.D重合，它们是对应角 ABA DEF全等，我们把它记作“ AB3A DEF记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上全等三角形的对应边 ，对应角 ；全等三角形全等三角形的对应边上的中线 ，对应边上的高 ，对应角的角平分线的周长 ，面积 。几何语言:A

2、BCA DEF (已知) AB= , AC= , BC= ( ) Z A= , / C= ，/ B= .( )练习: ：1.如图 6, ABC AEC, Z B=75 , Z ACB=55 ,求出 AEC各内角的度数。解：2.如图 7, ABDA EBC, AB=3 cm, AC=8 cm,求 DE的长。 解：3.判断:CD全等三角形的边相等，角相等，中线相等，角平分线相等辺全等三角形的周长相等.（ ）C周长相等的两个三角形是全等三角形 .（ ）C全等三角形的面积相等.（ ）C面积相等的两个三角形是全等三角形 .（ ）4.填空：如图所示，已知 AOBBA COD , Z C=Z A,AB =

3、CD则另外两组对应边为 ，另外两组对应角为 二、三角形的判定定理：边角边公理 !B D定理：两个三角形的两组对应边相等且它们的夹角相等，那么这两个三角形全等，简记为边角边”，符号表示：SAS E例1.下列哪组三角形能完全重合（全等）？5.如图3，已知CD丄AB于D, BE丄AC于E, ABEA ACD, Z C=20 , AB=10, AD=4, G 为 AB延长线上的一点, ABE的度数和CE的长.A D B G例2.如图，在 ABC和 A B C中，已知AB= A B,Z B=Z B, BC= B C.这两个三角形全等例3.在厶ABC和 A B C中(自己画图)AB = ABBC = B

4、C . ABC = . ：AB C ( SAS )AC 二 A C(3) _=_BC = B C . ABC 二. AB C () ABC 三 A B C ()练习1:1根据题目条件，判断下面的三角形是否全等?(1) AC= DF, / C=Z F, BC= EF;(2) BC= BD, / ABC=Z ABD2.如图2,A AOBD COD全等吗？为什么？3.如图，在 ABC中，AB= AC, AD 平分/ BAC 求证： ABDACD4.如图 3,已知 AD/ BC A CB 证明： ABCA CDA.5.如图 4,已知 AB= AC, AD- AE / 1 = Z 2,证明： ABD A

5、CE.6.如图，已知AB=AC AE=AD,那么图中哪两个三角形全等？-并进行证明. .-. |7.已知：AD / BC, AD- CB(如图).现有条件能证明 -ADWA CBA吗？如请写出证明过程，若不能，那么还需添加怎样的条件才能证明？ 、-二 练习2 ：| 果台匕冃匕1.已知：如图,AC=AD Z CAB. DAB ：求证： ACBA ADB2.已知：AD/ BC, AD=CB 求证： ADCA CBA3.已知：AD/ BC, AD=CB AE=CF 求证： AFDA CEB4.已知：EA=EC ED=EB求证： AEDA CEBFD5.已知：AC=DB AE=DF EAL AD, F

6、D丄 AD,求证： EABA FDC6.已知：AB=AC AD=AE Z 1 = Z 2求证：Z B=Z C三、三角形的判定定理：角边角定理定理：两个三角形的两组对应角相等且它们的夹边也相等， 角形全等，简记为”角边角,符号表示：ASA那么这两个例1.如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的 玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？例 2.如图，AD / BC, BE / DF , AE= CF，试说明： ADF CBE.例3.如图，在厶ABC中，AD丄BC于点D ,BE丄AC于E.AD与BE交于F，若BF = AC,试说明： AD 例4.在 ABC中，

7、/ BAC= 90 , AB= AC,直线 m经过点 A, BD丄直线 m, CE丄D、E.试说明： BDA AEC;(2)DE = BD + CE.练习：1.如图，已知AO=DO, Z AOB与/ DOC是对顶角，还需补充条件说明 AOBA DOC;或者补充条件 = DOC2.已知：点 D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点 O, AB=AC,Z Co 求证： ABEBA ACD3.如图，Z 1 = Z 2,Z 3=Z 4,求证：AC=AD4.如图，有一块边长为 4的正方形塑料摸板护可根据 “$AS , BDF.三角板的直角顶点落在 A点，两条直角边 延长线交于点 E 则四边形 AEC

8、F的面/ B=ABCD，将一块足够大的直角D，就可根据“ ASA”说明 aob四、三角形的判定定理：角角定理：两个三角形的两组对应角相等且其两个三角形全等, 例1.如图：已知简记为”角角边”，符号 D、E分别在AB、AC上,CEB分别与CD交于点F ,与CB 积是多少？边定理中一角的对边也相等，那么这表示：AASAB=AC, / BDC = / CEB ,求证:BE=CD.例2.如图，在厶/ B=Z D ,AD/ BC 试证明 AD=CBAFD和厶BEC中，点A、E、F、C在同一直线上,例3.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E , AE =EC , CF 求证：AD = CF 例4.如图，

9、在 ABC中，/ B=2/C,AD是厶ABC的角平分线，/ C,求证： ABDA AED.练习1 :1.如图，AB=AC, CD丄 AB 于 D, BEX AC于 E。求证：AD=AE2.如图，AC和BD交于点3.已知 BEX AD, CF丄 AD,还是角平分线？请说明理由4.如图，AB=AC AD=AE,E , AB/ CD , BE=DE 求证：AB=CD且BE=CF判断 AD是厶ABC的中线求证：OB=OC5.如图，AEX AB, ADX AC, AB=AC, / B=Z C,求证：BD=CE=6.已知/ BAC=Z DAE, / ABD=Z ACE BD=CE求证；AB=AC, AD=

10、AE;练习2 :1、如图， ABCA BAD点A点B,点C和点D是对应点。如果 BC的长是( )FAB=6厘米，BD=5厘米,AD=4厘米，那么A . 4厘米B . 5厘米 C . 6厘米 D .无法确定2、如图,CD第2题ACM AB=AC BN=CM Z B=50 , C.60 第A120 B.A ,.如图示,CD第4题BO则Z MAC勺度数D.50AC, BD相交于点 Q AOBA COD / A=Z C,第其它对应角分别为，对应边分别为4.如图示，点B在AE上, / CBEN DBE,要使 ABC ABD,还需添加一个条件是 适当的一个条件即可）（填上你认为5.如图：在厶 ABC中，点

11、 D, E在 BC上，且 AD=AE BD=CE / ADEN AED 求证：AB=AC.6.如图：E是/ AOB的平分线上一点， EC丄OA ED丄OB 垂足为 C, D。 求证：（1） OC=OD （2） DF=CF五、三角形的判定定理：边边边公理SSS如图，在厶ABC和厶DCB中，AC和BD相交于点 O, AB=DC, AC=BD, 求证：OB=OC 如图，E、C 两点在线段 BF 上,BE=CF AB=DE AC=DF 求证： ABC DEF 女口图,AB=CD, BE=DF, AF=CE,证：BE/ DF1 :定理：三边对应相等的两个三角形全等。简称为“边边边”简写为“例1.例2.例

12、3.练习1.如图，已知AB=AD,如果要判定 ABCA ADC,根据（S、S、S）全等的判定方法，还需要添加的条件第1题2.已知：如图， AB=DC, AD=BC,求证：/ A=Z GA第2BAC=Z DAE I是.3.已知：如图，AB=AC , AD=AE , BD=CE.求证:4. ABC 中， AB=AC,求证：/ B=Z C 练习2 :1.在厶 ABOA A B C中，AB=A B 则补充的这个条件是（）A. BC=B C B . Z A=Z A C（自己画图）,/ B=Z Be定能保证厶 ABCA A B C,补充条件后仍A= 30;.AC=A C2.直角三角形两锐角的角平分线所交成

13、的角的度数是（A . 45 B . 135 C . 45 或 135 D3. 根据下列已知条件，能惟一画出三角形 ABC的是（A. AB= 3 , BC= 4 , AC= 8; B. AB = 4 ,C. Z A= 60, Z B= 45 , AB= 4; D. Z C= 90 , aB= 6 4. 三角形 ABC中，Z A是Z B的2倍，Z C比Z A+Z B还大12,则这个三角形是 三角形.5. 以三条线段3、4、x 5为这组成三角形，贝U x的取值为 .6. 杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理是 .7. ABC中，Z A+Z B=Z C, Z A的

14、平分线交 BC于点D,若CD= 8cm,则点D到AB的距离为& 已知，如图，D是厶ABC的边AB上一点，DF交AC于点E, DE=FE, FC / AB,求证：AD=CF9.如图， ABC为等边三角形，点 M,N分别在BC,AC上,且BM二CN ,求.AQN的度数。9.阅读下题及证明过程： 已知：如图，D是厶ABC中BC边上一点，E是AD上一点，D . Z C=Z C.都不对BC= 3,AN交于Q点。与EBBMADAABE=/ ACECcm.求证：/ BAE玄CAE证明：在厶 AEB和 AEC中，/ EB=EC / ABE=Z ACE AE=AE AEBA AEC第一步/ BAE=Z CAE第

15、二步问上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写 出你认为正确的证明过程.六、勾股定理1.观察：【邮票赏析】1955年希腊发行的一枚纪念邮票，邮票上的 图案是根据一个着名的数学定理设计的。观察这枚邮票上 的图案和图案中小方格的个数，你有哪些发现？2.体会：1.分别以图中的直角三角形三边为边向外作正方形，求这三个正方形的面积？2.这三个面积之间是否存在什么样的未知关系如果存在，那么它们的关系是什么？3.是否所有的直角三角形都有这个规律呢？请写出你发现的规律3.思考：勾股定理又称毕达哥拉斯定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一， 问题的最重要的工具

16、之一，也是数形结合的纽带之一。勾股定理约有是用代数思想解决几何400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。下面选几个图案 ，你能从中说出勾股定理的推导过程吗1.以a、b为直角边，c为斜边做四个形状大小相同的的直角三角形，拼成一个正方形.2.用二个形状大小相同的的直角三角形，拼成一个直角梯形形.3 .用二种方法分割边长为 a+b的正方形.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 符号语言：在 Rt ABC中，/ C=9(J,A a2+b2=c2四.练习1:1、 判断题(1)若a、b、c是三角形的三边，则 a2 b c2.(2)直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方2、

17、求下列直角三角形中未知边的长.3、 下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少?(注：下列各图中的三角形均为直角三角形 )4.受台风影响5.如图，/ DBC =练习2 :一、选择题1.直角三角形棵9米高的树断裂，树的顶部落在离树跟底部 四边形 ABCD 中，/ BAD =90 ,AB =4,BC =12，求 CD .1y条边长均为M棵树折断后离地面有多高).则其周8(A) 30 (B) 28(36) 56(D)不能确定2.直角三角形的斜边比一直角边长 2 cm ,另一直角边长为6 cm,则它的斜边长(A) 4 cm(B) 8 cm(C) 10 cm(D) 12 cm3.已知一个Rt的两边长

18、分别为 3和4,则第三边长的平方是( )(A) 25(B) 14(C) 7(D) 7 或 254.等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为()(A) 13(B) 8(C) 25(D) 6412,289直角边长为5.五根小木棒，其长度分别为7, 15, 20, 24, 25,现将他们摆成两个直角三角形， 其中正确的是( )（B） 锐角三角形 （C） 直角三角形1的正方形，则四边形ABCD的面积是（）12.5 （ C） 9 （ D） 8.5（第 8 题）8.如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯 米.2 2 29.在直角三角形 ABC中，斜边AB =2,则AB

19、+AC + BC = 10如图，四边形 ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE =3，BE =4,阴影部分的面积是 .三、解答题11.如图，已知一等腰三角形的周长是 16,底边上的高是4.求这个三角形各边的长.12.如图，一架2.5米长的梯子 AB,斜靠在一竖直的墙 AC上，这时梯足 B到墙底端C的距离为0.7米， 如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4米，那么梯足将向外移多少米？13. 如图，某沿海开放城市 A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h 的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km那么台风中心经过多长时间从 B点移到D点？如果在距台风

20、中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在 D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险?- 作图1.画图：画出边长分别是下列各组数的三角形。 （单位：厘米）A: 3、4、3; ? B : 3、4、5; C: 3、4、6; ? D: 5、12、13;2测量：用你的量角器分别测量一下上述各三角形的最大角的度数，并记录如下A: B : C : D :3判断：请判断一下上述你所画的三角形的形状。A: B : C : D : 4找规律：根据上述每个三角形所给的各组边长，请你找出最长边的平方与其他两边的平方和之间的 关系。A: B : C : D : 5猜想：让我们猜想一下，一

21、个三角形各边长数量应满足怎样的关系式时，这个三角形才可能是直角 三角形呢？你的猜想是 。二探索1、 操作:1、以6cm 8cm 10cm三个数为边画一个三角形，再以 6cm 8cm两个数为直角边长，画一个直角三角形。2、把你所画的边长为 6cm 8cm 10cm的三角形和6cm 8cm为直角边的直角三角形分别剪下来。3、把你刚才所剪下来的两个图片叠合在一起。2、 观察、猜想：叠合后的两个三角形存在什么关系？你还能得出什么结论呢？3、 归纳总结：如果三角形的三边长 a、b、c满足a2+b2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形。符号语言：a+b=c2 ABC为 Rt 这个结论与勾股定理有什么关系？

22、像（3 , 4, 5）、（6 , 8, 10）、（5,12,13）等 满足a2+b2=c2的一组正整数，通常称为勾股数。三.实践：例1 .已知：如图，AD= 4, CD= 3 ,Z ADC= 90, AB= 13 , BC=b2.求图形的面积.C例2 .如图,有一块直角三角形纸片，两直角边AC= 6cm, BC= 8cm,先将直角边 AC沿斜边AB上,四练习11.在厶 ABC中，Z A、Z B且与AE重合，求CD的长./C的对边分别是a、,使它落在A. a + b = c B. a:b:c=3:4:5 C. ab、c，下列条件中，能判断 ABC为直角三角形的是 （）=b = 2c D.Z A=

23、C2三角形三边长分别为A.直角三角形 B.3.若 ABC的三边a、b、c满足条件a2 + b2+ c2+ 50= 6a + 8b + 10c,试判断 ABC的形状.3 .已知某校有一块四边形空地 ABCD如图现计划在该空地上种草皮，经测量Z A=90 ,AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m,若每平方米草皮需 100元，问需投入多少元 练习2 :一、选择题 d1下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ）.A. 2, 3, 4 B. 5, 7, 9 C. 8, 15, 17 D. 200,a2+b2、2ab、a2-b2 （a、b 都是整数，ab）,则这个. ）.锐角三角形 C.

24、 钝角三角形 C D. D不能确定 B2.五根小木棒，其长度分别为7, 15, 20, 24, 25,现将他们摆成两个直角三角形，3 三角形白a、24A.锐角三角形7 154 .下列结论错误的是（AB.b、c,CB300, 400其中正确的是（爭+ b）2 = cWab，那这个三角形是 4C钝角三角形D.DA.三个角度之比为1 :2 :3的三角形是直角三角形；B.三条边长之比为3 :4 :5的三角形是直角三角形；C.三个角度之比为1 :1 :2的三角形是直角三角形；D.三条边长之比为8 :16:17的三角形是直角三角形)B5 .小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走 50了钱在去图书馆

25、，小芳到家用了 6分钟，从家到图书馆用了锐角 B.直角 C.钝角 D.不能确定米，小丽走直线用了 10分钟，小芳先去家拿 8分钟，小芳从公园到图书馆拐了个 （）角.A.下列各组线段中的三个长度2 2小 2 2m -n 、2mn、 m nA.B. 4组 9、12、15;（m、n为正整数,C. 3组7、24、m n)D. 2组25; 32、42、52; 3a、4a、5a （a0）;其中可以构成直角三角形的有（ ）5组、填空题2 2 21. 在 ABC中，若 AB +BC =AC，则Z A+Z C= 度.2.若一个三角形的三边之比为 5: 12: 13,且周长为60cm，则它的面积为 .3.已知两条

26、线段的长为 5cm和12cm,当第三条线段的长为 ? cm时，这三条线段能组成一个直角三角形.4 .直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为 .5.正方形网格中的厶 ABC,若小方格边长为 1,则厶ABC是 三、解答题1. 一个零件的形状如图 2所示，按规定这个零件中/ A和/ DBC都应为直角工人师傅量得这个零件各 边尺寸如图3所示，这个零件符合要求吗？2.已知：如图， ABC 中，AB=5cm , BC=3 cm, AC=4cm , CD丄 AB 于 D,求CD的长及 ABC的面积；2 2 2 22.已知 ABC的三边为 m , m-n , 2mn对于m、n为任何正整数时(mn),你

27、能说明厶ABC为直角三角形吗？14.已知：正方形 ABCD中，F是DC的中点，E为BC的上一点，且 EC= BC4求证：EF丄AF. -八、平方根(1) 尸P一回顾 1.口答() =9 ( ) 2=252 2() =16 ( ) =81() 2()=14B2=1212 =0()2.想一想(1)如果一个数的平方等于2,这个数是几？(2)个数的平方等于 5呢？想知道这个数的结果吗 二理解：如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫做的 a平方根，也称为a的二次方根。如果x2二a，那么x就叫做a的平方根。2 2例如：/ ( 2) =4,(-2) = 4, _2是 4 的平方根(扩(+_) 2 = 0.2

28、5 , ( _)1 是1的平方根92=0.25 , 是0.25的平方根观察下面的式子：2 211 =1, (-1) =120.5 =0.25, (-0.5) =0.25(1)请你写出一个与上面式子类似的式子(2)你发现了什么结论2小结：一个正数的平方根有 个，它们互为 .一个正数a的正的平方根，记作“ 揖”，正数a的负的平方根记作“ -Va ”，这两个平方根合起来 记作“士薦”，读作“正、负根号 a ”。 _例如：2的平方根记作2 , 4的平方根记作_ 4 ( 2)4,(-2)4, _2是 4 的平方根，即：一 -4 = . 22 = 2一般地，3.问题二：二a2 二 a ，如 _ . 25 = . 52 = 5 等4 平方根的性质：一个正数的平方根有 2个，它们互为相反数;0只有1个平方根，它是0本身；负数没有平方根。F列各式无意义的是(使.-x有意义的x的值是(A.正数 B.负数 C.一、填空题125的平方根是(-1) 2的平方根是252-242的平方根是(一1)2正的平方根是 2_, 16正的平方根的平方根是0. 04的负的平方根是_10.若V02 +|b-3| =