七升八暑假衔接学习讲义.docx
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七升八暑假衔接学习讲义
图形的全等
1.
定义：
能够完全重合的两个图形称为全等图形
观察右面两组图形，它们是不是全等图形？
为什么？
2.由全等图形类比得出：
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
比如，在图中，△ABWADEF能够完全重合，它们是全等的。
其中顶点A,D重合，它们是对应顶点；AB边与DE边重合,它们是对应边；.A与.D重合，它们是对应角•
△AB^ADEF全等，我们把它记作“△AB3ADEF
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上
全等三角形的对应边，对应角
；全等三角形
全等三角形的对应边上的中线，对应边上的高，对应角的角平分线
的周长，面积。
几何语言:
:
ABC^ADEF（已知）
「•AB=,AC=,BC=（）
■ZA=,/C=，/B=.（）
练习:
：
1.如图6,△ABC^^AEC,ZB=75°,ZACB=55°,求出△AEC各内角的度数。
解：
2.如图7,△ABD^AEBC,AB=3cm,AC=8cm,求DE的长。
解：
3.判断:
CD全等三角形的边相等，角相等，中线相等，角平分线相等
辺全等三角形的周长相等.（）
C周长相等的两个三角形是全等三角形.（）
C全等三角形的面积相等.（）
C面积相等的两个三角形是全等三角形.（）
4.填空：
如图所示，已知△AOBBACOD,ZC=ZA,AB=CD则另外两组对应边为，另
外两组对应角为
二、三角形的判定定理：
边角边公理!
BD
定理：
两个三角形的两组对应边相等且它们的夹角相等，那么这两个三角形全等，简记为
"边角边”，符号
表示：
"SAS"E
例1.下列哪组三角形能完全重合（全等）？
5.如图3，已知CD丄AB于D,BE丄AC于E,
△ABE^AACD,ZC=20°,AB=10,AD=4,G为AB延长线上的一点,ABE的度数和CE的长.
ADBG
例2.如图，在△ABC和△AB'C'中，已知
AB=AB',ZB=ZB',BC=B'C'.这两个三角形全等
例3.在厶ABC和△AB'C中（自己画图）
AB=AB
⑴⑵
BC=BC
•••.ABC=.：
ABC（SAS）
AC二AC
（3）_=£__
BC=BC
•.ABC二.ABC（）
•ABC三ABC（）
练习1:
1•根据题目条件，判断下面的三角形是否全等?
（1）AC=DF,/C=ZF,BC=EF;
（2）BC=BD,/ABC=ZABD
2.如图2,AAOB^D^COD全等吗？
为什么？
3.如图，在△ABC中，AB=AC,AD平分/BAC求证：
△ABD
ACD
4.如图3,已知AD//BCA»CB证明：
△ABC^ACDA.
5.如图4,已知AB=AC,AD-AE/1=Z2,证明：
△ABD^ACE.
6.如图，已知AB=ACAE=AD,那么图中哪两个三角形全等？
-
并进行证明.'."-.■|
7.已知：
AD/BC,AD-CB（如图）.现有条件能证明△-ADWACBA吗？
如
请写出证明过程，若不能，那么还需添加怎样的条件才能证明？
、-二练习2：
|'
果
台匕
冃匕
1.已知：
如图,AC=ADZCAB.DAB：
求证：
△ACB^AADB
2.已知：
AD//BC,AD=CB求证：
△ADC^ACBA
3.已知：
AD//BC,AD=CBAE=CF求证：
△AFD^ACEB
4.已知：
EA=ECED=EB
求证：
△AED^ACEB
FD
5.已知：
AC=DBAE=DFEALAD,FD丄AD,
求证：
△EAB^AFDC
6.已知：
AB=ACAD=AEZ1=Z2
求证：
ZB=ZC
三、三角形的判定定理：
角边角定理
定理：
两个三角形的两组对应角相等且它们的夹边也相等，角形全等，简记为”角边角",符号表示：
"ASA"
那么这两个
例1.如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？
例2.如图，AD//BC,BE/DF,AE=CF，试说明：
△ADF◎△CBE.
例3.如图，在厶ABC中，AD丄BC于点D,BE丄AC于E.AD与BE交于F，若BF=AC,试说明：
△AD例4.在△ABC中，/BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD丄直线m,CE丄
D、E.试说明：
⑴△BDA◎△AEC;
（2）DE=BD+CE.
练习：
1.如图，已知AO=DO,ZAOB与/DOC是对顶角，还需补充条件
说明△AOB^ADOC;或者补充条件=
DOC
2.已知：
点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O,AB=AC,
ZCo求证：
△ABEBAACD
3.如图，Z1=Z2,Z3=Z4,求证：
AC=AD
4.如图，有一块边长为4的正方形塑料摸板
护］可根据“$AS,
◎△BDF.
三角板的直角顶点落在A点，两条直角边延长线交于点E•则四边形AECF的面
/B=
ABCD，将一块足够大的
直角
D
，就可根据“ASA”
说明△aob
四、三角形的判定定理：
角角
定理：
两个三角形的两组对应角相等且其
两个三角形全等,例1.如图：
已知
简记为”角角边”，符号D、E分别在AB、AC上,
C
E
B
分别与CD交于点F,与CB积是多少？
边定理
中一角的对边也相等，那么这
表示：
"AAS"
AB=AC,/BDC=/CEB,求证:
BE=CD.
例2.如图，在厶
/B=ZD,
AD//BC试证明AD=CB
AFD和厶BEC中，点A、E、
F、C在同一直线上,
例3.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E,AE=EC,CF求证：
AD=CF•
例4.如图，在△ABC中，/B=2/C,AD是厶ABC的角平分线，/
/C,
求证：
△ABD^AAED.
练习1:
1.如图，AB=AC,CD丄AB于D,BEXAC于E。
求证：
AD=AE
2.如图，AC和BD交于点
3.已知BEXAD,CF丄AD,
还是角平分线？
请说明理由
4.如图，AB=ACAD=AE,
E,AB/CD,BE=DE求证：
AB=CD
且BE=CF判断AD是厶ABC的中线
求证：
OB=OC
5.如图，AEXAB,ADXAC,AB=AC,/B=ZC,求证：
BD=CE=
6.已知/BAC=ZDAE,/ABD=ZACEBD=CE
求证；AB=AC,AD=AE;
练习2:
1、如图，△ABC^ABAD点A点B,点C和点D是对应点。
如果BC的长是（）
F
AB=6厘米，BD=5厘米,
AD=4厘米，那么
A.4厘米B.5厘米C.6厘米D.无法确定
2、如图,
C
D
第2题
ACMAB=ACBN=CMZB=50°,
°C.60°
第
A
120°B.
A,
§.如图示,
C
D
第4题
B
O则ZMAC勺度数
D.50
AC,BD相交于点Q△AOB^ACOD/A=ZC,第」其它对应角分别为
，对应边分别为
4.如图示，点B在AE上,/CBENDBE,要使△ABC^△ABD,还需添加一个条件是适当的一个条件即可）
•（填上你认为
5.如图：
在厶ABC中，点D,E在BC上，且AD=AEBD=CE/ADENAED求证：
AB=AC.
6.如图：
E是/AOB的平分线上一点，EC丄OAED丄OB垂足为C,D。
求证：
（1）OC=OD
（2）DF=CF
五、三角形的判定定理：
边边边公理
SSS'
如图，在厶ABC和厶DCB中，AC和BD相交于点O,AB=DC,AC=BD,求证：
OB=OC如图，E、C两点在线段BF上,BE=CFAB=DEAC=DF求证：
△ABC^^DEF女口图,AB=CD,BE=DF,AF=CE,证：
BE//DF
1:
定理：
三边对应相等的两个三角形全等。
简称为“边边边”简写为“
例1.
例2.
例3.
练习
1.如图，已知AB=AD,如果要判定△ABC^AADC,根据（S、S、S）全等的判定方法，还需要添加的条件
第1题
2.已知：
如图，AB=DC,AD=BC,求证：
/A=ZG
A
第2
BAC=ZDAEI
是.
3.已知：
如图，AB=AC,AD=AE,BD=CE
.求证:
4.△ABC中，AB=AC,求证：
/B=ZC练习2:
1.在厶ABO^AA'B'C'中，AB=AB'则补充的这个条件是（）
A.BC=BC'B.ZA=ZA'C
（自己画图）
/B=ZB'
e
定能保证厶ABC^AAB'C',
补充条件后仍
A=30°;
.AC=AC'
2.直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（
A.45°B.135°C.45°或135°D
3.根据下列已知条件，能惟一画出三角形ABC的是（
A.AB=3,BC=4,AC=8;B.AB=4,
C.ZA=60°,ZB=45°,AB=4;D.ZC=90°,aB=6"
4.三角形ABC中，ZA是ZB的2倍，ZC比ZA+ZB还大12°,则这个三角形是三角形.
5.以三条线段3、4、x—5为这组成三角形，贝Ux的取值为.
6.杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理是.
7.△ABC中，ZA+ZB=ZC,ZA的平分线交BC于点D,若CD=8cm,则点D到AB的距离为—
&已知，如图，D是厶ABC的边AB上一点，DF交AC于点E,DE=FE,FC//AB,
求证：
AD=CF
9.如图，ABC为等边三角形，点M,N分别在BC,AC上,且BM二CN,
求.AQN的度数。
9.阅读下题及证明过程：
已知：
如图，D是厶ABC中BC边上一点，E是AD上一点，
D.ZC=ZC'
.都不对
BC=3,
A
N交于Q点。
与
EB
B
M
A
D
A
ABE=/ACE
C
cm.
求证：
/BAE玄CAE
证明：
在厶AEB和△AEC中，
•/EB=EC/ABE=ZACEAE=AE
•••△AEB^AAEC••…第一步
•••/BAE=ZCAE••…第二步
问上面证明过程是否正确？
若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程.
六、勾股定理
1.观察：
【邮票赏析】1955年希腊发行的一枚纪念邮票，邮票上的图案是根据一个着名的数学定理设计的。
观察这枚邮票上的图案和图案中小方格的个数，你有哪些发现？
2.体会：
1.分别以图中的直角三角形三边为边向外作正方形，求这三个正方形的面积？
2.这三个面积之间是否存在什么样的未知关系如果存在，那么它们的关系是什么？
3.是否所有的直角三角形都有这个规律呢？
请写出你发现的规律
3.思考：
勾股定理又称毕达哥拉斯定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。
勾股定理约有
是用代数思想解决几何
400种证明方法，是数学定理中证明
方法最多的定理之一。
下面选几个图案，你能从中说出勾股定理的推导过程吗
1.以a、b为直角边，c为斜边做四个形状大小相同的的直角三角形，拼成一个正方形.
2.用二个形状大小相同的的直角三角形，拼成一个直角梯形形.
3.用二种方法分割边长为a+b的正方形.
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
符号语言：
在Rt△ABC中，•••/C=9（J,Aa2+b2=c2
四.练习1:
1、判断题
（1）若a、b、c是三角形的三边，则a2b^c2.
（2）直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方
2、求下列直角三角形中未知边的长.
3、下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少?
（注：
下列各图中的三角形均为直角三角形）
4.受台风影响
5.如图，
/DBC=
练习2:
一、选择题
1.直角三角形
棵9米高的树断裂，树的顶部落在离树跟底部四边形\ABCD中，/BAD=90,
AB=4,BC=12，求CD.
1
y
条边长均为
M棵树折断后离地面有多高
）.
则其周8
（A）30
（B）28
（36）56
（D）不能确定
2.直角三角形的斜边比一直角边长2cm,
另一直角边长为
6cm,则它的斜边长
（A）4cm
（B）8cm
（C）10cm
（D）12cm
3.已知一个Rt△的两边长分别为3和4,
则第三边长的平方是（）
（A）25
（B）14
（C）7
（D）7或25
4.等腰三角形的腰长为
10,底长为12,则其底边上的高为（
）
（A）13
（B）8
（C）25
（D）64
12,
289
直角边长为
5.五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）
（B）锐角三角形（C）直角三角形
1的正方形，则四边形ABCD的面积是（）
12.5（C）9（D）8.5
（第8题）
8.如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯米.
222
9.在直角三角形ABC中，斜边AB=2,则AB+AC+BC=
10•如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4,阴影部分的面积是.
三、解答题
11.如图，已知一等腰三角形的周长是16,底边上的高是4.求这个三角形各边的长.
12.如图，一架2.5米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？
13.如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？
如果
在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报
后的几小时内撤离才可脱离危险?
-•作图
1.画图：
画出边长分别是下列各组数的三角形。
（单位：
厘米）
A:
3、4、3;?
?
B:
3、4、5;C:
3、4、6;?
?
D:
5、12、13;
2•测量：
用你的量角器分别测量一下上述各三角形的最大角的度数，并记录如下
A:
B:
C:
D:
3•判断：
请判断一下上述你所画的三角形的形状。
A:
B:
C:
D:
4•找规律：
根据上述每个三角形所给的各组边长，请你找出最长边的平方与其他两边的平方和之间的关系。
A:
B:
C:
D:
5•猜想：
让我们猜想一下，一个三角形各边长数量应满足怎样的关系式时，这个三角形才可能是直角三角形呢？
你的猜想是。
二•探索
1、操作:
1、以6cm8cm>10cm三个数为边画一个三角形，再以6cm>8cm两个数为直角边长，画一个直角三
角形。
2、把你所画的边长为6cm8cm10cm的三角形和6cm8cm为直角边的直角三角形分别剪下来。
3、把你刚才所剪下来的两个图片叠合在一起。
2、观察、猜想：
叠合后的两个三角形存在什么关系？
你还能得出什么结论呢？
3、归纳总结：
如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
①符号语言：
a+b=c2
•••△ABC为Rt△
这个结论与勾股定理有什么关系？
②像（3,4,5）、（6,8,10）、（5,12,13）等满足a2+b2=c2的一组正整数，通常称为勾股数。
三.实践：
例1.已知：
如图，AD=4,CD=3,ZADC=90°,AB=13,BC=b2.求图形的面积.C
例2.如图,
有一块直角三角形纸片，两直角边
AC=6cm,BC=8cm,先将直角边AC沿
斜边AB上,
四•练习1
1.在厶ABC中，ZA、ZB
且与AE重合，求CD的长.
/C的对边分别是
a、
使它落在
A.a+b=cB.a:
b:
c
=3:
4:
5C.a
b、c，下列条件中，能判断△ABC为直角三角形的是（）
=b=2cD.
ZA=
C
2•三角形三边长分别为
A.直角三角形B.
3.若△ABC的三边a、b、c满足条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,试判断△ABC的形状.
3.已知某校有一块四边形空地ABCD如图现计划在该空地上种草皮，经测量
ZA=90°,AB=3m,BC=12m,CD=13m,DA=4m,若每平方米草皮需100元，问需投入多少元练习2:
一、选择题d
1•下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（）.
A.2,3,4B.5,7,9C.8,15,17D.200,
a2+b2、2ab、a2-b2（a、b都是整数，a>b）,则这个.）.
锐角三角形C.钝角三角形CD.D不能确定B
2.五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形，
3•三角形白
a、
24
A.锐角三角形
715
4.下列结论错误的是（
A
B.
b、c,
C
B
300,400
其中正确的是（
爭+b）2=cW^ab，那这个三角形是©4
C钝角
三角形
D.
D
A.三个角度之比为
1:
:
2:
3的三角形是直角三角形；
B.三条边长之比为
3:
4:
5的三角形是直角三角形；
C.三个角度之比为
1:
1:
2的三角形是直角三角形；
D.三条边长之比为
8:
:
16
:
17的三角形是直角三角形
）B
5.小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50
了钱在去图书馆，小芳到家用了6分钟，从家到图书馆用了
锐角B.直角C.钝角D.不能确定
米，小丽走直线用了10分钟，小芳先去家拿8分钟，小芳从公园到图书馆拐了个（）角.
A.
下列各组线段中的三个长度
22小22
m-n、2mn、mn
A.
B.4组
①9、12、15;
（m、n为正整数,
C.3组
7、24、
m>n）
D.2组
25;③32、42、52;④3a、4a、5a（a>0）;
其中可以构成直角三角形的有（）
5组
、填空题
222
1.在△ABC中，若AB+BC=AC，则ZA+ZC=度.
2.若一个三角形的三边之比为5:
12:
13,且周长为60cm，则它的面积为.
3.已知两条线段的长为5cm和12cm,当第三条线段的长为?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
cm时，这三条线段能组成一个
直角三角形.
4.直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为.
5.正方形网格中的厶ABC,若小方格边长为1,则厶ABC是
三、解答题
1.一个零件的形状如图2所示，按规定这个零件中/A和/DBC都应为直角•工人师傅量得这个零件各边尺寸如图3所示，这个零件符合要求吗？
2.已知：
如图，△ABC中，AB=5cm,BC=3cm,AC=4cm,CD丄AB于D,
求CD的长及△ABC的面积；
2222
2.已知△ABC的三边为m,m-n,2mn
对于m、n为任何正整数时（m>n）,你能说明厶ABC为直角三角形吗？
1
4.已知：
正方形ABCD中，F是DC的中点，E为BC的上一点，且EC=BC
4
求证：
EF丄AF.-
八、平方根
（1）尸P
一•回顾「
1.口答
（）=9（）2=25
22
（）=16（）=81
（）2
（）
=1
4
B
2
=121
2=0
（）
2.想一想
（1）如果一个数的平方等于
2,
这个数是几？
（2）—个数的平方等于5呢？
想知道这个数的结果吗二理解：
如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做的a平方根，也称为a的二次方根。
如果x2二a，那么x就叫做a的平方根。
22
例如：
•/
（2）=4,（-2）=4,_2是4的平方根
（扩
（+_）2=0.25,（―_）
1
••是1的平方根
9
2
=0.25,•••是0.25的平方根
观察下面的式子：
22
11=1,（-1）=1
20.5=0.25,（-0.5）=0.25
（1）请你写出一个与上面式子类似的式子
（2）你发现了什么结论
2•小结：
一个正数的平方根有个，它们互为.
一个正数a的正的平方根，记作“揖”，正数a的负的平方根记作“-Va”，这两个平方根合起来记作“士薦”，读作“正、负根号a”。
_
例如：
2的平方根记作—2,4的平方根记作_4
•••
（2）^4,（-2）^4,_2是4的平方根，即：
一-4=.22=2
一般地，
3.问题二：
二a2二a，如_•.25=•.52=5等
4•平方根的性质：
一个正数的平方根有2个，它们互为相反数;
0只有1个平方根，它是0本身；
负数没有平方根。
F列各式无意义的是（
使.-x有意义的x的值是（
A.正数B.负数C.
一、填空题
125的平方根是
（-1）2的平方根是
252-242的平方根是
（一1）2正的平方根是
2
_,16正的平方根的平方根是
0.04的负的平方根是___
10.若V02+|b-3|=
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