复变函数练习题习题43.docx

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复变函数练习题习题43

习题4.3

1．求函数

在下列环域内的Laurent级数展开式.

函数

在上述各个环域内有不同的Laurent级数展开式，这与它的Laurent级数展开式的唯一性矛盾吗？

为什么？

解：

（1）环域

的中心

，对应的Laurent级数展开式中

取零，于是

在环域

内的Laurent级数展开式为

（2）环域

的中心

，对应的Laurent级数展开式中

取零，于是

在环域

内的Laurent级数展开式为

（3）环域

的中心，对应的Laurent级数展开式中取i，于是在环域内的Laurent级数展开式为

另解：

函数在上述各个环域内有不同的Laurent级数展开式，这与它的Laurent级数展开式的唯一性不矛盾，的Laurent级数展开式的唯一性是对给定的某个环域而言，其条件是在该环域内解析.

注：

此题（3）中常见的错误：

3.求函数在下列环域内的Laurent级数展开式.

解：

（1）环域的中心，对应的Laurent级数展开式中取-2，于是在环域内的Laurent级数展开式为

（2）环域的中心，对应的Laurent级数展开式中取-2，于是在环域内的Laurent级数展开式为

5.将下列函数在指定环域内展开成Laurent级数，且计算其沿正向圆周的积分值I.

（1）

解：

环域的中心，对应的Laurent级数展开式中取1，于是在环域内的Laurent级数展开式为

取得在环域内的Laurent级数展开式的负一次幂系数，又正向圆周为环域内围绕环心的正向简单闭路，所以

（3）

解：

环域的中心，对应的Laurent级数展开式中取-1，于是在环域内的Laurent级数展开式为

在环域内的Laurent级数展开式不含有负一次幂，则负一次幂系数，又正向圆周在环域内部且正向围绕环心，所以

（5）

解：

环域的中心，对应的Laurent级数展开式中取-i，于是在环域内的Laurent级数展开式为

取得在环域内的Laurent级数展开式的负一次幂系数，又正向圆周在环域内部且正向围绕环心，所以