人口增长模型.docx

1、人口增长模型人口增长模型学院： 专 业： 姓 名： 学号：_ 实验时间： 实验地点： 一、实验项目：数据拟合与模型参数估计二、实验目的和要求a.了解数据拟合的原理和Matlab中的有关命令。b. 建立实用的人口增长模型，包括参数估计、模型检验和人口预测三、实验内容 问题的描述 建立指数增长模型和阻滞增长模型，根据下表中美国人口数据进行模型的参数估计、检验和预报，便可以分析人口增长趋势，认识人口数量的变化规律，对人口增长做出有效的控制。 下表是用excel表格填写的美国人口数据：问题的分析在理想的情况下，假设人口增长率不变，可以建立指数增长模型；由于自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着组织作

2、用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大，考虑到这个因素，建立阻滞增长模型logistic模型。 模型一、指数增长模型建立模型记时刻t的人口为x（t），将x（t）视为连续、可微函数，记 初始时刻（t=0）的人口为x0 ，年增长率为常数r，即单位时间内x（t）的增量dx/dt等于r乘以x(t),于是得到x(t)满足微分方程(1)由此方程很容易解出 （2）r0时，（2）式表明人口将按指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型。模型求解 （代码、计算结果或输出结果）参数估计：为了估计指数增长模型中的参数r和x0，需将（2）式取对数，得到：y=rt+a y=ln(x) a=ln(x0) (7)以美国人口

3、实际数据为例，对（7）式作数据拟合。如用17901900年的数据：（t以17901990间的数字表示，求出的r是以 /年为单位）代码如下：t=1790:10:1900;c=3.9, 5.3, 7.2, 9.6, 12.9, 17.1, 23.2, 31.4, 38.6, 50.2,62.9, 76.0;d=log(c); % y=ln(x)，所以将c取自然对数x=polyfit(t,d,1)； % 因为t用17901990表示，所以 r=x(1) （以/年为单位，不是/10年） x0=x(2) 是最初t=0时的人数，可用z(1790)求出本题中实际意义上的x0，即截屏中的4.2百万z=poly

4、val(x,t);z=exp(z);t;z ; % 输出的17901900年的人口计算值plot(t,c,k+,t,z,r)gtext(+代表：实际数据)代码截屏： 指数增长拟合图形（17901900年）用17901990年的数据进行参数估计（t以021间的数字表示，求出的r以/10年为单位） t=0:1:21; c=c 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4; d=log(c);x=polyfit(t,d,1) % r=x(1) 以10年为单位，x(2)=ln(x0),即x0=exp(x(2) exp(x(2) %

5、 x0值，因为是用0：21表示t，所以x0就是1790年的计算值 z=polyval(x,t);z=exp(z); t;z; %计算17902000年的人口值 plot(t,c,k+,t,z,r)gtext(+代表：实际数据)代码截屏： 指数增长模型拟合图形（17902000年）从图像可看出，指数增长模型对人口的预计，随时间的增长人口数量趋近于无穷，t越大，拟合的数据误差越大。模型二、阻滞增长模型logistic模型 由模型一可知，人口无限增长的分析显然不能成立，为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设，故建立阻滞增长模型。阻滞作用体

6、现在对人口增长率r的影响上，使得r随着人口数量x的增加而下降，若将r表示为x的函数r(x)，则它应是减函数，于是有（3）对r(x)做简单的假定，设r(x)为x的线性函数，即r(x)=r-sx（r，s0） (4)这里r称固有增长率，表示人口很少时（理论上x=0）的增长率。引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量xm，称人口容量。当xxm时，人口不再增长。即x=xm时，r（xm）=0，代入（3），得到 ，x（0）=x0 （5）方程右端的因子rx体现人口自身的增长趋势，因子则体现了环境和资源对人口增长的阻滞作用。显然，x越大，前一因子rx越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果，（5

7、）式便称为阻滞增长模型。以x为横轴，以为纵轴作出方程（5）的图形，可以分析人口增长速度随着x的增加而变化的情况，从而大致地看出x（t）的变化规律。图形代码： x=3.0:300.0; y=0.2.*x.*(1-x./300.0); plot(x,y) gtext(dx/dt) gtext(xm/2) 实际上，利用分离变量法，由（5）很容易得到 （6）由计算机画出（6）式的图形，如图：图形代码： syms x t r xm x0 x=dsolve(Dx=r*x*(1-x/xm),x(0)=x0,t); y=subs(x,x0,r,xm,3.9,0.21,384.0); ezplot(y,0,50

8、) gtext(x0-) gtext(xm/2-) gtext(xm-)模型求解 （代码、计算结果或输出结果）用阻滞增长模型进行人口预报，要先作参数估计，除了初始值人口r和x0外，需估计xm，他们可利用数据拟合得到。1.对于r和xm的估计：将（5）改为： （8）可以以从实际人口数据用数值微分算出，右端r，s是线性的,用差分法估计参数：我们利用1790:1990的数据进行参数估计：c=3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.

9、4;b=diff(c)b = %用前向差分进行数值微分，b即：dx Columns 1 through 14 1.4000 1.9000 2.4000 3.3000 4.2000 6.1000 8.2000 7.2000 11.6000 12.7000 13.1000 16.0000 14.5000 16.7000 Columns 15 through 20 8.5000 19.0000 28.6000 24.7000 22.5000 24.9000 b1=8 13 15 19 ; b(b1)=; %为估计更准确，去掉b向量中的第8、13、15、19个异常数据 b2=1 9 14 16 20;

10、 e=c; % e 是(dx/dt)/x中的x向量,先令其为c（17901900的所有数据） e(b2)=; % 去掉e中的第1、9 、14、16、20个数值 dxx=b./e; % dxx 即：(dx/dt)/x，因为dt=1，所以dxx也为dx/x= b./e a=polyfit(e,dxx,1) % r=a（2） ，xm=-r/a(1)x0=3.9; r=a(2);xm=-r/a(1); t=0:1:21; %用估计的参数计算17902000年的所有人口数值f=inline(xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*t),t,xm,r,x0); c(22)=281.4; plot(

11、t,f(t,xm,r,x0),-r,t,c,+b);g=xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*t) % g为计算的1790-2000年的人口数值a1=g(20) g(21) g(22); %计算1980、1990的误差，估计2000的人口数量并计算误差b1=c(20) c(21) c(22);wu=(b1-a1)./a1 % 误差结果显示 gtext(用数值微分作参数估计：)代码及输出截屏：用数值积分拟合的阻滞增长模型图形结果分析：由该图像可看出，拟合数据与真实数据变化趋势一致，且吻合较好，误差在10%以内，但还是有点大，这是因为数据选择的原因，在这里是用全部17901990年间的数

12、据，去掉了其中的个别异常数据进行的参数估计，而书上是用1860-1990年间的数据，去掉了其中的个别异常数据。因为情况太多，可能与书上真实实验时的数据不一致，所以，结果误差相对较大。用 进行参数估计：function f=curve2(x,tdata) % .m文件f=x(1)./(1+(x(1)/x(3)-1)*exp(-x(2)*tdata); %x(1):xm x(2):r x(3):x0t=0:1:21;tdata=t; % 命令窗口的输入c=3.9, 5.3, 7.2, 9.6, 12.9, 17.1, 23.2, 31.4, 38.6, 50.2,62.9, 76.0 , 92.0

13、 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4;cdata=c;x0=300.0,0.02,3.9;x=lsqcurvefit(curve2,x0,tdata,cdata)x = 444.2892 0.2160 7.6576 % x(1):xm x(2):r/10年 x(3):x0 (1790年)f=x(1)./(1+(x(1)/x(3)-1)*exp(-x(2)*tdata) %17902000 人口计算值 plot(t,f,r,t,c,b+)代码及图形截屏：误差分析：用1980.1990.2000年的实际数据与计算值比较，得到：

14、（1990）=| f（1980）-c（1980）|/c(1980)=0.48%;(1990)=|f(1990)-c(1990)|/c(1990)=1.09%;(2000)=|f(2000)-c(2000)|/c(2000)=0.56%这说明拟合的计算值已与实际值相当接近，模型建立成功，可用于进一步的研究。检验及预测：据美国人口普查局公布，截止到2010年4月，美国总人口为3.087，亿现在用上面的结果对2010年的数据进行模型检验和模型预测：预测得到的结果说明，预测的误差为3.49%，这已经说明该模型具有很好的实用性了。（因为标准误差是5%，一般认为在5%以内的误差均是允许误差），这也是对该模

15、型的检验。结果分析：由上误差分析和拟合图形可知，用该方式拟合的数据误差极小，则说明该模型建立成功且实用性强，可用于进行较为准确的人口的预测。对于以上两种方式的阻滞增长模型进行预测时，并没有达到书上那么准确的结果，这是由于书上的数据是以18601990年（去掉其中个别异常数据）进行的拟合，而从这些数据中去掉异常数据，最大会有（214-1）中可能，所以由于数据的选择性，没有实现书上那么小的误差。 4种拟合方式人口数据拟合的结果四、实验总结1. 指数增长模型：从两种表现形式的指数增长模型可看出，若用021间的数表示t，则r是以/年为单位，而若用17902000间的数表示，便是以/10年为单位；2.阻滞增长模型：阻滞增长模型，书上是用18601990年的数据（去掉个别异常数据）拟合的，因不知道书上到底是去掉了哪几个数据，我试了几种可能，但都没出现书上误差那么小的结果，所以，最后直接用了全部的数据做估计，误差相对书上结果而言较大,但最后一种拟合方式的误差较小，在误差允许范围内也可用于人口预测。由上分析，也可知，误差的原因可能是由于数据的选择不当。