微分中值定理与导数的应用习题docx.docx
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第四章微分中值定理与导数的应用习题
§微分中值定理
1．填空题
（１）函数f（x）
arctanx在[0,1]上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是
4
．
（２）设f（x）（x1）（x2）（x3）（x5），则f（x）0有3个实根，分别位
于区间（1,2）,（2,3）,（3,5）中．
2．选择题
（１）罗尔定理中的三个条件:
f（x）在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，且f（a）f（b），是f（x）
在（a,b）内至少存在一点，使f（）0成立的（B）．
A．必要条件B．充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件
（２）下列函数在
[
1,1]上满足罗尔定理条件的是（
C）．
A.
f（x）
ex
B.
f（x）|x|C.
f（x）1
x2
D.
f（x）
xsin1
x
0
0,
x
x
0
（３）若f（x）在（a,b）内可导，且x1、x2
是（a,b）内任意两点，则至少存在一点
，使下式成
立（B
）．
A．f（x2）
B．f（x1）
f（x1）
（x1
x2）f
（
）
（a,b）
f（x2）
（x1
x2）f（
）
在x1,x2之间
C．f（x1）
D．f（x2）
f（x2）
（x2
x1）f
（
）
x1
x2
f（x1）
（x2
x1）f
（
）
x1
x2
3．证明恒等式：
arctanx
arccotx
（
x
）．
2
证明：
令f（x）arctanx
arccotx，则f
1
1
0
，所以f（x）为一常数．
（x）
2
1x2
1x
设f（x）
c，又因为f
（1）
，
2
故
arctanx
arccotx
2
（
x
）．
4．若函数f（x）在（a,b）内具有二阶导数，且
f（x1）
f（x2）
f（x3），其中a
x1
x2
x3
b，证明:
在（x1,x3）内至少有一点
，使得f（）0
．
证明：
由于
f（x）在[x1,x2]上连续,在（x1,x2）可导,
且f（x1）
f（x2），根据罗尔定理知，存
在1
（x1,x2），使f
（1）
0．同理存在2
（x2,x3），使f（
2）
0．又f（x）在[
1,2]上
符合罗尔定理的条件，故有
（x1,x3），使得f
（）0．
5．证明方程
1
x
x2
x3
0有且仅有一个实根．
2
6
证明：
设f（x）
1
x2
x3
则f（0）1
0,f（
2）
1
0，根据零点存在定理至
x
，
3
2
6
少存在一个
（
2,0），使得f（
）0
．另一方面，假设有
x1,x2
（
），且x1
x2，使
f（x1）
f（x2）
0，根据罗尔定理，存在
（x1,x2）使f（
1
2
0，这与
）0，即1
2
1
12
0矛盾．故方程
1
x2
x3
0只有一个实根．
2
x
6
2
6．设函数f（x）的导函数
f
（x）在[a,b]上连续，且
f（a）0,
f（c）
0,f（b）0
，其中c是介
于a,b之间的一个实数．
证明：
存在
（a,b）,使f
（）
0成立.
证明：
由于
f（x）
在[a,b]
内可导，从而
f（x）在闭区间[a,b]内连续，在开区间
（a,b）内可导．又
因为
f（a）
0,f（c）
0，根据零点存在定理，必存在点
1
（a,c），使得
f（
1）
0
．同理，存在
点
2
（c,b）
，使得
f（
2）
0．因此
f（x）
在
1,
2上满足罗尔定理的条件，
故存在
（a,b）
，使
f（）
0
成立．
7.设函数
f（x）
在[0,1]
上连续,
在（0,1）
内可导.
试证:
至少存在一点
（0,1）,
使
f（
）
2[f
（1）
f（0）].
证明：
只需令
g（x）
x2，利用柯西中值定理即可证明
.
8．证明下列不等式
（１）当
0
x
时，sinx
cosx．
x
证明：
设f（t）
sinttcost，函数f（t）在区间[0,x]上满足拉格朗日中值定理的条件，且
f（t）tsint,
故f（x）
f（0）
f'（
）（x
0）,
0
x,即
sinx
xcosx
xsin
0（0
x
）
因此，当0
x
时，sinx
cosx．
x
（２）当
a
b
0
时，a
b
lna
a
b．
a
b
b
证明：
设f（x）
lnx，则函数在区间[b,a]上满足拉格朗日中值定理得条件，有
f（a）
f（b）
f'（）（a
b）,b
a
因为f'（x）
1
，所以lna
1（a
b），又因为b
a，所以
1
11
，从而
x
b
a
b
ab
lna
a
b．
a
b
b
§洛毕达法则
1．填空题
（１）lim
cos5x
5
3
x
cos3x
2
1
）
ln（1
（２）lim
x
0
xarctanx
（３）lim（1
1
）=1
x0x2
xtanx
3
（４）lim（sinx）x
1
x0
２．选择题
（１）下列各式运用洛必达法则正确的是（B）
lim
lnn
lim
1
n
n
n
A．
lim
n
e
n
e
n
n
B．
lim
x
sinx
lim
1
x
sinx
x0
x01
1
cosx
cosx
x2sin
1
2xsin
1
cos
1
C．
lim
sinx
x
lim
x
x不存在
x
0
x0
cosx
D．
x
1
1
lim
=lim
x
0ex
x
0ex
（２）
在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（
C）
x
2
B．lim
（1）tanx
．limxsinx
D．limx
n
A．lim
C
x
x
0
sinx
x0
x
x
x
x
e
3．求下列极限
（１）limxm
am
．
x
axn
an
解：
lim
xm
am
=limmxm1
xaxn
an
xanxn1
mamn．
n
（２）lim2x
2
2
x
2．
x
0
x
解：
lim
2x
2
2
x
2=lim2xln22
xln2=lim2x（ln2）2
2x（ln2）2
=（ln2）2．
x0
x
x0
2x
x0
2
（３）limsinx
x
3
tanx．
x0
sinx
tanx
tanx（cosx
1）
x
（
1
x
2）
1
解：
lim
2
＝
．
x
3
＝lim
x
3
lim
x
3
2
x
0
x
0
x
0
（４）
limex
sinx
1
．
x0
（arcsinx）2
解：
limex
sinx1
＝limex
sinx
1＝limex
cosx
limex
sinx
1．
x
0
（arcsinx）2
x
0
x2
x
0
2x
x0
2
2
x
xx
（５）lim
．
x11
xlnx
解：
（xx）
xx（1lnx），
x
x
x
1
x
x
（1
lnx）
xx（1lnx）2
xx1
lim
＝lim
x
＝lim
1
1
x11xlnx
x1
1
x1
x
x2
lim[xx
2（1
lnx）2
xx1]
2．
x
1
（６）
lim（1
1
）．
x0
x
ex
1
解：
lim（1
x
1x
2
1
）
lime
x
1
lim2
1
x0xex
1
x0x（ex
1）
x0x2
2
（７）
lim
（1）tanx．
x
0
x
1
sin2
1
limtanxlnx
lnx
lim
x
x
tanx
lim
lim
解：
lim（
）
e
x0
e
x
0cotx
e
x
0csc2x
e
x
0x
1．
x
x
0
（８）lim
ln（1
2x）ln（1
3）．
x
x
3）=lim
3ln（1
ln（1
2x）
2xln2
解：
lim
ln（1
2x）ln（1
2x）
3lim
3lim12x
x
x
x
x
x
x
x
1
=3ln2lim
2x
x=3ln2．
1
2
x
（９）limnn．
n
lim
1
lim
1
解：
因为lim
x
lnx
x
x
e
x
x
e
x
x
1，所以limnn=1．
n
§函数的单调性与曲线的凹凸性
1．填空题
（１）
函数y4x2
ln（x2）的单调增加区间是（1,0）
（1
），单调减少区间
2
2
（,1）
（0,1）．
2
2
（２）若函数
f（x）二阶导数存在，且
f（x）0,f（0）0，则F（x）
f（x）在0x
上
x
是单调
增加
．
（３）函数yax21在（0,）内单调增加，则a0．
（４）若点（1，3）为曲线yax3bx2的拐点，则a3，b9，曲线的凹区间为（,1），
22
凸区间为（1,）．
2．单项选择题
（１）下列函数中，（A）在指定区间内是单调减少的函数.
A.y2x（,）B.yex（,0）
C.ylnx（0,）D.ysinx（0,）
（２）设f（x）（x1）（2x1），则在区间（1,1）内（B）．
2
A.yf（x）单调增加，曲线yf（x）为凹的
B.yf（x）单调减少，曲线yf（x）为凹的
C.yf（x）单调减少，曲线yf（x）为凸的
Ｄ．yf（x）单调增加，曲线yf（x）为凸的
（３）
f（x）在（
）内可导,
且x1,x2,当x1
x2时,f（x1）
f（x2）,则（D）
A.
任意x,f（x）
0
B.
任意x,f（x）0
C.
f（
x）单调增
D.
f（
x）单调增
（４）设函数
f（x）在[0,1]
上二阶导数大于
0,
则下列关系式成立的是（B
）
A.
f
（1）
f
（0）
f
（1）
f（0）
B.
f
（1）
f
（1）
f（0）
f（0）
C.
f
（1）
f（0）
f
（1）
f
（0）
D.
f
（1）
f（0）
f
（1）
f（0）
2．求下列函数的单调区间
（１）
y
ex
x1．
解：
y
ex
1，当x0
时，y
0,所以函数在区间
[0,
）为单调增加；
当x
0时，y
0
，所以函数在区间
（
0]为单调减少．
（２）y
（2x
5）3
x2．
10x
1
解：
y
3（x
1），
3
当
，或
x
0
时，y
0,
所以函数在区间（
0]
[1,
）为单调增加；
x1
当0
x1时，y
0，所以函数在区间
[0,1]
为单调减少．
（３）
解：
yln（x
1
x2）
1
x
x2
1
y
1
0，故函数在
（
）单调增加．
x1
x2
1x2
3．证明下列不等式
（１）证明：
对任意实数a和b,
成立不等式
|ab||a||b|．
1|ab|1|a|1|b|
证明：
令f（x）
x
，则f（x）
1
0，f（x）在[0,
）内单调增加.
1
（1
x）2
x
于是,
由|a
b||a|
|b|,
就有f（|ab|）
f（|a||b|）,
即
|ab|
|a||b|
|a|
|b|
|a|
|b|
1|ab|
1|a||b|1|a||b|1|a||b|
1|a|1|b|
（２）当x
1时,
lnx
2（x
1）
．
x
1
证明：
设f（x）
（x
1）lnx
2（x
1），f'（x）
lnx
1
1，由于当x
1时，
x
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