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三年级下册奥数教材

第二学期

一、加减法中的巧算

同学们，你们一定希望自己在计算时算得又正确又迅速，方法上既合理又灵活，

那么怎样才能做到这些呢？

首先，要熟练地掌握计算法则和运算顺序；其次，要了解题目的特点，选用合理、

灵活的计算方法。

下面我们将重点学习巧算的方法。

（一）加法中的巧算。

1.加法交换律两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变。

一般的，有a＋b＝b＋

a。

2.加法结合律三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数

相加，再同第一个数相加，它们的和不变。

一般的，有a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。

这里应注意：

如果推广到多个数相加，任意交换加数的位置，它们的和不变；或

者先把其中的几个数结合成一组相加，再把所得的和同其余的数相加，它们的和不变。

把加法的交换律和结合律联系起来使用，先把加在一起是整十、整百、整千、……的

加数加起来，然后再与其他加数相加，可进行巧算。

例1巧算下列各题：

（1）32+81＋23＋19+68；

（2）（24+37+15）+（16＋45+13）。

解

（1）32＋81＋23＋19＋68

＝（32＋68）+（81+19）＋23

＝100＋100+23

＝223；

（2）（24+37＋15）+（16+45＋13）

＝（24+16）+（37+13）+（15＋45）

＝40＋50+60

＝150

同学们在运用以上定律进行巧算时，有些题目乍看起来不具备巧算的条件，那怎

么办呢？

我们说办法还是有的！

这就是利用转化的思考方法，把其中的一个加数拆成

两部分，用一部分与另一个加数相加，再用和与另一部分相加。

如：

计算673+288。

673＋288＝661＋12＋288

＝661+（12＋288）

＝661+300

＝961

德国有一位世界著名的数学家叫高斯（公元1777年-1855年）。

他上小学的时候，

老师出了一个题目，1+2+…+99+100＝？

小高斯看了看，又想了想，很快说出结果是

5050。

同学们，你们知道他是怎么算出来的吗？

原来小高斯在认真审题的基础上，根

据题目的特点，发现了这样的关系：

1+100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101，…，50

＋51＝101。

一共有多少个101呢？

100个数，每两个数是一对，共有50个101。

所以

1＋2＋3＋…＋98+99+100

＝101×50

即（100＋1）×（100÷2）＝101×50＝5050

像高斯的老师所出的题目那样，按一定次序排列的一列数叫做数列。

数列中的数

称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项；……，最后一个数叫末

项。

如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，就称这个数列为等

差数列。

后项与前项的差叫做这个数列的公差。

如：

1，2，3，4，…是等差数列，公差为1；

2，4，6，8，…是等差数列，公差为2；

5，10，15，20，…是等差数列，公差为5。

由高斯的巧算可知：

1+2+3＋…+98+99+100

＝（1+100）×（100÷2）

即（1+100）×（100÷2），可得出这样的公式：

总和＝（首项+末项）×\u39033X数÷2

这样，由于高斯发现了巧算的方法，所以他最先得出了正确的答案。

因此，同学

们要想算得正确、迅速，方法合理、灵活，不仅要掌握数与运算的定律、性质，而且

要善于观察，认真审题，注意发现题目的特点。

例2计算下列各题：

（1）2＋4＋6＋…＋96＋98＋100；

（2）2＋5+8+…＋23+26＋29。

解

（1）这是一个公差为2的等差数列，首项是2，末项是100，项数为50。

所以

2+4+6＋…+96＋98+100

＝（2+100）×50÷2

＝102×50÷2

＝5100÷2＝2550；

（2）这是一个公差为3，首项为2，末项为29，项数是10的等差数列。

所以

2＋5＋8＋…+23+26＋29

＝（2+29）×10÷2

＝31×10÷2

＝310÷2＝155。

（二）减法中的巧算。

1.减法的性质

（1）一个数减去几个数的和，等于从这个数里依次减去和中的每个加数。

一般的，有a-（b+c+d）＝a-b-c-d

反之，一个数连续减去几个数，等于从这个数里减去这几个数的和。

一般的，有a-b-c-d＝a-（b+c+d）

（2）一个数减去两个数的差，等于从这个数中减去差里的被减数（在能减的情况

下），再加上差里的减数；或者先加上差里的减数，再减去差里的被减数。

一般的，有a-（b-c）＝a-b+c

或a-（b-c）＝a+c-b

（3）几个数的和减去一个数，等于从任何一个加数里减去这个数（在能减的情况

下），再同其余的加数相加。

一般的，有（a＋b＋c）-d＝（a-d）+b+c

＝a＋（b-d）+c

＝a+b+（c-d）

为了帮助同学们记忆，我们可以简要地概括如下：

第一，在连减或加、减混合运算中，如果算式中没有括号，计算时可以带着符号

“搬家”。

一般的，有a-b-c＝a-c-b

a-b+c＝a+c-b

第二，在加、减混合运算中，如果括号的前面是“-”号，那么，去掉括号时，括

号内的减号变加号，加号变减号；如果括号的前面是“＋”号，那么，去掉括号时，

括号内的符号不变，一般把这种做法叫做同级运算去括号的性质。

一般的，有a-（b+c）＝a-b-c

a-（b-c）＝a-b+c

a+（b+c）＝a+b+c

a+（b-c）＝a＋b-c

例3巧算下列各题：

①5283＋1396-283

②4325-1347-325

③4328-（328＋497）

④8495-（495-287）

⑤1825+（175＋348）

⑥576+（432-176）

⑦1242-396

⑧1243＋998

分析：

①、②题可利用“带着符号搬家”的性质，使运算简便；③～⑥题可利用

“去括号”的性质，其中⑥题去括号后再带着符号“搬家”，这样可使运算简便；⑦、

⑧题可先把减数或加数“转化”成整十、整百、整千、……的数，再利用“去括号”

的性质进行运算。

解①5283＋1396-283

＝5283-283＋1396

＝5000＋1396

＝6396

③4328-（328+497）

＝4328-328-497

＝4000-497

＝3503

②4325-1347-325

＝4325-325-1347

＝4000-1347

＝2653

④8495-（495-287）

＝8495-495+287

＝8000+287

＝8287

⑤1825+（175+348）

＝1825+175+348

＝2000+348

＝2348

⑦1242-396

＝1242-（400-4）

＝1242-400+4

＝842+4

＝846

⑥576+（432-176）

＝576+432-176

＝576-176+432

＝400+432

＝832

⑧1243+998

＝1243+（1000-2）

＝1243+1000-2

＝2243-2

＝2241

这里应注意：

同级运算有“去括号”的性质。

反之，同级运算也可以“添括号”，

这样有时可使计算简便。

总之，通过改变运算顺序和利用运算性质，可使运算简便。

2.灵活应用所学知识进行巧算

例4计算4000-5-10-15-…-95-100。

分析：

通过观察可知，题目中的减数可以组成等差数列，所以，可先求这些减数

的和，再从被减数中减去这个和。

解4000-5-10-15-…-95-100

＝4000-（5+10+15＋…＋95+100）

＝4000-（5+100）×（20÷2）

＝4000-105×10

＝4000-1050

＝2950

小结：

当一个数连续减去几个数，这些减数能组成等差数列时，可以先求这些减

数的和，再从被减数中减去这个和。

例5计算83＋82＋78＋79+80＋81＋78＋79＋77＋84。

分析：

当许多大小不同而又比较接近的数相加时，可选择其中一个数，最好是整

十、整百、整千、……的数作为计数的基础，这个数叫做基准数。

再把大于基准数的

加数写成基准数与某数的和，把小于基准数的加数写成基准数与某数的差的形式，最

后再利用加、减混合运算的性质进行简便计算。

本题的基准数选为80。

解83＋82＋78＋79＋80＋81＋78＋79＋77＋84

＝（80＋3）+（80+2）＋（80-2）＋（80-1）＋80＋（80＋1）

＋（80-2）+（80-1）+（80-3）＋（80＋4）

＝80×10＋（3+2-2-1+1-2-1-3+4）

＝800+（3＋2＋1＋4）-（2+1+2＋1＋3）

＝800＋10-9＝800+（10-9）

＝01

小结：

当许多大小不同但彼此又比较接近的数相加时，可选择其中一个数，最好

是整十、整百、整千、……的数作为计数的基础，再找出每个加数与这个数（基准数）

的差。

大于基准数的作为加数，小于基准数的作为减数，把这些差累计起来。

再用基

准数乘以加数的个数，加上累计差，就是答案。

脱式计算时可简略如下：

原式＝80×10+（3+2+1+4）-（2+1+2+1+3）

＝800+10-9

＝801

练习一

1.用简便方法计算下列各题：

①729+154+271

②7999+785+215

③8376+2538+7462+1624

④997+95+548

2.求和：

①3＋4＋5＋…＋99＋100

②4＋8＋12＋…＋32＋36

③65＋63＋61＋…＋5＋3+1

3.用简便方法计算下列各题：

①516-56-44-16

②8216-6734+2734

③5723-（723-189）

④2356-（356+187）

⑤723-800+277

⑥576+（257-176）

⑦756+478-156

⑧526-189-126

4.用简便方法计算下列各题：

①958-596②1543+498

5.巧算下列各题：

①5000-2-4-6-…-98-100

②103+99+103+96+105+102+98+98+101+102

6.求下列数据的平均数：

199，202，195，201，196，201

二、乘除法中的巧算

在进行加法、减法、连加、连减或加减混合运算时，可利用加法的运算定律或连

减及加减混合运算的性质进行简便运算。

而乘、除法更有着一些巧妙的简便的运算方

法，下面就让我们来学习有关的运算定律及运算性质。

（一）乘法中的巧算。

1.乘法交换律两个数相乘，交换因数的位置，积不变。

一般的，有a×b＝b×a。

2.乘法结合律三个数相乘，可以把前两个数结合起来先乘，也可以把后两个数结合起

来先乘，积不变。

一般的，有a×b×c＝（a×b）×c＝a×（b×c）。

这里应注意：

如果推广到多个数相乘，我们可以选择两个因数相乘，得出较简单

的（整十、整百、整千、……）积，再将这个积与其他因数相乘；有时也可以把某个因

数再分解成两个因数，使其中一个因数与其他的乘数的积成为较简单的数，然后再与

其他的因数相乘，这样就可以进行巧算。

例1用简便方法计算下列各题：

（1）16×4×25；

（2）125×（17×8）；

（3）125×28；（4）25×32×125。

分析与解

（1）题可将4和25结合起来先乘；

（2）题可将125和8结合起来先乘；（3）

题可把28变为4×7，再将125和4结合起来先乘；（4）题可先把32变为4×8，再把

25和4，125和8结合起来先乘。

（1）16×4×25

（2）125×（17×8）

＝16×（4×25）＝（125×8）×17

＝16×100

＝1600；

＝1000×17

＝17000；

（3）125×28（4）25×32×125

＝（125×4）×7＝（25×4）×（8×125）

＝500×7

＝3500；

＝100×1000

＝100000。

3.乘法分配律两个加数的和与一个数相乘，可以用每一个加数分别与这个数相乘，

再把所得的积相加。

一般的，有（a+b）×c＝a×c+b×c。

这里应注意：

乘法的分配律可以进行推广，一般的，有（a-b）×c＝a×c-b×c。

当

两个数相乘时，有时可以把一个因数变为两个数的和与另一个因数相乘；也可以把一

个因数变为两个数的差与另一个因数相乘，这样可使计算简便。

例2用简便方法计算下列各题：

（1）125×（10＋8）；

（2）（20-4）×25；

（3）4004×25；（4）125×798。

分析与解

（1）、

（2）题可直接运用乘法分配律及其推广；（3）题可先把4004变为（4000

＋4），再运用分配律；（4）题可先把798变为（800-2），再运用分配律的推广。

（1）125×（10＋8）

（2）（20-4）×25

＝125×10+125×8＝20×25-4×25

＝1250+1000

＝2250；

（3）4004×25

＝（4000+4）×25

＝500-100

＝400；

（4）125×798

＝125×（800-2）

＝4000×25+4×25＝125×800-125×2

＝100000＋100

＝100100；

（二）除法中的巧算。

＝100000-250

＝99750。

1.商不变的性质：

被除数和除数同乘以或同除以一个数（零除外），它们的商不变。

一般的，有

a÷b＝（a×n）÷（b×n）＝（a÷n）÷（b÷n）（n≠0）。

2.两个数的和（差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数（在都能整除的情

况下），再求两个商的和（差）。

一般的，有（a+b）÷c＝a÷c+b÷c；

（a-b）÷c＝a÷c-b÷c。

这个性质也可以推广到多个数的和除以一个数的情况。

3.乘、除同级运算带着符号“搬家”的性质：

（1）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的

除数。

一般的，有a÷b÷c＝a÷c÷b。

（2）两个数的积除以一个数，等于用除数先去除积的任意一个因数，再与另一个因

数相乘。

一般的，有a×b÷c＝a÷c×b＝b÷c×a。

以上这两条运算性质，说明在连除、乘除混合运算时，可以交换因数、除数的位

置，在交换位置时，也要连同运算符号一起“搬家”。

例3用简便方法计算下列各题：

（1）825÷25；

（2）47700÷900；

（3）（250+165）÷5；

（4）（702-213-414）÷3；

（5）525÷7÷5；

（6）128×5÷8。

分析与解

（1）、

（2）题可运用“商不变”的性质；

（2）、（3）题运用“两个数的和（差）

除以一个数”的除法运算性质；（5）、（6）题运用乘除混合运算带着符号“搬家”的性

质。

（1）825÷25

＝（825×4）÷（25×4）

＝3300÷100

＝33；

（3）（250+165）÷5

＝250÷5+165÷5

＝50+33

＝83；

（5）525÷7÷5

＝525÷5÷7

＝105÷7

＝15；

4.乘除混合运算去括号的性质：

（2）47700÷900

＝（47700÷100）÷（900÷100）

＝477÷9

＝53；

（4）（702-213-414）÷3

＝702÷3-213÷3-414÷3

＝234-71-138

＝25；

（6）128×5÷8

＝128÷8×5

＝16×5

＝80。

（1）一个数除以两个数的积，等于这个数依次除以积的两个因数。

一般的，有a÷（b×c）＝a÷b÷c。

（2）一个数乘以两个数的商，等于这个数乘以商中的被除数，再除以商中的除数。

一般的，有a×（b÷c）＝a×b÷c。

（3）一个数除以两个数的商，等于这个数除以商中的被除数，再乘以商中的除数。

一般的，有a÷（b÷c）＝a÷b×c。

上面的三个性质，使我们看出这样的规律：

乘除混合运算的算式中，如果括号前

是除号，去掉括号改变运算顺序时，要把括号内的除号变乘号，乘号变除号。

如果括

号前是乘号，则不需要改变括号内的运算符号。

反之，算式需要添括号改变运算顺序

时，规律也是如此。

需要注意的是：

我们在使用以上全部除法的运算性质时，必须具备的条件是——

商不能有余数。

如果商有余数，在使用这些运算性质时余数是会发生变化的。

如：

324÷（9×7）324÷（9×7）

＝324÷63＝324÷9÷7

＝5……9＝36÷7

＝5……1

例4用简便方法计算下列各题：

（1）756÷（7×9）；

（2）1260÷7÷9；

（3）720×12÷4；

（4）125×（8÷2）；

（5）216÷24×6；

（6）875000÷（1000÷8）。

分析与解以上各题可根据乘除混合运算“去括号”或“添括号”的性质进行巧算。

（1）756÷（7×9）

＝756÷7÷9

＝108÷9

＝12；

（3）720×12÷4

＝720×（12÷4）

＝720×3

＝2160；

（2）1260÷7÷9

＝1260÷（7×9）

＝1260÷63

＝20；

（4）125×（8÷2）

＝125×8÷2

＝1000÷2

＝500；

（5）216÷24×6

＝216÷（24÷6）

＝216÷4

＝54；

例5巧算下列各题：

（6）875000÷（1000÷8）

＝875000÷1000×8

＝875×8

＝7000。

（1）1326÷39；

（2）248×68-17×248+248×48；

（3）520×125；

（4）999×99×9。

分析与解我们可以把

（1）、（3）、（4）题中的已知数适当分解或把已知数转化为整十、

整百、整千、……的数，然后运用有关运算性质，使计算简便。

第

（2）题可灵活运用乘

法分配律进行巧算。

（1）1326÷39

（2）248×68-17×248+248×48

＝1326÷（13×3）＝248×（68-17+48）

＝1326÷13÷3

＝102÷3

＝248×99

＝248×（100-1）

＝34；

（3）520×125

＝248×100-248

＝24552；

（4）999×99×9

＝520×（1000÷8）＝（1000-1）×99×9

＝520×1000÷8

＝520÷8×1000

＝65×1000

＝65000；

＝（99000-99）×9

＝98901×（10-1）

＝989010-98901

＝890109。

通过例5可以使我们懂得：

有些算式当表面上看来不能进行简便运算时，可把已

知数适当分解或转化，从而使计算简便。

另外，在计算时无论题目是否要求简算，都

应尽量地使用简便方法，有时可反复使用有关的定律和性质。

（三）接近100的两位数相乘的速算。

例6计算98×91。

对于98×91，应如下速算：

（1）100-98＝2……①差

（2）100-91＝9……②差

98-9＝89或91-2＝89

2×9＝182×9＝18

∴98×91＝8918∴98×91＝8918

接近100的两位数相乘，用被乘数减去，100减乘数的差，所得的结果作积的前

两位；再用100减去被乘数的差与100减乘数的差相乘，所得的结果作积的后两位。

或用乘数减去，100减被乘数的差，所得的结果作积的前两位；再用100减去被乘数

的差与100减去乘数的差相乘，所得的结果作积的后两位。

用这种方法计算，有两种特例需要注意：

特例1用100分别减去两个因数所得的差相乘之积不足10时，要在这个一位数前添0，

否则积变成三位数就错了。

如：

96×98速算为：

100-96＝4……①差

100-98＝2……②差

96-2＝944×2＝8

∴96×98＝9408（注意8前添0）

特例2用100分别减去两个因数所得的差相乘之积大于100时，要将百位作为向前进

位的数，否则积变成五位数就错了。

如：

93×84速算为：

100-93＝7……①差

100-84＝16……②差

84-7＝777×16＝112

∴93×84＝7812（注意百位上的1要向前进位）

练习二

1.简算下列各题：

①125×25×50×2×8×4

②568×123-45×568-568×53

③（10000-100