微分中值定理与导数的应用习题docx.docx

1、微分中值定理与导数的应用习题docx第四章 微分中值定理与导数的应用习题 微分中值定理1 填空题（）函数 f ( x)arctan x 在 0, 1 上使拉格朗日中值定理结论成立的是4（）设 f ( x) ( x 1)( x 2)( x 3)( x 5) ，则 f (x) 0 有 3 个实根，分别位于区间 (1,2), (2,3), (3,5) 中2 选择题（）罗尔定理中的三个条件 : f (x) 在 a,b 上连续，在 (a, b) 内可导，且 f ( a) f (b) ，是 f (x)在 (a,b) 内至少存在一点 ，使 f ( ) 0 成立的（ B ）A 必要条件 B 充分条件 C 充要

2、条件 D 既非充分也非必要条件（）下列函数在1,1 上满足罗尔定理条件的是（C ）A.f ( x)exB.f ( x) | x | C.f ( x) 1x2D.f ( x)x sin 1, x00,xx0（）若 f ( x) 在 ( a,b) 内可导，且 x1、 x2是 ( a, b) 内任意两点，则至少存在一点，使下式成立（ B）A f ( x2 )B f ( x1 )f ( x1 )(x1x2 ) f()(a,b)f ( x2 )( x1x2 ) f ()在 x1 , x2 之间C f ( x1 )D f ( x2 )f ( x2 )(x2x1 ) f()x1x2f ( x1 )(x2x1

3、 ) f()x1x23证明恒等式： arctanxarc cot x(x) 2证明： 令 f (x) arctan xarc cot x ，则 f110，所以 f ( x) 为一常数( x)21 x21 x设 f ( x)c ，又因为 f (1)，2故arctan xarc cot x2(x) 4若函数 f (x) 在 (a, b) 内具有二阶导数，且f ( x1 )f ( x2 )f ( x3 ) ，其中 ax1x2x3b ，证明 : 在 ( x1 , x3 ) 内至少有一点，使得 f ( ) 0证明：由于f ( x) 在 x1 , x2 上连续 , 在 (x1 , x2 ) 可导 ,且 f

4、 (x1 )f ( x2 ) ，根据罗尔定理知，存在 1( x1 , x2 ) ， 使 f ( 1 )0 同理存在 2( x2 , x3 ) ，使 f (2 )0 又 f ( x) 在 1, 2上符合罗尔定理的条件，故有( x1 , x3 ) ，使得 f() 05 证明方程1xx2x30 有且仅有一个实根26证明：设 f ( x)1x2x3则 f (0) 10, f (2)10 ，根据零点存在定理至x，326少存在一个(2,0) ， 使得 f () 0另一方面，假设有x1 , x2(, ) ，且 x1x2 ，使f ( x1 )f (x2 )0 ，根据罗尔定理，存在(x1 , x2 ) 使 f

5、(120 ，这与) 0，即1211 20 矛盾故方程1x2x30 只有一个实根2x626 设函数 f ( x) 的导函数f( x) 在 a,b 上连续，且f ( a) 0,f (c)0, f ( b) 0，其中 c 是介于 a, b 之间的一个实数证明：存在(a, b) , 使 f( )0成立 .证明： 由于f (x)在 a,b内可导，从而f ( x) 在闭区间 a,b 内连续，在开区间( a,b) 内可导又因为f (a)0, f (c)0 ，根据零点存在定理，必存在点1( a, c) ，使得f (1 )0 同理，存在点2( c, b)，使得f (2 )0 因此f (x)在1 ,2 上满足罗尔

6、定理的条件，故存在( a, b)， 使f ( )0成立7. 设函数f ( x)在 0,1上连续 ,在 (0,1)内可导 .试证 : 至少存在一点(0,1) ,使f ()2 f (1)f (0).证明： 只需令g( x)x2 ，利用柯西中值定理即可证明.8证明下列不等式（）当0x时， sin xcos x x证明： 设 f (t )sin t t cost ，函数 f (t ) 在区间 0, x 上满足拉格朗日中值定理的条件，且f (t ) t sin t ,故 f (x)f (0)f ()( x0),0x , 即sin xx cos xx sin0 ( 0x)因此，当0x时， sin xcos

7、 x x（）当ab0时， abln aab abb证明：设 f ( x)ln x ，则函数在区间 b, a 上满足拉格朗日中值定理得条件，有f (a)f (b)f ( )(ab), ba因为 f ( x)1，所以 ln a1 ( ab) ，又因为 ba ，所以11 1，从而xbaba bln aab abb 洛毕达法则1 填空题（） limcos5x53xcos3x21)ln(1（） limx0xarctan x（） lim ( 11) = 1x 0 x2x tan x3（） lim(sin x) x1x 0选择题（）下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ）limln nlim1nnnAlim

8、nenennBlimxsin xlim1xsin xx 0x 0 11cos xcos xx2 sin12 x sin1cos1Climsin xxlimxx 不存在x0x 0cos xDx11lim= limx0 exx0 ex（）在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（C ）x2B lim ( 1 )tan x lim x sin xD lim xnA limCxx0sin xx 0xxxxe3 求下列极限（） lim xmamxa xnan解： limxmam= lim mx m 1x a x nanx a nx n 1ma m n n（） lim 2x22x2 x0x解：

9、lim2x22x2 = lim 2 x ln 2 2x ln 2 = lim 2x (ln 2) 22 x (ln 2)2= (ln 2) 2 x 0xx 02xx 02（） lim sin xx3tan x x 0sin xtan xtan x(cos x1)x(1x2 )1解： lim2x3 limx3limx32x0x0x0（）lim exsin x1x 0(arcsin x) 2解： lim exsin x 1 lim exsin x1 lim excos xlim exsin x1 x0(arcsin x) 2x0x 2x02xx 022xx x（） limx 1 1x ln x解：

10、 ( xx )x x (1 ln x) ，xxx1xx(1ln x)x x (1 ln x)2x x 1lim limx lim11x 1 1 x ln xx 11x 1xx2lim x x2 (1ln x) 2x x 1 2x1（）lim ( 11) x 0xex1解： lim ( 1x1 x21)lim ex1lim 21x 0 xex1x 0 x(ex1)x 0 x 22（）lim ( 1 ) tan x x0x1sin21lim tan x ln xln xlimxxtan xlimlim解： lim ()ex 0ex0 cot xex0csc2 xex0x1xx0（） limln(1

11、2 x ) ln(13) xx3 ) = lim3 ln(1ln(12x )2x ln 2解：limln(12 x ) ln(12x )3 lim3 lim 1 2xxxxxxxx1= 3ln 2 lim2 xx =3ln 2 12x（） lim n n nlim1lim1解： 因为 limxln xxxexxexx1，所以 lim n n =1n函数的单调性与曲线的凹凸性1 填空题（）函数 y 4x 2ln( x2 ) 的单调增加区间是 ( 1 ,0)( 1, ) ，单调减少区间22( ,1)(0, 1) 22（）若函数f (x) 二阶导数存在，且f ( x) 0, f ( 0) 0 ，则

12、F ( x)f ( x) 在 0 x上x是单调增加（）函数 y ax 2 1在 (0, ) 内单调增加，则 a 0 （）若点（ 1，3) 为曲线 y ax 3 bx 2 的拐点， 则 a 3 ，b 9 ，曲线的凹区间为 ( ,1) ，2 2凸区间为 (1, ) 2 单项选择题（）下列函数中，（ A ）在指定区间内是单调减少的函数 .A. y 2 x ( , ) B . y ex ( , 0)C. y ln x ( 0, ) D . y sin x ( 0, )（）设 f (x) (x 1)(2 x 1) ，则在区间 ( 1 ,1) 内（ B ）2A. y f (x) 单调增加，曲线 y f (

13、x) 为凹的B. y f (x) 单调减少，曲线 y f (x) 为凹的C. y f ( x) 单调减少，曲线 y f ( x) 为凸的 y f ( x) 单调增加，曲线 y f ( x) 为凸的（）f ( x) 在 (,)内可导,且 x1 , x2 , 当 x1x2 时 , f (x1 )f (x2 ) , 则 ( D )A.任意 x, f ( x)0B.任意 x, f ( x) 0C.f (x) 单调增D.f (x) 单调增（）设函数f (x) 在 0,1上二阶导数大于0,则下列关系式成立的是（ B）A.f(1)f(0)f (1)f (0)B.f(1)f (1)f (0)f (0)C.f

14、(1)f (0)f(1)f(0)D.f(1)f ( 0)f (1)f (0)2 求下列函数的单调区间（）ye xx 1 解： yex1，当 x 0时， y0 , 所以函数在区间0,) 为单调增加；当 x0 时， y0，所以函数在区间(,0 为单调减少（） y(2 x5) 3x2 10 x1解 ： y3 ( x1) ，3当，或x0时， y0,所以函数在区间 (,01,) 为单调增加；x 1当 0x 1时， y0 ，所以函数在区间 0,1为单调减少（）解：y ln( x1x2 )1xx21y10 ，故函数在(, ) 单调增加x 1x 21 x 23 证明下列不等式（）证明： 对任意实数 a 和 b

15、 ,成立不等式| a b | a | b | 1 | a b | 1 | a | 1 | b |证明：令 f ( x)x，则 f (x)10 ， f ( x) 在 0 ,) 内单调增加 .1(1x)2x于是 ,由 | ab | | a | b |,就有 f ( | a b | )f ( | a | | b |) ,即| a b | a | | b | a | b | a | b |1 | a b |1 | a | | b | 1 | a | | b | 1 | a | | b |1 | a | 1 | b |（）当 x1时 ,ln x2(x1)x1证明：设 f ( x)( x1) ln x2( x1) ， f ( x)ln x11 ，由于当 x1 时，x