第六讲 第4课时 抛物线中的两个动点问题.docx

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第六讲第4课时抛物线中的两个动点问题

第4课时　抛物线中的两个动点问题

（60分）

1．（20分）[2017·凉山州]如图6－4－1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝8，OC＝6.

图6－4－1

（1）求抛物线的表达式；

（2）点M从A点出发，在线段上AB以每秒3个单位长度的速度向点B运动，同时，点N从B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△MBN存在时，求运动多少秒使△MBN的面积最大，最大面积是多少？

（3）在

（2）的条件下，△MBN面积最大时，在BC上方的抛物线上是否存在点P，使△BPC的面积是△MBN面积的9倍，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．

【解析】

（1）由线段的长度得出点A，B，C的坐标，然后把A，B，C三点的坐标分别代入y＝ax2＋bx＋c，解方程组即可得抛物线的表达式；

（2）设运动时间为ts，则MB＝10－3t，然后根据△BHN∽△BOC，求得NH＝t，再利用三角形的面积公式列出S△MBN与t的函数关系式S△MBN＝－，利用二次函数的图象性质进行解答；

（3）利用待定系数法求得直线BC的表达式为y＝－x＋6.由二次函数图象上点的坐标特征可设点P的坐标为.过点P作PE∥y轴，交BC于点E.结合已知条件和

（2）中的结果求得S△PBC＝.则根据图形得到S△PBC＝S△CEP＋S△BEP＝EP·m＋·EP·（8－m），把相关线段的长度代入推知：

－m2＋12m＝.易求得P或.

解：

（1）∵OA＝2，OB＝8，OC＝6，

∴A（－2，0），B（8，0），C（0，6），

根据题意，得解得

∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋6；

（2）设运动时间为ts，则AM＝3t，BN＝t.

∴MB＝10－3t.

在Rt△BOC中，BC＝＝10.

如答图①，过点N作NH⊥AB于点H，∴NH∥CO，

图第1题答图①

∴△BHN∽△BOC，

∴＝，即＝，

∴HN＝t.

∴S△MBN＝MB·HN

＝（10－3t）·t＝－＋，

∴当t＝时，S△MBN最大＝.

答：

运动s时，△MBN的面积最大，最大面积是；

（3）设直线BC的表达式为y＝kx＋c（k≠0）．

把B（8，0），C（0，6）代入，得

解得

∴直线BC的表达式为y＝－x＋6.

∵点P在抛物线上，

∴设点P的坐标为，

第1题答图②

如答图②，过点P作PE∥y轴，交BC于点E，则E点的坐标为，

∴EP＝－m2＋m＋6－＝－m2＋3m，

当△MBN的面积最大时，S△PBC＝9S△MBN＝，

∴S△PBC＝S△CEP＋S△BEP＝EP·m＋EP·（8－m）

＝×8·EP＝4×＝－m2＋12m，

即－m2＋12m＝，解得m1＝3，m2＝5，

∴P点坐标为或.

2．（20分）[2017·内江]如图6－4－2，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x＝1.

（1）求抛物线的表达式；

图6－4－2

（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设△MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；

（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使△MBN为直角三角形？

若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【解析】

（1）由点B的坐标与对称轴可求得点A的坐标，把点A，B，C的坐标分别代入抛物线的表达式，列出关于系数a，b，c的方程组，求解即可；

（2）设运动时间为ts，利用三角形的面积公式列出S△MBN与t的函数关系式，用配方法求得最大值；

（3）根据余弦函数，可得关于t的方程，解方程，可得答案，注意分类讨论．

解：

（1）∵点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x＝1，

∴A（－2，0）．把点A（－2，0），B（4，0），C（0，3），分别代入y＝ax2＋bx＋c（a≠0），

得解得

∴该抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋3.

'

（2）设运动时间为ts，则AM＝3t，BN＝t，∴MB＝6－3t.

在Rt△BOC中，BC＝＝5.如答图①，过点N作NH⊥AB于点H，

∴NH∥CO，∴△BHN∽△BOC，

∴＝，即＝，∴HN＝t.

∴S△MBN＝MB·HN＝（6－3t）·t＝－t2＋t＝－（t－1）2＋.

当△MBN存在时，0＜t＜2，∴当t＝1时，S最大＝.

∴S与t的函数关系为S＝－（t－1）2＋，S的最大值为.

1②

第2题答图

（3）如答图②，在Rt△OBC中，cosB＝＝，设运动时间为ts，则AM＝3t，BN＝t.

∴MB＝6－3t.当∠MNB＝90°时，cosB＝＝，即＝，解得t＝.

当∠BM′N′＝90°时，cosB＝＝，解得t＝.

综上所述，当t＝或时，△MBN为直角三角形．

3．（20分）[2017·山西]综合与探究

如图6－4－3，抛物线y＝－x2＋x＋3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连结AC，BC.点P沿AC以每秒1个单位长度的速度由点A向点C运动，同时，点Q沿BO以每秒2个单位长度的速度由点B向点O运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连结PQ，过点Q作QD⊥x轴，与抛物线交于点D，与BC交于点E.连结PD，与BC交于点F.设点P的运动时间为ts（t＞0）．

图6－4－3

（1）求直线BC的函数表达式；

（2）①直接写出P，D两点的坐标（用含t的代数式表示，结果需化简）；

②在点P，Q运动的过程中，当PQ＝PD时，求t的值．

（3）试探究在点P，Q运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点F为PD的中点．若存在，请直接写出此时t的值与点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】

（1）由函数与方程的关系得到点B，C的坐标，利用待定系数法求直线BC的表达式；

（2）①过点P作x轴的垂线段，构造与Rt△AOC相似的直角三角形，利用相似的性质得到与点P的横、纵坐标有关的线段的方程求解；由QD⊥x轴可知点D与点Q的横坐标相同，将点Q的横坐标代入抛物线表达式便得点D的纵坐标；②由等腰三角形的性质找到P，D两点纵坐标的关系建立方程求解；

（3）假设存在点F为PD的中点，由中点的特征结合P，D两点的坐标表示出点F的坐标，将其代入直线BC建立方程求得t的值，确定点F的具体坐标．

解：

（1）由y＝0，得－x2＋x＋3＝0，

解得x1＝－3，x2＝9，∴点B的坐标为（9，0），

由x＝0，得y＝3，∴点C的坐标为（0，3），

设直线BC的函数表达式为y＝kx＋b，

由B，C两点的坐标得解得，

∴直线BC的函数表达式为y＝－x＋3；

（2）①P，D；

②如答图，过点P作PG⊥x轴于点G，PH⊥QD于点H，

第3题答图

∵QD⊥x轴，∴四边形PGQH是矩形，

∴HQ＝PG，

∵PQ＝PD，PH⊥QD，∴DQ＝2HQ＝2PG，

∵P，D两点的坐标分别为，，

∴－t2＋t＝2×t，解得t1＝0（舍去），t2＝，

∴当PQ＝PD时，t的值为；

（3）t＝3，F点坐标为.

（20分）

4．（20分）[2017·淮安]如图6－4－4①，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（－3，0），点B的坐标为（4，0），连结AC，BC.动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为ts．连结PQ.

（1）填空：

b＝____，c＝__4__；

（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？

请说明理由；

（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？

若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；

（4）如图②，点N的坐标为，线段PQ的中点为H，连结NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．

图6－4－4

【解析】

（1）将A（－3，0），B（4，0）代入y＝x2＋bx＋c即可求解；

（2）若△APQ为直角三角形，则∠APQ＝90°（∠PAQ与∠PQA不可能为直角）．连结QC，则AQ2－AP2＝QC2－PC2＝PQ2，据此列出关于t的方程求解，若t的值满足0≤t≤4，则△APQ可能是直角三角形，否则不可能；

（3）①过点P作DE∥x轴，分别过点M，Q作MD⊥DE，QE⊥DE，垂足分别为D，E，构成“一线三直角”全等模型，用含t的式子表示点M的坐标；②将点M的坐标代入二次函数的表达式求解；

（4）①分别求直线BC，直线NQ′的函数表达式；②解直线BC，NQ′的函数达式组成的方程组．

解：

（1）b＝，c＝4；

（2）在点P，Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形．理由如下：

如答图①，连结QC.

若△APQ是直角三角形，∵在点P，Q运动过程中，∠PAQ，∠PQA始终为锐角，∴∠APQ＝90°.

由

（1）知抛物线的函数表达式为y＝－x2＋x＋4，当＝0时，y＝4，

∴C（0，4），∴OC＝4.

∵A（－3，0），∴OA＝3.由题意，得AP＝OQ＝t.

∴AQ＝OA＋OQ＝3＋t.

在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC＝＝＝5.

∴PC＝5－t.

在Rt△OCQ中，QC2＝OQ2＋OC2＝t2＋42.

∵∠APQ＝90°，∴AQ2－AP2＝QC2－PC2＝PQ2.

∴（3＋t）2－t2＝t2＋42－（5－t）2，解得t＝4.5.

由题意知0≤t≤4.∴t＝4.5不符合题意，舍去．

∴在点P，Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形；

第4题答图①　　　第4题答图②

（3）如答图②，过点P作DE∥x轴，分别过点M，Q作MD⊥DE，QE⊥DE，垂足分别为点D，E，MD交x轴于点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，则PG∥y轴，∠D＝∠E＝90°.∴△APG∽△ACO.

∴＝＝，即＝＝.∴PG＝t，AG＝t.

∴PE＝GQ＝GO＋OQ＝AO－AG＋OQ＝3－t＋t＝3＋t，DF＝PG＝t.

∵∠MPQ＝90°，∠D＝90°，

∴∠DMP＋∠DPM＝∠EPQ＋∠DPM＝90°.

∴∠DMP＝∠EPQ.又∵∠D＝∠E，PM＝PQ，

∴△MDP≌△PEQ.∴PD＝EQ＝t，MD＝PE＝3＋t.

∴FM＝MD－DF＝3＋t－t＝3－t，

OF＝FG＋GO＝PD＋OA－AG＝t＋3－t＝3＋t.

∴M.

∵点M在x轴下方的抛物线上，

∴－3＋t＝－＋＋4，

解得t＝.

∵0≤t≤4，∴t＝.

第4题答图③

（4）Q′.

提示：

如答图③，连结OP，取OP中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC于点Q′.

∵点H为PQ的中点，点R为OP的中点，

∴RH＝OQ＝t，RH∥OQ.

∵A（－3，0），N，∴点N为OA的中点．

又∵点R为OP的中点，∴NR＝AP＝t，RN∥AC.

∴RH＝NR，∴∠RNH＝∠RHN.

∵RH∥OQ，∴∠RHN＝∠HNO.

∴∠RNH＝∠HNO，即NH是∠QNQ′的平分线．

设直线AC的函数表达式为y＝mx＋n，

把A（－3，0），C（0，4）代入，得解得

∴直线AC的函数表达式为y＝x＋4.

同理可求，直线BC的函数表达式为y＝－x＋4.

设直线NR的函数表达式为y＝x＋s，把N代入，得0＝×＋s，解得s＝2.

∴直线NR的函数表达式为y＝x＋2.

解方程组得

∴Q′点坐标为.

（20分）

5．（20分）[2017·枣庄]如图6－4－5，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连结BD.

（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；

（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA＝∠BDE时，求点F的坐标；

（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．

图6－4－5　　　　备用图

【解析】

（1）由点B，C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的表达式，再利用配方法将抛物线表达式变形成顶点式即可得出结论；

（2）设线段BF与y轴交点为点F′，设点F′的坐标为（0，m），由相似三角形的判定及性质可得出点F′的坐标，根据点B，F′的坐标利用待定系数法可求出直线BF的表达式，联立直线BF和抛物线的表达式成方程组，解方程组即可求出点F的坐标；

（3）设对角线MN，PQ交于点O′.根据抛物线的对称性结合正方形的性质可得出点P，Q的位置，设出点Q的坐标为（2，2n），由正方形的性质可得出点M的坐标为（2－n，n）．由点M在抛物线图象上，即可得出关于n的一元二次方程，解方程可求出n值，代入点Q的坐标即可得出结论．

解：

（1）将点B（6，0），C（0，6）代入y＝－x2＋bx＋c，得

解得

∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋6.

∵y＝－x2＋2x＋6＝－（x－2）2＋8，

∴点D的坐标为（2，8）．

（2）设线段BF与y轴交点为点F′，设点F′的坐标为（0，m），如答图①所示．

第5题答图①

∵∠F′BO＝∠FBA＝∠BDE，

∠F′OB＝∠BED＝90°，

∴△F′BO∽△BDE，

∴＝.

∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE＝6－2＝4，

DE＝8－0＝8，OB＝6，

∴OF′＝·OB＝3，∴F′（0，3）或（0，－3）．

设直线BF的表达式为y＝kx±3，则有0＝6k＋3或0＝6k－3，解得k＝－或k＝，

∴直线BF的表达式为y＝－x＋3或y＝x－3.

联立直线BF与抛物线的表达式，

得或

解得或（舍去），或（舍去），

∴点F的坐标为或.

（3）设对角线MN，PQ交于点O′，如答图②所示．

∵点M，N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，

第5题答图②

∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线对称轴上，

设点Q的坐标为（2，2n），则点M的坐标为（2－n，n）．

∵点M在抛物线y＝－x2＋2x＋6的图象上，

∴n＝－（2－n）2＋2（2－n）＋6，即n2＋2n－16＝0，

解得n1＝－1，n2＝－－1.

∴点Q的坐标为（2，2－2）或（2，－2－2）．