第六讲 第4课时 抛物线中的两个动点问题.docx

1、第六讲 第4课时 抛物线中的两个动点问题第4课时抛物线中的两个动点问题(60分)1(20分)2017凉山州如图641，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA2，OB8，OC6. 图641(1)求抛物线的表达式；(2)点M从A点出发，在线段上AB以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时，点N从B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当MBN存在时，求运动多少秒使MBN的面积最大，最大面积是多少？(3)在(2)的条件下，MBN面积最大时，在BC上方的抛物线上是否存在点P，使BPC的面积

2、是MBN面积的9倍，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由【解析】 (1)由线段的长度得出点A，B，C的坐标，然后把A，B，C三点的坐标分别代入yax2bxc，解方程组即可得抛物线的表达式；(2)设运动时间为t s，则MB103t，然后根据BHNBOC，求得NHt，再利用三角形的面积公式列出SMBN与t的函数关系式SMBN，利用二次函数的图象性质进行解答；(3)利用待定系数法求得直线BC的表达式为yx6.由二次函数图象上点的坐标特征可设点P的坐标为.过点P作PEy轴，交BC于点E.结合已知条件和(2)中的结果求得SPBC.则根据图形得到SPBCSCEPSBEPEPmEP(8m)，把相关线段

3、的长度代入推知：m212m.易求得P或.解：(1)OA2，OB8，OC6，A(2，0)，B(8，0)，C(0，6)，根据题意，得 解得抛物线的表达式为yx2x6；(2)设运动时间为t s，则AM3t，BNt.MB103t.在RtBOC中，BC10.如答图，过点N作NHAB于点H，NHCO，图第1题答图BHNBOC，即，HNt.SMBNMBHN(103t)t，当t时，SMBN最大.答：运动 s时，MBN的面积最大，最大面积是；(3)设直线BC的表达式为ykxc(k0)把B(8，0)，C(0，6)代入，得解得直线BC的表达式为yx6.点P在抛物线上，设点P的坐标为，第1题答图如答图，过点P作PEy

4、轴，交BC于点E，则E点的坐标为，EPm2m6m23m，当MBN的面积最大时，SPBC9SMBN，SPBCSCEPSBEPEPmEP(8m)8EP4m212m，即m212m，解得m13，m25，P点坐标为或.2(20分)2017内江如图642，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc(a0)与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于A，B两点，点B坐标为(4，0)，抛物线的对称轴方程为x1.(1)求抛物线的表达式；图642(2)点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，

5、设MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；(3)在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使MBN为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由【解析】 (1)由点B的坐标与对称轴可求得点A的坐标，把点A，B，C的坐标分别代入抛物线的表达式，列出关于系数a，b，c的方程组，求解即可；(2)设运动时间为t s，利用三角形的面积公式列出SMBN与t的函数关系式，用配方法求得最大值；(3)根据余弦函数，可得关于t的方程，解方程，可得答案，注意分类讨论解：(1)点B坐标为(4，0)，抛物线的对称轴方程为x1，A(2，0)把点A(2，0)，B(4，0)，C(0，3)

6、，分别代入yax2bxc(a0)，得 解得 该抛物线的表达式为yx2x3.(2)设运动时间为t s，则AM3t，BNt，MB63t.在RtBOC中，BC5.如答图，过点N作NHAB于点H，NHCO，BHNBOC，即，HNt.SMBNMBHN(63t)tt2t(t1)2.当MBN存在时，0t2，当t1时，S最大.S与t的函数关系为S(t1)2，S的最大值为. 1 第2题答图(3)如答图，在RtOBC中，cosB，设运动时间为t s，则AM3t，BNt.MB63t.当MNB90时，cosB，即，解得t.当BMN90时，cosB，解得t.综上所述，当t或时，MBN为直角三角形3(20分)2017山西

7、综合与探究如图643，抛物线yx2x3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连结AC，BC.点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO 以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连结PQ，过点Q作QDx轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E.连结PD，与BC交于点F.设点P的运动时间为t s(t0)图643(1)求直线BC的函数表达式；(2)直接写出P，D两点的坐标(用含t的代数式表示，结果需化简)；在点P，Q运动的过程中，当PQPD时，求t的值(3)试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F

8、为PD的中点若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由【解析】 (1)由函数与方程的关系得到点B，C的坐标，利用待定系数法求直线BC的表达式；(2)过点P作x轴的垂线段，构造与RtAOC相似的直角三角形，利用相似的性质得到与点P的横、纵坐标有关的线段的方程求解；由QDx轴可知点D与点Q的横坐标相同，将点Q的横坐标代入抛物线表达式便得点D的纵坐标；由等腰三角形的性质找到P，D两点纵坐标的关系建立方程求解；(3)假设存在点F为PD的中点，由中点的特征结合P，D两点的坐标表示出点F的坐标，将其代入直线BC建立方程求得t的值，确定点F的具体坐标解：(1)由y0，得x2x30，解得x

9、13，x29，点B的坐标为(9，0)，由x0，得y3，点C的坐标为(0，3)，设直线BC的函数表达式为ykxb，由B，C两点的坐标得解得，直线BC的函数表达式为yx3；(2)P，D；如答图，过点P作PGx轴于点G，PHQD于点H，第3题答图QDx轴，四边形PGQH是矩形，HQPG，PQPD，PHQD，DQ2HQ2PG，P，D两点的坐标分别为，t2t2t，解得t10(舍去)，t2，当PQPD时，t的值为；(3)t3，F点坐标为.(20分)4(20分)2017淮安如图644，在平面直角坐标系中，二次函数yx2bxc的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(4，0)

10、，连结AC，BC.动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t s连结PQ.(1)填空：b_，c_4_；(2)在点P，Q运动过程中，APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；(3)在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；(4)如图，点N的坐标为，线段PQ的中点为H，连结NH，当点Q关于直线NH的对称点Q恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q的坐标

11、图644【解析】 (1)将A(3，0)，B(4，0)代入yx2bxc即可求解；(2)若APQ为直角三角形，则APQ90(PAQ与PQA不可能为直角)连结QC，则AQ2AP2QC2PC2PQ2，据此列出关于t的方程求解，若t的值满足0t4，则APQ可能是直角三角形，否则不可能；(3)过点P作DEx轴，分别过点M，Q作MDDE，QEDE，垂足分别为D，E，构成“一线三直角”全等模型，用含t的式子表示点M的坐标；将点M的坐标代入二次函数的表达式求解；(4)分别求直线BC，直线NQ的函数表达式；解直线BC，NQ的函数达式组成的方程组解：(1)b，c4；(2)在点P，Q运动过程中，APQ不可能是直角三角

12、形理由如下：如答图，连结QC.若APQ是直角三角形，在点P，Q运动过程中，PAQ，PQA始终为锐角，APQ90.由(1)知抛物线的函数表达式为yx2x4，当 0时，y4，C(0，4)，OC4.A(3，0)，OA3.由题意，得APOQt.AQOAOQ3t.在RtAOC中，由勾股定理，得AC5.PC5t.在RtOCQ中，QC2OQ2OC2t242.APQ90，AQ2AP2QC2PC2PQ2.(3t)2t2t242(5t)2，解得t4.5.由题意知0t4.t4.5不符合题意，舍去在点P，Q运动过程中，APQ不可能是直角三角形； 第4题答图 第4题答图(3)如答图，过点P作DEx轴，分别过点M，Q作M

13、DDE，QEDE，垂足分别为点D，E，MD交x轴于点F，过点P作PGx轴，垂足为点G，则PGy轴，DE90.APGACO.，即.PGt，AGt.PEGQGOOQAOAGOQ3tt3t，DFPGt.MPQ90，D90，DMPDPMEPQDPM90.DMPEPQ.又DE，PMPQ，MDPPEQ.PDEQt，MDPE3t.FMMDDF3tt3t，OFFGGOPDOAAGt3t3t.M.点M在x轴下方的抛物线上，3t4，解得t.0t4，t.第4题答图(4)Q.提示：如答图，连结OP，取OP中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC于点Q.点H为PQ的中点，点R为OP的中点，RHOQt，RHOQ.A(3

14、，0)，N，点N为OA的中点又点R为OP的中点，NRAPt，RNAC.RHNR，RNHRHN.RHOQ，RHNHNO.RNHHNO，即NH是QNQ的平分线设直线AC的函数表达式为ymxn，把A(3，0)，C(0，4)代入，得 解得直线AC的函数表达式为yx4.同理可求，直线BC的函数表达式为yx4.设直线NR的函数表达式为yxs，把N代入，得0s，解得s2.直线NR的函数表达式为yx2.解方程组得Q点坐标为.(20分)5(20分)2017枣庄如图645，抛物线yx2bxc与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为(6，0)，点C坐标为(0，6)，点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂

15、足为E，连结BD.(1)求抛物线的表达式及点D的坐标；(2)点F是抛物线上的动点，当FBABDE时，求点F的坐标；(3)若点M是抛物线上的动点，过点M作MNx轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标图645 备用图【解析】 (1)由点B，C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的表达式，再利用配方法将抛物线表达式变形成顶点式即可得出结论；(2)设线段BF与y轴交点为点F，设点F的坐标为(0，m)，由相似三角形的判定及性质可得出点F的坐标，根据点B，F的坐标利用待定系数法可求出直线BF的表达式，联立直线BF和抛物线的表达式成方程组，解方

16、程组即可求出点F的坐标；(3)设对角线MN，PQ交于点O.根据抛物线的对称性结合正方形的性质可得出点P，Q的位置，设出点Q的坐标为(2，2n)，由正方形的性质可得出点M的坐标为(2n，n)由点M在抛物线图象上，即可得出关于n的一元二次方程，解方程可求出n值，代入点Q的坐标即可得出结论解：(1)将点B(6，0)，C(0，6)代入yx2bxc，得解得抛物线的表达式为yx22x6.yx22x6(x2)28，点D的坐标为(2，8)(2)设线段BF与y轴交点为点F，设点F的坐标为(0，m)，如答图所示第5题答图FBOFBABDE，FOBBED90，FBOBDE，.B(6，0)，D(2，8)，E(2，0)

17、，BE624，DE808，OB6，OFOB3，F(0，3)或(0，3)设直线BF的表达式为ykx3，则有06k3或06k3，解得k或k，直线BF的表达式为yx3或yx3.联立直线BF与抛物线的表达式，得或解得 或(舍去)， 或(舍去)，点F的坐标为或.(3)设对角线MN，PQ交于点O，如答图所示点M，N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，第5题答图点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线对称轴上，设点Q的坐标为(2，2n)，则点M的坐标为(2n，n)点M在抛物线yx22x6的图象上，n(2n)22(2n)6，即n22n160，解得n11，n21.点Q的坐标为(2，22)或(2，22)