高中数学 第一章 常用逻辑用语章末复习课学案 新人教A版选修21.docx

1、高中数学 第一章 常用逻辑用语章末复习课学案 新人教A版选修21第一章 常用逻辑用语学习目标1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、特称命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定.知识点一命题及其关系1.判断一个语句是否为命题，关键是：(1)为陈述句；(2)能判断真假.2.互为逆否关系的两个命题的真假性相同.3.四种命题之间的关系如图所示.知识点二充分条件、必要条件和充要条件1.定义一般地，若p则q为真命

2、题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作pq，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件.一般地，如果既有pq，又有qp，就记作pq.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.2.特征充分条件与必要条件具有以下两个特征：(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件；(2)传递性：若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的充分条件.即若pq， qr，则pr.必要条件和充分条件一样具有传递性，但若p是q的充分条件，q是r的必要条件，则p与r的关系不能确定.知识点三简单的逻辑联结词与量词1.常见的逻辑联结词有“且”、“或”、“非”.2.短语“所有”“任意

3、”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词，通常用符号“x”表示“对任意x”.3.短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词，通常用符号“x”表示“存在x”.4.含有全称量词的命题叫做全称命题，含有存在量词的命题叫做特称命题.类型一充分条件与必要条件、充要条件的探究命题角度1充分条件与必要条件的再探究例1设甲、乙、丙三个命题，若甲是乙的充要条件；丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，则()A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件答案A解析由

4、得甲乙，可以理解为丙是乙的充分条件，但不是乙的必然结果，即丙乙，乙丙.则丙是甲的充分条件，但不是甲的必然结果.反思与感悟若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件，即q的充分条件是p，p的必要条件是q.如果将“必要条件”理解为“必然结果”，则可认为p的必然结果是q，q是p的必然结果.则pq易表述为以下几种说法：p是q的不充分条件，q的不充分条件是p；q是p的不必要条件，p的不必要条件是q.跟踪训练1使ab0成立的一个充分不必要条件是()A.a2b20 B.logalogb0 C.ln aln b0 D.xaxb且x0.5答案C解析设条件p符合条件，则p是ab0的充分条件，但不是ab0的必然结

5、果，即有 “pab0，ab0p”.A选项中，a2b20ab0，有可能是ablogb00abb0，故B不符合条件；C选项中，ln aln b0ab1ab0，而ab0ab1，符合条件；D选项中，xaxb且x0.50.5x1时a1时ab，无法得到a，b与0的大小关系，故D不符合条件.命题角度2充要条件的再探究例2设数列an、bn、cn满足：bnanan2，cnan2an13an2(n1，2，3，)，证明：an为等差数列的充分必要条件是cn为等差数列且bnbn1(n1，2，3，).证明(必要性)设an是公差为d1的等差数列，则bn1bn(an1an3)(anan2)(an1an)(an3an2)d1d

6、10，所以bnbn1(n1，2，3，)成立.又cn1cn(an1an)2(an2an1)3(an3an2)d12d13d16d1(常数)(n1，2，3，)，数列cn为等差数列.(充分性)设数列cn是公差为d2的等差数列，且bnbn1(n1，2，3，).cnan2an13an2， cn2an22an33an4. 得cncn2(anan2)2(an1an3)3(an2an4)cn2(cncn1)(cn1cn2)2d2，bn2bn13bn22d2， 同理有bn12bn23bn32d2. 得(bn1bn)2(bn2bn1)3(bn3bn2)0. bn1bn0，bn2bn10，bn3bn20，由得bn1

7、bn0(n1，2，3，).由此不妨设bnd3(n1，2，3，)，则anan2d3(常数).由此cnan2an13an24an2an13d3，从而cn14an12an23d34an12an5d3.两式相减得cn1cn2(an1an)2d3，因此an1an(cn1cn)d3d2d3(常数)(n1，2，3，)，数列an是等差数列.反思与感悟利用充要条件的定义证明问题时，需要从两个方面加以证明，切勿漏掉其中一个方面.跟踪训练2设an是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai1的矩形的面积(i1，2，)，则An为等比数列的充要条件是()A.an是等比数列B.a1，a3，a2n1，或a2，a4，a2n

8、，是等比数列C.a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列D.a1，a3，a2n1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相同答案D解析Aiaiai1，若Ai是公比为q的等比数列，则有对i1有q.这说明a2i1及a2i均是等比数列且公比都是q，即D选项Ai为等比数列的必要条件，故研究反向问题即可.由上述，D选项是Ai为等比数列的必要条件.设D选项为真，即设a2i1，a2i均为等比数列，且公比都是q，则对iN*，有q，为等比数列.这表明D选项也是Ai为等比数列的充分条件.故选D.类型二等价转化思想的应用例3已知c0，设p：函数ycx在R上单调递减；q：不等式x|x2c|1的解集

9、为R.如果p和q有且仅有一个为真命题，求c的取值范围.解函数ycx在R上单调递减0c1的解集为R函数yx|x2c|在R上恒大于1.x|x2c|函数yx|x2c|在R上的最小值为2c，2c1，得c.如果p真q假，则解得0c；如果q真p假，则解得c1.c的取值范围为(0，1，).反思与感悟等价转化思想是包含在化归思想中的一种比较具体的数学思想，本章主要体现在四种命题间的相互转化与集合之间的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化.跟踪训练3已知命题p：(x1)(x5)0，命题

10、q：1mx0).(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；(2)若m5，“pq”为真命题，“pq”为假命题，求实数x的取值范围.解(1)由命题p：(x1)(x5)0，解得1x5.命题q：1mx0).p是q的充分条件，1，51m，1m)，解得m4，则实数m的取值范围为(4，).(2)m5，命题q：4x6.“pq”为真命题，“pq”为假命题，命题p，q为一真一假.当p真q假时，可得解得x.当q真p假时，可得解得4x1或5x6.因此x的取值范围是4，1)(5，6).类型三分类讨论思想的应用例4已知关于x的方程(mZ)：mx24x40， x24mx4m24m50， 求方程和的根都是整数的充要条件.

11、解当m0时，方程的根为x1，方程化为x250，无整数根，m0.当m0时，方程有实数根的充要条件是1644m0m1；方程有实数根的充要条件是16m24(4m24m5)0m.m1.又mZ，m1或m1.当m1时，方程为x24x40，无整数根；当m1时，方程为x24x40，方程为x24x50.此时和均有整数根.综上，方程和均有整数根的充要条件是m1.反思与感悟分类讨论思想是中学数学中常用的数学思想之一，利用分类讨论思想解答问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点.这是因为：其一，分类讨论问题一般都覆盖较多的知识点，有利于对学生知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类讨论思想与

12、技巧，因此有利于对能力的考查；其三，分类讨论问题常与实际问题和高等数学相联系.解决分类讨论问题的实质是：整体问题化为部分来解决，化成部分后，可以增加题设条件，这也是解分类讨论问题总的指导思想.跟踪训练4已知p：2；q：x2axxa.若綈p是綈q的充分条件，求实数a的取值范围.解p：2，0，即1x3.又q：x2axxa，x2(a1)xa0.当a1时，1xa.设q对应的集合为A，p对应的集合为B，綈p是綈q的充分条件.RBRA，即AB.当a1时，1xa，要使AB，则1ay，则xy，则x2y2.在命题pq；pq； p(綈q)；(綈p)q中，真命题是_.答案解析当xy时，xy时，x2y2不一定成立，故

13、命题q为假命题，从而綈q为真命题.由真值表知，pq为假命题；pq为真命题；p(綈q)为真命题；(綈p)q为假命题.4.对任意x1，2，x2a0恒成立，则实数a的取值范围是_.答案(，0解析由x2a0，得ax2，故a(x2)min，得a0.5.(1)若p：两条直线的斜率互为负倒数，q：两条直线互相垂直，则p是q的什么条件？(2)若p：|3x4|2，q：0，则綈p是綈q的什么条件？解(1)两条直线的斜率互为负倒数，两条直线互相垂直，pq.又一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，两条直线也垂直，qp.p是q的充分不必要条件.(2)解不等式|3x4|2，得p：x|x2或x0，得q：x|x2.綈q

14、：x|1x2.綈p是綈q的充分不必要条件.1.判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断.2.判断命题真假的步骤3.命题pq，pq，綈p的真假判断，如下表：pq綈ppqpq真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假4.含有一个量词的命题的否定命题命题的否定xM，p(x)x0M，綈p(x0)x0M，p(x0)xM，綈p(x)注意：(1)全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.(2)命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念.对一个命题进行否定，就是要对其结论进行否定，而否命题是既否定条件又否

15、定结论.40分钟课时作业一、选择题1.命题“xR，x2x”的否定是()A.xR，x2x B.xR，x2xC.x0R，xx0 D.x0R，xx0答案D解析全称命题的否定是特称命题，所以“xR，x2x”的否定为“x0R，xx0”.2.命题“若a2b20(a，bR)，则ab0”的逆否命题是()A.若ab0(a，bR)，则a2b20B.若ab0(a，bR)，则a2b20C.若a0且b0(a，bR)，则a2b20D.若a0或b0(a，bR)，则a2b20答案D解析“且”的否定词为“或”，所以“若a2b20(a，bR)，则ab0”的逆否命题是“若a0或b0，则a2b20”.3.有下列命题：垂直于同一条直线

16、的两个平面互相平行；垂直于同一个平面的两个平面互相平行；若直线m，n与同一个平面所成的角相等，则m，n互相平行；若直线m，n是异面直线，则与m，n都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4答案C解析垂直于同一条直线的两个平面互相平行，正确；垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，错误；若直线m，n与同一个平面所成的角相等，则m，n互相平行或相交或异面，错误；若直线m，n是异面直线，则与m，n都相交的两条直线是异面直线或相交直线，错误.4.已知直线l1：axy1和直线l2：9xay1，则“a30”是“l1l2”的()A.充要条件 B.必要不充分条件C.充分不必

17、要条件 D.既不充分也不必要条件答案C解析因为两直线平行，所以有a290，解得a3，当a3时，显然两条直线平行，故“a30”是“l1l2”的充分不必要条件，故选C.5.下列有关命题的叙述，若pq为真命题，则pq为真命题；“x5”是“x24x50”的充分不必要条件；命题p：xR，使得x2x10得x5或x5”是“x24x50”的充分不必要条件，正确.根据特称命题的否定是全称命题知正确.“若x23x20，则x1或x2”的逆否命题为“若x1且x2，则x23x20”所以错误，所以错误命题的个数为2个.6.下列命题中的真命题是()A.对于实数a、b、c，若ab，则ac2bc2B.x21是x1的充分不必要条

18、件C.，R，使得sin()sin sin 成立D.，R，tan()成立答案C解析A项中，当c0时不符合题意，故A项错误；B项中，x21是x1的必要不充分条件，故B项错误；当0时，符合题意，故C项正确；当时，不符合题意，故D项错误.二、填空题7.若命题p：常数列是等差数列，则綈p：_.答案存在一个常数列，不是等差数列解析全称命题的否定是特称命题.8.把“奇函数的图象关于原点对称”改写成“若p，则q”的形式为_.答案若一个函数是奇函数，则这个函数的图象关于原点对称解析改写成“若p，则q”的形式为：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象关于原点对称.9.命题p：若b，则a，b，c成等比数列，则命题p的

19、否命题是_命题.(填“真”或“假”)答案假解析其原命题的否命题是：若b，则a，b，c不成等比数列.若b，则b2ac，此时a，b，c也可以成等比数列，故为假命题.10.定义f(x)x(x表示不小于x的最小整数)为“取上整函数”，例如1.22，44.“取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取上整函数”进行计费的.以下关于“取上整函数”的性质是真命题的序号是_.(请写出所有真命题的序号)f(2x)2f(x)；若f(x)f(y)，则xy0，使函数f(x)ax24x在(，2上单调递减”，命题q：“存在aR，使xR，16x216(a1)x10”.若命题“pq”为真命题，求实数a的取值范围.解若p为真，则对称轴x在区间(，2的右侧，即2，0a1.若q为真，则方程16x216(a1)x10无实数根，16(a1)24160，a.命题“pq”为真命题，命题p、q都为真，a1.故实数a的取值范围为(，1.13.求实数a的取值范围，使得关于x的方程x22(a1)x2a60.(1)有两个都大于1的实数根；(2)至少有一个正实数根.解(1)方程x22(a1)x2a60的两实根x1，x2均大于1的充要条件是a1.(2)由题意当一根为正，一根为负时，a3；当一根为正，一根为零时，a3；当两根均为正时，即3a1.综上所述，方程至少有一个正实数根时，a的取值范围是(，1.