复变函数练习题习题43.docx

1、复变函数练习题习题43习题4.31求函数在下列环域内的Laurent级数展开式.函数在上述各个环域内有不同的Laurent级数展开式，这与它的Laurent级数展开式的唯一性矛盾吗？为什么？解：(1)环域的中心，对应的Laurent级数展开式中取零，于是在环域内的Laurent级数展开式为(2)环域的中心，对应的Laurent级数展开式中取零，于是在环域内的Laurent级数展开式为(3)环域的中心，对应的Laurent级数展开式中取i，于是在环域内的Laurent级数展开式为另解：函数在上述各个环域内有不同的Laurent级数展开式，这与它的Laurent级数展开式的唯一性不矛盾，的Laur

2、ent级数展开式的唯一性是对给定的某个环域而言，其条件是在该环域内解析.注：此题(3)中常见的错误：3.求函数在下列环域内的Laurent级数展开式.解：(1)环域的中心，对应的Laurent级数展开式中取-2，于是在环域内的Laurent级数展开式为(2)环域的中心，对应的Laurent级数展开式中取-2，于是在环域内的Laurent级数展开式为5.将下列函数在指定环域内展开成Laurent级数，且计算其沿正向圆周的积分值I.（1）解：环域的中心，对应的Laurent级数展开式中取1，于是在环域内的Laurent级数展开式为取得在环域内的Laurent级数展开式的负一次幂系数，又正向圆周为环域内围绕环心的正向简单闭路，所以（3）解：环域的中心，对应的Laurent级数展开式中取-1，于是在环域内的Laurent级数展开式为在环域内的Laurent级数展开式不含有负一次幂，则负一次幂系数，又正向圆周在环域内部且正向围绕环心，所以（5）解：环域的中心，对应的Laurent级数展开式中取-i，于是在环域内的Laurent级数展开式为取得在环域内的Laurent级数展开式的负一次幂系数，又正向圆周在环域内部且正向围绕环心，所以