人口增长模型.docx
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人口增长模型
人口增长模型
学院：
专业：
姓名：
学号：
___实验时间：
实验地点：
一、实验项目：
数据拟合与模型参数估计
二、实验目的和要求
a.了解数据拟合的原理和Matlab中的有关命令。
b.建立实用的人口增长模型，包括参数估计、模型检验和人口预测
三、实验内容
问题的描述
建立指数增长模型和阻滞增长模型，根据下表中美国人口数据进行模型的参数估计、检验和预报，便可以分析人口增长趋势，认识人口数量的变化规律，对人口增长做出有效的控制。
下表是用excel表格填写的美国人口数据：
问题的分析
①在理想的情况下，假设人口增长率不变，可以建立指数增长模型；
②由于自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着组织作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大，考虑到这个因素，建立阻滞增长模型——logistic模型。
模型一、指数增长模型
建立模型
记时刻t的人口为x（t），将x（t）视为连续、可微函数，记初始时刻（t=0）的人口为x0，年增长率为常数r，即单位时间内x（t）的增量dx/dt等于r乘以x（t）,于是得到x（t）满足微分方程
（1）
由此方程很容易解出
（2）
r>0时，
（2）式表明人口将按指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型。
模型求解（代码、计算结果或输出结果）
参数估计：
为了估计指数增长模型中的参数r和x0，需将
（2）式取对数，得到：
y=rt+ay=ln（x）a=ln（x0）（7）
以美国人口实际数据为例，对（7）式作数据拟合。
①如用1790——1900年的数据：
（t以1790—1990间的数字表示，求出的r是以/年为单位）
代码如下：
t=1790:
10:
1900;
c=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0];
d=log（c）;%y=ln（x），所以将c取自然对数
x=polyfit（t,d,1）；%因为t用1790—1990表示，所以r=x
（1）（以/年为单位，不是/10
年）x0=x
（2）是最初t=0时的人数，可用z（1790）求出本题中实际意义上的x0，即截屏中的4.2百万
z=polyval（x,t）;
z=exp（z）;
[t;z]';%输出的1790——1900年的人口计算值
plot（t,c,'k+',t,z,'r'）
gtext（'+代表：
实际数据'）
代码截屏：
指数增长拟合图形（1790—1900年）
②用1790——1990年的数据进行参数估计（t以0—21间的数字表示，求出的r以/10年为单位）
t=0:
1:
21;
c=[c92.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4281.4];
d=log（c）;
x=polyfit（t,d,1）%r=x
（1）以10年为单位，x
（2）=ln（x0）,即x0=exp（x
（2））
exp（x
（2））%x0值，因为是用0：
21表示t，所以x0就是1790年的计算值
z=polyval（x,t）;
z=exp（z）;
[t;z]';%计算1790—2000年的人口值
plot（t,c,'k+',t,z,'r'）
gtext（'+代表：
实际数据'）
代码截屏：
指数增长模型拟合图形（1790—2000年）
从图像可看出，指数增长模型对人口的预计，随时间的增长人口数量趋近于无穷，t越大，拟合的数据误差越大。
模型二、阻滞增长模型——logistic模型
由模型一可知，人口无限增长的分析显然不能成立，为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设，故建立阻滞增长模型。
阻滞作用体现在对人口增长率r的影响上，使得r随着人口数量x的增加而下降，若将r表示为x的函数r（x），则它应是减函数，于是有
（3）
对r（x）做简单的假定，设r（x）为x的线性函数，即 r（x）=r-sx （r，s>0）（4）
这里r称固有增长率，表示人口很少时（理论上x=0）的增长率。
引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量xm，称人口容量。
当x＝xm时，人口不再增长。
即x=xm时，r（xm）=0，代入（3），得到
，x（0）=x0（5）
方程右端的因子rx体现人口自身的增长趋势，因子
则体现了环境和资源对人口增长的阻滞作用。
显然，x越大，前一因子rx越大，后一因子
越小，人口增长是两个因子共同作用的结果，（5）式便称为阻滞增长模型。
以x为横轴，以
为纵轴作出方程（5）的图形，可以分析人口增长速度
随着x的增加而变化的情况，从而大致地看出x（t）的变化规律。
图形代码：
>>x=3.0:
300.0;
>>y=0.2.*x.*（1-x./300.0）;
>>plot（x,y）
>>gtext（'dx/dt'）
>>gtext（'xm/2'）
实际上，利用分离变量法，由（5）很容易得到
（6）
由计算机画出（6）式的图形，如图：
图形代码：
>>symsxtrxmx0
>>x=dsolve（'Dx=r*x*（1-x/xm）','x（0）=x0','t'）;
>>y=subs（x,{x0,r,xm},{3.9,0.21,384.0}）;
>>ezplot（y,[0,50]）
>>gtext（'x0-----'）
>>gtext（'xm/2--------------------------------------'）
>>gtext（'xm---------------------------'）
模型求解（代码、计算结果或输出结果）
用阻滞增长模型进行人口预报，要先作参数估计，除了初始值人口r和x0外，需估计xm，他们可利用数据拟合得到。
1.对于r和xm的估计：
将（5）改为：
（8）
①可以以从实际人口数据用数值微分算出，右端r，s是线性的,用差分法估计参数：
我们利用1790:
1990的数据进行参数估计：
c=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4];
b=diff（c）
b=%用前向差分进行数值微分，b即：
dx
Columns1through14
1.40001.90002.40003.30004.20006.10008.20007.200011.600012.700013.100016.000014.500016.7000
Columns15through20
8.500019.000028.600024.700022.500024.9000
b1=[8131519];
b（b1）=[];%为估计更准确，去掉b向量中的第8、13、15、19个异常数据
b2=[19141620];
e=c;%e是（dx/dt）/x中的x向量,先令其为c（1790—1900的所有数据）
e（b2）=[];%去掉e中的第1、9、14、16、20个数值
dxx=b./e;%dxx即：
（dx/dt）/x，因为dt=1，所以dxx也为dx/x=b./e
a=polyfit（e,dxx,1）%r=a
（2），xm=-r/a
（1）
x0=3.9;
r=a
（2）;
xm=-r/a
（1）;
t=0:
1:
21;%用估计的参数计算1790——2000年的所有人口数值
f=inline（'xm./（1+（xm/x0-1）*exp（-r*t））','t','xm','r','x0'）;
c（22）=281.4;
plot（t,f（t,xm,r,x0）,'-r',t,c,'+b'）;
g=xm./（1+（xm/x0-1）*exp（-r*t））%g为计算的1790----2000年的人口数值
a1=[g（20）g（21）g（22）];%计算1980、1990的误差，估计2000的人口数量并计算误差
b1=[c（20）c（21）c（22）];
wu=（b1-a1）./a1%误差结果显示
>>gtext（'用数值微分作参数估计：
'）
代码及输出截屏：
用数值积分拟合的阻滞增长模型图形
结果分析：
由该图像可看出，拟合数据与真实数据变化趋势一致，且吻合较好，误差在10%以内，但还是有点大，这是因为数据选择的原因，在这里是用全部1790—1990年间的数据，去掉了其中的个别异常数据进行的参数估计，而书上是用1860---1990年间的数据，去掉了其中的个别异常数据。
因为情况太多，可能与书上真实实验时的数据不一致，所以，结果误差相对较大。
②用
进行参数估计：
functionf=curve2（x,tdata）%.m文件
f=x
（1）./（1+（x
（1）/x（3）-1）*exp（-x
（2）*tdata））;%x
（1）:
xmx
（2）:
rx（3）:
x0
t=0:
1:
21;
tdata=t;%命令窗口的输入
c=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4281.4];
cdata=c;
x0=[300.0,0.02,3.9];
x=lsqcurvefit（'curve2',x0,tdata,cdata）
x=
444.28920.21607.6576%x
（1）:
xmx
（2）:
r/10年x（3）:
x0（1790年）
f=x
（1）./（1+（x
（1）/x（3）-1）*exp（-x
（2）*tdata））%1790—2000人口计算值
>>plot（t,f,'r',t,c,'b+'）
代码及图形截屏：
误差分析：
用1980.1990.2000年的实际数据与计算值比较，得到：
△（1990）=|f（1980）-c（1980）|/c（1980）=0.48%;
△（1990）=|f（1990）-c（1990）|/c（1990）=1.09%;
△（2000）=|f（2000）-c（2000）|/c（2000）=0.56%
这说明拟合的计算值已与实际值相当接近，模型建立成功，可用于进一步的研究。
检验及预测：
据美国人口普查局公布，截止到2010年4月，美国总人口为3.087，亿现在用上面的结果对2010年的数据进行模型检验和模型预测：
预测得到的结果说明，预测的误差为3.49%，这已经说明该模型具有很好的实用性了。
（因为标准误差是5%，一般认为在5%以内的误差均是允许误差），这也是对该模型的检验。
结果分析：
由上误差分析和拟合图形可知，用该方式拟合的数据误差极小，则说明该模型建立成功且实用性强，可用于进行较为准确的人口的预测。
对于以上两种方式的阻滞增长模型进行预测时，并没有达到书上那么准确的结果，这是由于书上的数据是以1860—1990年（去掉其中个别异常数据）进行的拟合，而从这些数据中去掉异常数据，最大会有（2^14-1）中可能，所以由于数据的选择性，没有实现书上那么小的误差。
4种拟合方式人口数据拟合的结果
四、实验总结
1.指数增长模型：
从两种表现形式的指数增长模型可看出，若用0—21间的数表示t，则r是以/年为单位，而若用1790—2000间的数表示，便是以/10年为单位；
2.阻滞增长模型：
阻滞增长模型，书上是用1860——1990年的数据（去掉个别异常数据）拟合的，因不知道书上到底是去掉了哪几个数据，我试了几种可能，但都没出现书上误差那么小的结果，所以，最后直接用了全部的数据做估计，误差相对书上结果而言较大,但最后一种拟合方式的误差较小，在误差允许范围内也可用于人口预测。
由上分析，也可知，误差的原因可能是由于数据的选择不当。
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