综上，符合条件的a∈[1，3）.
1.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）
A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B.“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C.“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D.“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
答案 B
解析 依题意，得原命题的逆命题：
若一个数的平方是正数，则它是负数.
2.已知α，β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，p：
a与b无公共点，q：
α∥β，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若α与β相交，设交线为c，若a∥c，b∥c，则a∥b，此时a与b无公共点，所以p⇏q；若α∥β，则a与b的位置关系是平行或异面，a与b无公共点，所以q⇒p.由此可知p是q的必要不充分条件，故选B.
3.已知命题p：
若x>y，则－x<－y；命题q：
若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（綈q）；④（綈p）∨q中，真命题是________.
答案 ②③
解析 当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题.
当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题.
由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（綈q）为真命题；④（綈p）∨q为假命题.
4.对任意x∈[－1，2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________.
答案 （－∞，0]
解析 由x2－a≥0，得a≤x2，故a≤（x2）min，得a≤0.
5.
（1）若p：
两条直线的斜率互为负倒数，q：
两条直线互相垂直，则p是q的什么条件？
（2）若p：
|3x－4|>2，q：
>0，则綈p是綈q的什么条件？
解
（1）∵两条直线的斜率互为负倒数，∴两条直线互相垂直，∴p⇒q.
又∵一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，两条直线也垂直，∴q⇏p.
∴p是q的充分不必要条件.
（2）解不等式|3x－4|>2，得p：
{x|x>2或x<
}，
∴綈p：
{x|
≤x≤2}.
解不等式
>0，得q：
{x|x<－1或x>2}.
∴綈q：
{x|－1≤x≤2}.
∴綈p是綈q的充分不必要条件.
1.判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断.
2.判断命题真假的步骤
⇒
⇒
3.命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断，如下表：
p
q
綈p
p∨q
p∧q
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
4.含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
∀x∈M，p（x）
∃x0∈M，綈p（x0）
∃x0∈M，p（x0）
∀x∈M，綈p（x）
注意：
（1）全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.
（2）命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念.对一个命题进行否定，就是要对其结论进行否定，而否命题是既否定条件又否定结论.
40分钟课时作业
一、选择题
1.命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是（ ）
A.∀x∉R，x2≠xB.∀x∈R，x2＝x
C.∃x0∉R，x
≠x0D.∃x0∈R，x
＝x0
答案 D
解析 全称命题的否定是特称命题，所以“∀x∈R，x2≠x”的否定为“∃x0∈R，x
＝x0”.
2.命题“若a2＋b2＝0（a，b∈R），则a＝b＝0”的逆否命题是（ ）
A.若a≠b≠0（a，b∈R），则a2＋b2≠0
B.若a＝b≠0（a，b∈R），则a2＋b2≠0
C.若a≠0且b≠0（a，b∈R），则a2＋b2≠0
D.若a≠0或b≠0（a，b∈R），则a2＋b2≠0
答案 D
解析 “且”的否定词为“或”，所以“若a2＋b2＝0（a，b∈R），则a＝b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”.
3.有下列命题：
①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；
③若直线m，n与同一个平面所成的角相等，则m，n互相平行；
④若直线m，n是异面直线，则与m，n都相交的两条直线是异面直线.
其中假命题的个数是（ ）
A.1B.2C.3D.4
答案 C
解析 ①垂直于同一条直线的两个平面互相平行，正确；
②垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，错误；
③若直线m，n与同一个平面所成的角相等，则m，n互相平行或相交或异面，错误；
④若直线m，n是异面直线，则与m，n都相交的两条直线是异面直线或相交直线，错误.
4.已知直线l1：
ax＋y＝1和直线l2：
9x＋ay＝1，则“a＋3＝0”是“l1∥l2”的（ ）
A.充要条件B.必要不充分条件
C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 因为两直线平行，所以有a2－9＝0，解得a＝±3，当a＝±3时，显然两条直线平行，故“a＋3＝0”是“l1∥l2”的充分不必要条件，故选C.
5.下列有关命题的叙述，①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；②“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件；③命题p：
∃x∈R，使得x2＋x－1<0，则綈p：
∀x∈R，使得x2＋x－1≥0；④命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”.其中错误的个数为（ ）
A.1B.2C.3D.4
答案 B
解析 若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真，所以p∧q不一定为真，所以①错误.x2－4x－5>0得x>5或x<－1，所以“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件，②正确.根据特称命题的否定是全称命题知③正确.“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2－3x＋2≠0”所以④错误，所以错误命题的个数为2个.
6.下列命题中的真命题是（ ）
A.对于实数a、b、c，若a>b，则ac2>bc2
B.x2>1是x>1的充分不必要条件
C.∃α，β∈R，使得sin（α＋β）＝sinα＋sinβ成立
D.∀α，β∈R，tan（α＋β）＝
成立
答案 C
解析 A项中，当c＝0时不符合题意，故A项错误；B项中，x2>1是x>1的必要不充分条件，故B项错误；当α＝β＝0时，符合题意，故C项正确；当α＝β＝
时，不符合题意，故D项错误.
二、填空题
7.若命题p：
常数列是等差数列，则綈p：
__________________________________.
答案 存在一个常数列，不是等差数列
解析 全称命题的否定是特称命题.
8.把“奇函数的图象关于原点对称”改写成“若p，则q”的形式为____________.
答案 若一个函数是奇函数，则这个函数的图象关于原点对称
解析 改写成“若p，则q”的形式为：
若一个函数是奇函数，则这个函数的图象关于原点对称.
9.命题p：
若
＝b，则a，b，c成等比数列，则命题p的否命题是________命题.（填“真”或“假”）
答案 假
解析 其原命题的否命题是：
若
≠b，则a，b，c不成等比数列.
若b＝－
，则b2＝ac，此时a，b，c也可以成等比数列，故为假命题.
10.定义f（x）＝{x}（{x}表示不小于x的最小整数）为“取上整函数”，例如{1.2}＝2，{4}＝4.“取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取上整函数”进行计费的.以下关于“取上整函数”的性质是真命题的序号是________.（请写出所有真命题的序号）
①f（2x）＝2f（x）；②若f（x）＝f（y），则x－y<1；
③任意x，y∈R，f（x＋y）≤f（x）＋f（y）；④f（x）＋f（x＋
）＝f（2x）；⑤函数f（x）为奇函数.
答案 ②③
解析 根据新定义“取上整函数”的意义f（2x）＝2f（x）不一定成立，
如x取1.5；f（x）＋f（x＋
）＝f（2x）不一定成立，
如x取0；函数f（x）不满足奇函数的关系，
如f（1.6）＝f
（2），f（－1.6）＝f（－1）.
故答案为②③.
三、解答题
11.求证：
函数f（x）＝x2＋|x＋a|＋1是偶函数的充要条件是a＝0.
证明 先证充分性，若a＝0，则函数f（x）＝x2＋|x＋a|＋1是偶函数.
因为a＝0，所以f（x）＝x2＋|x|＋1（x∈R）.
因为f（－x）＝（－x）2＋|－x|＋1＝x2＋|x|＋1，
所以f（x）是偶函数.
再证必要性，若f（x）＝x2＋|x＋a|＋1是偶函数，则a＝0.
因为f（x）是偶函数，所以f（－x）＝f（x），
即（－x）2＋|－x＋a|＋1＝x2＋|x＋a|＋1，
从而|x－a|＝|x＋a|，即（x－a）2＝（x＋a）2，
展开并整理，得ax＝0.因为x∈R，所以a＝0.
12.已知命题p：
“存在a>0，使函数f（x）＝ax2－4x在（－∞，2]上单调递减”，命题q：
“存在a∈R，使∀x∈R，16x2－16（a－1）x＋1≠0”.若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围.
解 若p为真，则对称轴x＝－
＝
在区间（－∞，2]的右侧，即
≥2，∴0若q为真，则方程16x2－16（a－1）x＋1＝0无实数根，
∴Δ＝[－16（a－1）]2－4×16<0，∴
.
∵命题“p∧q”为真命题，∴命题p、q都为真，
∴
∴
故实数a的取值范围为（
，1].
13.求实数a的取值范围，使得关于x的方程x2＋2（a－1）x＋2a＋6＝0.
（1）有两个都大于1的实数根；
（2）至少有一个正实数根.
解
（1）方程x2＋2（a－1）x＋2a＋6＝0的两实根x1，x2均大于1的充要条件是
⇔
⇔
⇔
⇔
∴－
（2）由题意
①当一根为正，一根为负时，
∴a<－3；
②当一根为正，一根为零时，
∴a＝－3；
③当两根均为正时，
∴
即－3综上所述，方程至少有一个正实数根时，a的取值范围是（－∞，－1].
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