超详细导数重点知识点归纳及应用完整版.docx

1、超详细导数重点知识点归纳及应用完整版名师归纳总结学习必备精品知识点导数知识点归纳及应用知识点归纳一、相关概念1导数的概念函数y=f(x), 如果自变量x 在 x 0 处有增量x ，那么函数y 相应地有yx增量y =f（ x 0 +x ）f（x 0 ），比值叫做函数 y=f（x）在 x 0 到 x 0 +xf ( x0x)xf ( x0 ) 。如果当y =xy 有x之间的平均变化率，即0 时，x极限，我们就说函数y=f(x) 在点x 0 处可导， 并把这个极限叫做f（x）在点 x 0 处的导数，记作f （ x 0 ）或 y|x 。x 0yxf ( x0x)xf ( x0 )即 f （x0 ）=

2、lim。= limx 0x 0说明：yxyx（ 1）函数 f（ x）在点 x 0 处可导， 是指0 时，有极限。如果x不存在极限，就说函数在点x 0 处不可导，或说无导数。（ 2）x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量，x 0 时，而y 是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f （ x）在点 x 0 处的导数的步骤：求函数的增量y =f （ x 0 +x ） f （x 0 ）；yxf (x0x) f (x0 ) ；x求平均变化率=yx取极限，得导数f (x0 )= lim。x 0例： 设 f(x)= x|x|,则 f ( 0)=.精品学习资料第 1 页，共 14 页名师归纳

3、总结学习必备精品知识点f ( 0x)xf (0)f ( x)x|x | xx 解析 ： lim |x 0x |0limx 0limx 0limx 0f ( 0)=02导数的几何意义函数 y=f（x）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点 p（x 0 ，f （ x 0 ）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （ x）在点p（ x 0 ， f（ x 0 ）处的切线的斜率是f （ x 0 ）。/相应地，切线方程为y y 0 =f （ x 0 ）（ x x 0 ）。例：在函数 yx3的点中， 坐标8 x 的图象上， 其切线的倾斜角小于4为整数的点的个数是()A 3B2C1D 0 解析

4、：切线的斜率为/y3x28k又切线的倾斜角小于，即 0k14故 03 x2818或383解得：33xx故没有坐标为整数的点3. 导数的物理意义如果物体运动的规律是s=s（t），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v= s（ t）。如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（t），则该物体在时精品学习资料第 2 页，共 14 页名师归纳总结学习必备精品知识点刻 t 的加速度 a=v（ t ）。例。汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）ssssttttOOOOA B CD 答： A。练习： 已知质点 M按规律2t 23

5、做直线运动（位移单位：cm，时间s单位： s）。s ；ts ；t（ 1） 当 t=2 ，0.01时，求t（ 2） 当 t=2 ，0.001时，求t（ 3） 求质点 M在 t=2 时的瞬时速度。答案：（ 1） 8.02cm（2） 8.002cm；（ 3） 8 cmsss二、导数的运算1基本函数的导数公式: C0; （C为常数）xnnxn1; (sin x)cos x ; (cos x)sin x ; (ex )x;e ( ax )xa ln a ;1 ;xln x精品学习资料第 3 页，共 14 页名师归纳总结学习必备精品知识点1log e.l og xaax：例下列求导运算正确的是1()1)x

6、11x ln 2A (x+2x) =(logB12xxx2C (3 ) =3 log (x cosx) =-2xsinx3eD1 )x1x2 解析 ：A 错， (x+11x ln 2正确， (log2x) =BxxC错， (3 ) =3 ln322D错， (x cosx) =2xcosx+ x (-sinx)例 2： 设 f 0( x) sinx ， f 1( x) f 0( x) ，f2( x) f1( x) ， f n1( x) f n( x) ， n N，则 f 2005( x) ()A sinx sinxcosxBCD cosx 解析 ： f 0( x)sinx ， f 1 ( x)

7、f0 ( x)= cosx， f 2( x) f 1 ( x)=- sinx ，f 3( x) f 2( x)= -cosx， f4( x)f 3( x)= sinx ，循环了则 f 2005( x) f 1( x) cosx2导数的运算法则法则 1：两个函数的和 ( 或差 ) 的导数 , 等于这两个函数的导数的和( 或精品学习资料第 4 页，共 14 页名师归纳总结学习必备精品知识点差) ，即： (v)u v .u法则2：两个函数的积的导数, 等于第一个函数的导数乘以第二个函数, 加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：(uv) u vuv .若 C为常数 , 则 (Cu) C uCu Cu

8、 Cu . 即常数与函数的积的导数0等于常数乘以函数的导数：(Cu ) Cu .法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分uvu vv 2uv （ v母的导数与分子的积，再除以分母的平方：0）。例：设、 g(x) 分别是定义在上的奇函数和偶函数, 当x 0f(x)R时,(x) 0. 且则不等式f(x)g(x) 0 的解集g(3)=0.f ( x) g( x)f ( x) g是()A(3,+ )(0, 3)(-3,0)B(-3,0)C (- ,-3) (3,+)(- ,-3) (0,D3) 解析 ：当 x0 时 ,f ( x) g (x) 0，即 f ( x)g( x) /f

9、 ( x) g( x)0当 x0 时， f(x)g(x)为增函数，又 g(x) 是偶函数且g(3)=0 ，g(-3)=0 ， f(-3)g(-3)=0故当3 时， f(x)g(x) 0，又 f(x)g(x) 是奇函数，x当 x0 时， f(x)g(x)为减函数，且f(3)g(3)=0故当 03时， f(x)g(x)0x故选 D精品学习资料第 5 页，共 14 页名师归纳总结学习必备精品知识点3. 复合函数的导数形如 y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：( x )分解 求导 回代。法则： y| = y | u| 或者 f )* (x) .(x)f (XUX练习： 求下列各函数的导数：5x

10、 xsin x;（1）（2） yy(x1)(x2)( x3);x211x2x4（3） y（4）2cos2;sin1y.1x1x12325xxsin xsin x ,解： (1) x3yx22xx32 )523x2y3)2( x sin x)3x 22 x 3 sin x2 cos x.(x( xx2322（ 2）y=（ x +3x+2）（ x+3）=x +6x +11x+6，y =3x +12x+11.x2xcos21 sin x,2（ 3） y= sin1sin x21(sin x)21 cosx.2 y111(1x1xx )2（ 4），y1x1x1xx )(122(1x)2x)2.y(1

11、x) 21x(1三、导数的应用1. 函数的单调性与导数（ 1）设函数(x) 在某个区间（ a，b）可导，如果 f (x)0 ，则yff (x)在此区间上为增函数； 如果(x) 0 ，则 f ( x) 在此区间上为减函数。f（ 2）如果在某区间内 恒有0 ，则 f (x) 为常数 。f (x)例： 函数 f ( x)3x3 x21 是减函数的区间为()精品学习资料第 6 页，共 14 页名师归纳总结学习必备精品知识点A ( 2,B ( (（ 0， 2）CD),2),0) 解析 ：由/3x 26x 0，得0x0，当/1 时，f(x) 0，1x故 f ( x) 的极小值、极大值分别为1 ，3、 f

12、(1)f ( 1)而17、 f (0)f ( 3)1故函数 f ( x)3x1在-3 ，0 上的最大值、最小值分别是3、-17 。3x经典例题选讲例 1.已知函数 yxf ( x) 的图象如图所示 （其中(x) 是函数f ( x) 的f导函数），下面四个图象中f ( x) 的图象大致是()y精品学习资料第 8 页，共 14 页名师归纳总结学习必备精品知识点 解析 ：由函数( x) 的图象可知：yxf当 x1时，xf (x) 0，此时f ( x) 增f当0 时，xf (x) 0，( x) 0，此时f ( x) 减1xf当 0x 1 时，xf (x) 0， f( x) 0， f (x) 0，此时

13、f ( x) 增故选C例 2. 设f ( x) ax3x恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间。解：3ax 2(x)1f若 a0 ， f ( x)0 对) 恒成立，此时f ( x) 只有一个单调区x(,间，矛盾若 a0 ，f) ， f ( x) 也只有一个单调区间，(x)10x(,矛盾13 | a |13 | a |若 a) ，此时 (x) 恰有三个0f ( x)3a(x)( xf单调区间13 | a |13 | a |0 且单调减区间为) ，单调增区间为) 和 (a(,13 | a |13 | a |(,)精品学习资料第 9 页，共 14 页名师归纳总结学习必备精品知识点例3

14、. 已知函数x3bx 2d 的图象过点P（ 0,2 ） , 且在点f ( x)ax1, f ( 1) 处的切线方程为M(7 0 .6 xy（）求函数f (x) 的解析式；y（）求函数f (x) 的单调区间 .y解：（）由 f ( x) 的图象经过P（0，2），知 d=2，所以x3bx2f ( x)2,cx3x2f ( x)2bxc.由在1) 处的切线方程是0 ，知M ( 1, f (6 xy76f ( 1)70,即f ( 1)1, f ( 1)6.32bbcc6,22bbc3,即1.解得bc3.1c0,故所求的解析式是3x3x2f ( x)3 x2.（）23x2令 3 x20,即x( x)6x

15、3.6 x32 x10.f解得当12 , x212.2 ,或 x2时, fx1x11(x)0;当 12时, f2x1(x)0.故2) 内是增函数，x33x2( x)3x2在(,1f在 (1例 4.2) 内是减函数，在) 内是增函数.2 ,1(12 ,设函数x3bx2cx(x R) ，已知 g ( x)(x) 是奇函数。fxf ( x)f（）求解 ：（）b 、 c 的值。（）求 g( x) 的单调区间与极值。3xx32bxbx223xc) cx ，cx (3 x2c 。从而f xfx2bx2bxx3(b 3) x2g( x)是f (x)f (x)(c 2b) xc一个奇函数，所以0 得 c0 ，

16、由奇函数定义得b 3 ；g (0)（）由（）知3x2g ( x) 3x6x ，从而6 ，由此可知，g( x)2) 和 () 是函数 g (x) 是单调递增区间；是函数(,2,(2,2)g( x) 是单调递减区间；精品学习资料第 10 页，共 14 页名师归纳总结学习必备精品知识点g(x) 在g(x) 在2 时，取得极大值，极大值为2 时，取得极小值，极小值为2 ，2 。2 时，都取得极值。3xx44例 5.已知 f （x）= x3ax 2c 在x=1，x=bx（ 1）求 a、b 的值。1 恒成立，求（ 2）若对 1,2 ，都有c 的取值范围。xf ( x)c2ax23/解：（1）由题意f （x

17、）=3x 2b 的两个根分别为1 和2 =32a ， b2)3由韦达定理，得： 11(331 ， b则 a221 x 22/c ， f （x）=3x 2（ 2）由（ 1），有 f （x）= x32x2x21, ) 时，32,1) 时，3当/0 ，当 x(x) 0 ，当(1,2 时，f(x)fx(x/0 ，f (x)2 时，222712当 xc ，f (x) 有极大值c ，f (c, f (2)21)3 当 1,2 ， f (x) 的最大值为xf (2)2c1f ( x) 恒成立，c1 ，c对 x1,2 ，都有2c解得 02 1, 或 cc21,例 6. 已知 x1 是函数3mx23(m 1)

18、x1 的一个极值点，其中f ( x)nxR, m 0 ，m, n（ I ）求 m 与 n 的关系式；（ II ）求 f (x) 的单调区间；（ III ）当1,1 时，函数f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒xy大于 3 m ，求 m 的取值范围 .解：(I)2f ( x) 3mxn 因为1 是函数 f ( x) 的一个极值点 ,x6( m1)x所以0 , 即 3m0 ，所以n3m6f (1)6(m1)n精品学习资料第 11 页，共 14 页名师归纳总结学习必备精品知识点2m（II）由（I ）知， f2( x) 3mx3m 6 =3m( x1)x16(m1)x2m当 m0 时，有 1，当

19、 x 变化时，f ( x) 与( x) 的变化f1如下表：2m2m2m1,x,11,111f ( x)00000调调递减极小值单调递增极大值单调递减f ( x)2m故有上表知，当m 0 时，f ( x) 在单调递减，,12,1) 单调递增，在在 (1) 上单调递减 .(1,m（ III）由已知得f ( x) 3m，即2mx2m2(m1)x202( mm2(mm2m又 m 0 所 以x20 即x21)x1)x0, x1,11) xm2m设 g( x)2x，其函数开口向上， 由题意知式恒成2(1立，2m2mg ( 1)g (1)0120所以解之得01043所以m 又 m043m04,03即 m 的

20、取值范围为例 7：（2009 天津理 20） 已知函数2( x2ax 2ax3a)e ( xR), 其中f ( x)aR（1） 当 a0 时，求曲线f ( x)在点 (1, f (1)处的切线的斜率；y精品学习资料第 12 页，共 14 页名师归纳总结学习必备精品知识点w.w.w.k.s.5.u.c.o.m23（2） 当时 ， 求 函 数f ( x) 的 单 调 区 间 与 极 值 。aw.w.w.k.s.5.u.c.o.m本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、 利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分 12 分。解 ：（I ） 当 ax2 ex ， f ( x)( x 22 x)ex，故 f (1)0时， f(x)3e.所以曲线y f ( x)在点 (1, f (1)处的切线的斜率为3e.（ II ）2x2a 24a ex .w.w.w.k.s.5.u.c.o.mf (x)(a2)x2.由a 2 知， 2a3令f (x)0，解得 x2a，或 xaa2.以下分两种情况讨论。（ 1） 若 a 2 ，则 2a a 3下表：2 . 当 x 变化时， ( x)， f ( x) 的变化情况如fx，2a， a2，2a2a2a2a+00+