三年级下册奥数教材.docx

1、三年级下册奥数教材第二学期一、加减法中的巧算同学们，你们一定希望自己在计算时算得又正确又迅速，方法上既合理又灵活，那么怎样才能做到这些呢？首先，要熟练地掌握计算法则和运算顺序；其次，要了解题目的特点，选用合理、灵活的计算方法。下面我们将重点学习巧算的方法。(一)加法中的巧算。1.加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。一般的，有 abba。2.加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再同第一个数相加，它们的和不变。一般的，有 abc(ab)ca(bc)。这里应注意：如果推广到多个数相加，任意交换加数的位置，它们的和不变；或者先把其中的几个数

2、结合成一组相加，再把所得的和同其余的数相加，它们的和不变。把加法的交换律和结合律联系起来使用，先把加在一起是整十、整百、整千、的加数加起来，然后再与其他加数相加，可进行巧算。例 1 巧算下列各题：(1)32+812319+68；(2)(24+37+15)+(1645+13)。解 (1) 3281231968(3268)+(81+19)23100100+23223；(2) (24+3715)+(16+4513)(24+16)+(37+13)+(1545)4050+60150同学们在运用以上定律进行巧算时，有些题目乍看起来不具备巧算的条件，那怎么办呢？我们说办法还是有的！这就是利用转化的思考方法，

3、把其中的一个加数拆成两部分，用一部分与另一个加数相加，再用和与另一部分相加。如：计算 673+288。67328866112288661+(12288)661+300961德国有一位世界著名的数学家叫高斯(公元 1777 年-1855 年)。他上小学的时候，老师出了一个题目，1+2+99+100？小高斯看了看，又想了想，很快说出结果是5050。同学们，你们知道他是怎么算出来的吗？原来小高斯在认真审题的基础上，根据题目的特点，发现了这样的关系：1+100101，299101，398101，5051101。一共有多少个 101 呢？100 个数，每两个数是一对，共有 50 个 101。所以1239

4、8+99+10010150即 (1001)(1002)101505050像高斯的老师所出的题目那样，按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项；，最后一个数叫末项。如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，就称这个数列为等差数列。后项与前项的差叫做这个数列的公差。如：1，2，3，4，是等差数列，公差为 1；2，4，6，8，是等差数列，公差为 2；5，10，15，20，是等差数列，公差为 5。由高斯的巧算可知：1+2+3+98+99+100(1+100)(1002)即(1+100)(1002)，可得出这样的公式：总和(首项+末项)u

5、39033X数2这样，由于高斯发现了巧算的方法，所以他最先得出了正确的答案。因此，同学们要想算得正确、迅速，方法合理、灵活，不仅要掌握数与运算的定律、性质，而且要善于观察，认真审题，注意发现题目的特点。例 2 计算下列各题：(1)2469698100；(2)25+8+23+2629。解 (1)这是一个公差为 2 的等差数列，首项是 2，末项是 100，项数为 50。所以2+4+6+9698+100(2+100)502102502510022550；(2)这是一个公差为 3，首项为 2，末项为 29，项数是 10 的等差数列。所以258+23+2629(2+29)102311023102155。

6、(二)减法中的巧算。1.减法的性质(1)一个数减去几个数的和，等于从这个数里依次减去和中的每个加数。一般的，有 a-(b+c+d)a-b-c-d反之，一个数连续减去几个数，等于从这个数里减去这几个数的和。一般的，有 a-b-c-da-(b+c+d)(2)一个数减去两个数的差，等于从这个数中减去差里的被减数(在能减的情况下)，再加上差里的减数；或者先加上差里的减数，再减去差里的被减数。一般的，有 a-(b-c)a-b+c或 a-(b-c)a+c-b(3)几个数的和减去一个数，等于从任何一个加数里减去这个数(在能减的情况下)，再同其余的加数相加。一般的，有 (abc)-d(a-d)+b+ca(b-

7、d)+ca+b+(c-d)为了帮助同学们记忆，我们可以简要地概括如下：第一，在连减或加、减混合运算中，如果算式中没有括号，计算时可以带着符号“搬家”。一般的，有 a-b-ca-c-ba-b+ca+c-b第二，在加、减混合运算中，如果括号的前面是“-”号，那么，去掉括号时，括号内的减号变加号，加号变减号；如果括号的前面是“”号，那么，去掉括号时，括号内的符号不变，一般把这种做法叫做同级运算去括号的性质。一般的，有 a-(b+c)a-b-ca-(b-c)a-b+ca+(b+c)a+b+ca+(b-c)ab-c例 3 巧算下列各题：52831396-2834325-1347-3254328-(328

8、497)8495-(495-287)1825+(175348)576+(432-176)1242-3961243998分析：、题可利用“带着符号搬家”的性质，使运算简便；题可利用“去括号”的性质，其中题去括号后再带着符号“搬家”，这样可使运算简便；、题可先把减数或加数“转化”成整十、整百、整千、的数，再利用“去括号”的性质进行运算。解 52831396-2835283-28313965000139663964328-(328+497)4328-328-4974000-49735034325-1347-3254325-325-13474000-134726538495-(495-287)8495

9、-495+2878000+28782871825+(175+348)1825+175+3482000+34823481242-3961242-(400-4)1242-400+4842+4846576+(432-176)576+432-176576-176+432400+4328321243+9981243+(1000-2)1243+1000-22243-22241这里应注意：同级运算有“去括号”的性质。反之，同级运算也可以“添括号”，这样有时可使计算简便。总之，通过改变运算顺序和利用运算性质，可使运算简便。2.灵活应用所学知识进行巧算例 4 计算 4000-5-10-15-95-100。分析：

10、通过观察可知，题目中的减数可以组成等差数列，所以，可先求这些减数的和，再从被减数中减去这个和。解 4000-5-10-15-95-1004000-(5+10+1595+100)4000-(5+100)(202)4000-105104000-10502950小结：当一个数连续减去几个数，这些减数能组成等差数列时，可以先求这些减数的和，再从被减数中减去这个和。例 5 计算 83827879+808178797784。分析：当许多大小不同而又比较接近的数相加时，可选择其中一个数，最好是整十、整百、整千、的数作为计数的基础，这个数叫做基准数。再把大于基准数的加数写成基准数与某数的和，把小于基准数的加数

11、写成基准数与某数的差的形式，最后再利用加、减混合运算的性质进行简便计算。本题的基准数选为 80。解 83827879808178797784(803)+(80+2)(80-2)(80-1)80(801)(80-2)+(80-1)+(80-3)(804)8010(3+2-2-1+1-2-1-3+4)800+(3214)-(2+1+213)80010-9800+(10-9)01小结：当许多大小不同但彼此又比较接近的数相加时，可选择其中一个数，最好是整十、整百、整千、的数作为计数的基础，再找出每个加数与这个数(基准数)的差。大于基准数的作为加数，小于基准数的作为减数，把这些差累计起来。再用基准数乘以

12、加数的个数，加上累计差，就是答案。脱式计算时可简略如下：原式8010+(3+2+1+4)-(2+1+2+1+3)800+10-9801练习一1.用简便方法计算下列各题：729+154+2717999+785+2158376+2538+7462+1624997+95+5482.求和：345991004812323665636153+13.用简便方法计算下列各题：516-56-44-168216-6734+27345723-(723-189)2356-(356+187)723-800+277576+(257-176)756+478-156526-189-1264.用简便方法计算下列各题：958-5

13、96 1543+4985.巧算下列各题：5000-2-4-6-98-100103+99+103+96+105+102+98+98+101+1026.求下列数据的平均数：199，202，195，201，196，201二、乘除法中的巧算在进行加法、减法、连加、连减或加减混合运算时，可利用加法的运算定律或连减及加减混合运算的性质进行简便运算。而乘、除法更有着一些巧妙的简便的运算方法，下面就让我们来学习有关的运算定律及运算性质。(一)乘法中的巧算。1.乘法交换律 两个数相乘，交换因数的位置，积不变。一般的，有 abba。2.乘法结合律 三个数相乘，可以把前两个数结合起来先乘，也可以把后两个数结合起来先

14、乘，积不变。一般的，有 abc(ab)ca(bc)。这里应注意：如果推广到多个数相乘，我们可以选择两个因数相乘，得出较简单的(整十、整百、整千、)积，再将这个积与其他因数相乘；有时也可以把某个因数再分解成两个因数，使其中一个因数与其他的乘数的积成为较简单的数，然后再与其他的因数相乘，这样就可以进行巧算。例 1 用简便方法计算下列各题：(1)16425； (2)125(178)；(3)12528； (4)2532125。分析与解 (1)题可将 4 和 25 结合起来先乘；(2)题可将 125 和 8 结合起来先乘；(3)题可把 28 变为 47，再将 125 和 4 结合起来先乘；(4)题可先把

15、 32 变为 48，再把25 和 4，125 和 8 结合起来先乘。(1) 16425 (2)125(178)16(425) (1258)17161001600；10001717000；(3)12528 (4)2532125(1254)7 (254)(8125)50073500；1001000100000。3.乘法分配律两个加数的和与一个数相乘，可以用每一个加数分别与这个数相乘，再把所得的积相加。一般的，有 (a+b)cac+bc。这里应注意：乘法的分配律可以进行推广，一般的，有(a-b)cac-bc。当两个数相乘时，有时可以把一个因数变为两个数的和与另一个因数相乘；也可以把一个因数变为两个数

16、的差与另一个因数相乘，这样可使计算简便。例 2 用简便方法计算下列各题：(1)125(108)； (2)(20-4)25；(3)400425； (4)125798。分析与解 (1)、(2)题可直接运用乘法分配律及其推广；(3)题可先把 4004 变为(40004)，再运用分配律；(4)题可先把 798 变为(800-2)，再运用分配律的推广。(1) 125(108) (2)(20-4)2512510+1258 2025-4251250+10002250；(3) 400425(4000+4)25500-100400；(4)125798125(800-2)400025+425 125800-125

17、2100000100100100；(二)除法中的巧算。100000-25099750。1.商不变的性质：被除数和除数同乘以或同除以一个数(零除外)，它们的商不变。一般的，有ab(an)(bn)(an)(bn)(n0)。2.两个数的和(差)除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数(在都能整除的情况下)，再求两个商的和(差)。一般的，有 (a+b)cac+bc；(a-b)cac-bc。这个性质也可以推广到多个数的和除以一个数的情况。3.乘、除同级运算带着符号“搬家”的性质：(1)两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数。一般的，有 abcacb。(2)两个数的积除以

18、一个数，等于用除数先去除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘。一般的，有 abcacbbca。以上这两条运算性质，说明在连除、乘除混合运算时，可以交换因数、除数的位置，在交换位置时，也要连同运算符号一起“搬家”。例 3 用简便方法计算下列各题：(1) 82525；(2)47700900；(3) (250+165)5；(4)(702-213-414)3；(5) 52575；(6)12858。分析与解 (1)、(2)题可运用“商不变”的性质；(2)、(3)题运用“两个数的和(差)除以一个数”的除法运算性质；(5)、(6)题运用乘除混合运算带着符号“搬家”的性质。(1)82525(8254)(254

19、)330010033；(3)(250+165)52505+165550+3383；(5)5257552557105715；4.乘除混合运算去括号的性质：(2)47700900(47700100)(900100)477953；(4)(702-213-414)37023-2133-4143234-71-13825；(6)128581288516580。(1)一个数除以两个数的积，等于这个数依次除以积的两个因数。一般的，有 a(bc)abc。(2)一个数乘以两个数的商，等于这个数乘以商中的被除数，再除以商中的除数。一般的，有 a(bc)abc。(3)一个数除以两个数的商，等于这个数除以商中的被除数，

20、再乘以商中的除数。一般的，有 a(bc)abc。上面的三个性质，使我们看出这样的规律：乘除混合运算的算式中，如果括号前是除号，去掉括号改变运算顺序时，要把括号内的除号变乘号，乘号变除号。如果括号前是乘号，则不需要改变括号内的运算符号。反之，算式需要添括号改变运算顺序时，规律也是如此。需要注意的是：我们在使用以上全部除法的运算性质时，必须具备的条件是商不能有余数。如果商有余数，在使用这些运算性质时余数是会发生变化的。如：324(97)324(97)32463324975936751例 4 用简便方法计算下列各题：(1) 756(79)；(2)126079；(3) 720124；(4)125(82

21、)；(5) 216246；(6)875000(10008)。分析与解 以上各题可根据乘除混合运算“去括号”或“添括号”的性质进行巧算。(1)756(79)75679108912；(3)720124720(124)72032160；(2)1260791260(79)12606320；(4)125(82)1258210002500；(5)216246216(246)216454；例 5 巧算下列各题：(6)875000(10008)8750001000887587000。(1) 132639；(2)24868-17248+24848；(3) 520125；(4)999999。分析与解 我们可以把(

22、1)、(3)、(4)题中的已知数适当分解或把已知数转化为整十、整百、整千、的数，然后运用有关运算性质，使计算简便。第(2)题可灵活运用乘法分配律进行巧算。(1)132639(2)24868-17248+248481326(133) 248(68-17+48)1326133102324899248(100-1)34；(3)520125248100-24824552；(4)999999520(10008) (1000-1)999520100085208100065100065000；(99000-99)998901(10-1)989010-98901890109。通过例 5 可以使我们懂得：有些算

23、式当表面上看来不能进行简便运算时，可把已知数适当分解或转化，从而使计算简便。另外，在计算时无论题目是否要求简算，都应尽量地使用简便方法，有时可反复使用有关的定律和性质。(三)接近 100 的两位数相乘的速算。例 6 计算 9891。对于 9891，应如下速算：(1)100-982差(2)100-919差98-989 或 91-2892918 291898918918 98918918接近 100 的两位数相乘，用被乘数减去，100 减乘数的差，所得的结果作积的前两位；再用 100 减去被乘数的差与 100 减乘数的差相乘，所得的结果作积的后两位。或用乘数减去，100 减被乘数的差，所得的结果作

24、积的前两位；再用 100 减去被乘数的差与 100 减去乘数的差相乘，所得的结果作积的后两位。用这种方法计算，有两种特例需要注意：特例 1 用 100 分别减去两个因数所得的差相乘之积不足 10 时，要在这个一位数前添 0，否则积变成三位数就错了。如：9698 速算为：100-964差100-982差96-294 42896989408(注意 8 前添 0)特例 2 用 100 分别减去两个因数所得的差相乘之积大于 100 时，要将百位作为向前进位的数，否则积变成五位数就错了。如：9384 速算为：100-937差100-8416差84-777 71611293847812(注意百位上的 1 要向前进位)练习二1.简算下列各题：1252550284568123-45568-56853(10000-100